Qual resolver primeiro, multiplicação, divisão, soma ou subtração ?

Para começar, quero que fique claro que a ordem das operações matemáticas, ou seja, a ordem pela qual devem ser executadas operações tais como a seguinte `2+3xx5` é uma convenção. O que significa isto? Significa que há muito tempo atrás, os matemáticos decidiram qual deveria ser a ordem pela qual as operações deveriam ser executadas. Não tem nada a ver com lógica é apenas uma convenção, tal como se convencionou que se entre um número e um parêntesis não houver nenhum sinal aritmético é porque se trata de uma multiplicação. Algumas pessoas decidiram adotar essa ordem, que se generalizou e foi seguida por todos. A partir daqui tornou-se uma regra matemática, e respeitar essa ordem tornou-se obrigatório, ficando assim mais fácil a comunicação entre matemáticos e não matemáticos. Por outras palavras, é uma notação matemática destinada a simplificar a escrita, indicando às pessoas quais são as operações que devem ser executadas em primeiro lugar.

Posto isto, eis então a ordem correta para executar as operações matemáticas:

• 1º Parêntesis;
• 2º Expoentes;
• 3º Multiplicações e Divisões; (da esquerda para a direita)
• 4º Somas e Subtrações. (da esquerda para a direita)

Eis dois pequenos exemplos:

• `2+3xx5=2+15=17`
• `(2+3)xx3^2=5xx3^2=5xx9=45`

É ainda de salientar, que todas as expressões que envolvam logaritmos, razões trigonométricas ou qualquer outro tipo de função, deverão ser executadas em primeiro lugar. Não é possível calcular `3+f(2)` antes de conhecer o valor de `f(2)`.

Mais dois exemplos para ajudar a perceber:

• `6 + log(100) * e^0=6+2xxe^0=6+2xx1=6+2=8`
• `3 Cos(pi) (2^2 + 1)^2 = 3 xx (-1) xx (4+1)^2=3 xx (-1) xx 5^2 = 3 xx (-1) xx 25 = -75`

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Gostarias de referir este texto num trabalho escolar?

NUNES, Vitor F. R. "Qual a ordem correta das operações matemáticas?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/operacoes-matematicas.php, acedido em 29 de Dezembro de 2022.

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Foram feitos 27 comentários/dúvidas.

03 de Março de 2019, 03h42

Mensagem de Ricardo Prates

Bom dia,
Um amigo meu mostrou-me a seguinte operação: 6÷2*(1+2)
e perguntou-me qual seria o resultado, ao qual eu disse 1, pois para mim, 6÷6 é 1; mas ao qual ele me disse que não, que era 9 e me mostrou uma forma de cálculo, que para mim é errada, pois eu aprendi que a multiplicação tem sempre prioridade, mas de facto já vi muitos exemplos na NET com o resultado 9, pois fazem a soma primeiro, retirando os parênteses e só depois fazem a multiplicação. Qual o correto afinal?

03 de Março de 2019, 14h22

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ricardo,
Esta é uma dúvida muito comum. De facto, o resultado dessa expressão numérica vai depender da ordem pela qual as operações são efetuadas. De acordo com as regras que estão enunciadas em cima, a multiplicação e a divisão têm a mesma prioridade. Como tal, e ainda de acordo com as regras estabelecidas (que resultam de uma convenção acordada entre matemáticos), primeiro faz-se o que está dentro de parênteses, de seguida, as operações com igual prioridade são efetuadas à medida que aparecem, ou seja, da esquerda para a direita. Assim sendo, o resultado da expressão numérica é o seguinte: `6-:2xx(1+2)=``6-:2xx3=``3xx3=9`.

04 de Março de 2019, 14h36

Mensagem de Kelly F Silva

Bom dia, como resolvo essa questão: 7 + 7 ÷7 + 7 x 7 - 7=?

04 de Março de 2019, 17h56

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Kelly,
Seguindo as mesmas indicações que acabei de dar anteriormente, no caso de haver operações matemáticas com a mesma prioridade, estas devem ser realizadas pela ordem em que surgem, isto é, da esquerda para a direita. Portanto, a expressão numérica que apresentas irá ser calculada efetuando primeiro a divisão, de seguida calcula-se a multiplicação e por último as operações de adição e subtração pela ordem em que aparecem. O resultado final irá ser o seguinte: `7+7-:7+7xx7-7=`` 7+1+7xx7-7=`` 7+1+49-7=50`.

12 de Outubro de 2019, 23h48

Mensagem de José Edilson

Muito bom para exercitar a mente e relembrar exercícios do passado. Obg.

13 de Outubro de 2019, 03h08

Mensagem de Antonio

Boa noite, Vitor. Tudo bem?
Gostaria muito de saber o resultado dessa operação 96(15/7^3). Fiz o cálculo manual e na calculadora e deu resultados diferentes. Grato!

13 de Outubro de 2019, 11h29

Mensagem de Vitor Nunes

Olá António,
Temos que ter muita atenção à ordem pela qual as operações matemáticas são realizadas. A primeira operação a ser efetuada é `7^3`, isto porque, a potência tem prioridade sobre todas as outras operações. Assim sendo `7^3 = 343`. Logo, dentro de parêntesis irá ficar a fração `15/343`. Por último efetua-se a multiplicação, ou seja, `96xx15/343=1440/343`. Espero ter ajudado!

14 de Outubro de 2019, 14h23

Mensagem de Nuno Gomes

Na equaçao 60/2(7+3) o 2(7+3) deve ser considerado uma parcela ou devo separar como se fosse 2x(7+3) ?

14 de Outubro de 2019, 14h59

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Nuno,
Antes de mais, deixa-me chamar à atenção para o facto da dúvida que colocas não ser uma equação, isto porque, para ser uma equação seria necessário existir uma incógnita, ou seja, uma variável. Aquilo que apresentas é uma expressão numérica. Deve-se resolver primeiro o que está entre parêntesis e depois, como todas as restantes operações têm a mesma prioridade, devem ser resolvidas da esquerda para a direita. Assim sendo, irá ficar: `60//2(7+3) = 60//2xx10=30xx10=300`

21 de Abril de 2020, 00h27

Mensagem de Erasmo Manuel Lufuma

Muito obrigado, seu conteúdo e as explicações me ajudaram a esclarecer minhas dúvidas sobre o assunto.

02 de Maio de 2020, 22h26

Mensagem de Alessandro Clayton Machado

Olá Amigo, vi uma conta de matemática ou equação, não sei se é o mesmo, me corrija se escrevi errado o nome da conta! Mas estava dessa forma, foi numa página do Facebook que eu vi:
10 - 10 x 10 + 10 = ?
Tinha várias respostas diferentes, várias diziam ser 100 a resposta, mas a pessoa que fez a pergunta disse que estavam todos errados. Seguindo a regra primeiro seria a multiplicação, depois a subtração e no fim a adição. Eu também acho que é 100, mas fiquei na dúvida, se puder me esclarecer, agradeço!

03 de Maio de 2020, 09h28

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Alessandro,
A resolução correta (respeitando a ordem das operações matemáticas) dessa expressão numérica é a seguinte:
`10-10xx10+10 =`
`10-100+10 =`
`-90+10 =`
`-80`

05 de Fevereiro de 2021, 14h50

Mensagem de Pedro

Algumas calculadoras cientificas, tratam a multiplicação com operador × diferente da multiplicação por parênteses com ausência de operador, sendo este último com maior nível de prioridade, o sinal de fração agrupa os números do lado esquerdo dele com o do lado direito dele [6/2 equivale a (6÷2)], diferente do operador de divisão ÷
HP 10s+ Scientific Calculator:
6÷2×(1+2) = 9
6÷2(1+2) = 1
6/2(1+2) = 9
6/2×(1+2) = 9

o Site WolframAlpha:
6÷2×(1+2) = 9
6÷2(1+2) = 9
6/2(1+2) = 9
6/2×(1+2) = 9
6:2×(1+2) = 1
6:2(1+2) = 1
"6÷2(1+2) = 1" False

06 de Fevereiro de 2021, 11h47

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Pedro,
Não sabia desse facto. Obrigado pelo excelente comentário.

01 de Abril de 2021, 04h25

Mensagem de Michael

Olá, gostaria de saber qual é a ordem das operações de divisão quando são escritas em linguagem de máquina, ou "uma linha só", sem parênteses. Se começamos da direita para esquerda ou da esquerda para direita? Exemplo: 2/2/2/2. Se começar da direita para esquerda, ficaria 2/(2/(2/2)) = 1. Porém, se começarmos da esquerda para a direita ficaria ((2/2)/2)/2 = 0,25. Alguém tem alguma referência académica?

01 de Abril de 2021, 09h42

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Michael,
É uma excelente questão. No meu entender, faz sentido que as operações sendo de igual prioridade, fossem executadas da esquerda para a direita. Assim sendo, o resultado expectável seria 0,25. Porém, fui experimentar na máquina de calcular gráfica que tenho cá em casa, e o resultado que obtive foi 1, o que prova que as operações foram feitas da direita para a esquerda. Também experimentei numa máquina de calcular cientifica de uma outra marca e obtive 0,25. Isto leva-me a crer que não existe um padrão e que o resultado vai depender do fabricante.

11 de Fevereiro de 2022, 12h08

Mensagem de Maria do Carmo Gomes da Silva

Muito interessante este site. Pelos comentários fiquei a saber algo que é extraordinário e grave. As máquinas são usadas em exames nacionais por isso, a falta de padronização é inadmissível. O melhor é colocar sempre parêntesis, o que nos faz perder tempo valioso.

11 de Fevereiro de 2022, 17h26

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Maria,
Todos os anos o IAVE publica uma lista de máquinas de calcular que podem ser utilizadas nos exames nacionais. Em princípio, todas as maquinas presentes nessa lista têm um comportamento semelhante. Em todo o caso, cabe ao utilizador conhecer a sua máquina e saber em que circunstâncias é que deve utilizar parêntesis quando está a calcular expressões matemáticas. Esse desconhecimento não pode ser utilizado como alegação de imprecisões nos cálculos.

02 de Abril de 2022, 17h20

Mensagem de Antonio Filipe Costa Nunes

Na operação 10-10×10+10, o resulto -80 é o resultado certo. Após a operação da multiplicação, a ordem será primeiro a subtração, e depois é seguida a ordem da esquerda para a direita, correcto? Um abraço.

03 de Abril de 2022, 09h36

Mensagem de Vitor Nunes

Olá António,
A dúvida que tem em relação a essa mesma expressão já foi esclarecida num comentário anterior. Por favor, veja as respostas que foram dadas anteriormente. Em todo o caso, confirmo que seguindo a ordem correta das operações matemáticas, primeiro temos que efetuar a multiplicação, depois vem a subtração e só depois vem a adição.

11 de Junho de 2022, 22h26

Mensagem de Cassiano

No seu texto você diz a seguinte frase:
"Significa que há muito tempo atrás, os matemáticos decidiram qual deveria ser a ordem pela qual as operações deveriam ser executadas."
Você sabe me dizer o ano que essa convenção foi adotada e qual foi o matemático que escreveu isso pela primeira vez?
Sou professor de Matemática e conheço bem as regras, minha pergunta é apena uma curiosidade histórica.

12 de Junho de 2022, 08h59

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Cassiano,
Infelizmente não lhe sei dizer nem quando é que estas regras foram estabelecidas, nem quem é que as estabeleceu. Parto do princípio que não foram estabelecidas numa data precisa, nem entraram em vigor de um momento para o outro. Tal como em muitos outros processos da história, o estabelecimento e adoção destas regras deve ter sido um processo lento e gradual. Lamento não poder ajudar mais.

03 de Julho de 2022, 21h54

Mensagem de João

Eu lembro-me de ter aprendido de forma diferente. Era:
- Parêntesis;
- Factorial;
- Potências e Raízes;
- Multiplicação e Divisão;
- Adição e Subtração;
Mas isto já foi há muitos anos, e pode ser diferente agora.

04 de Julho de 2022, 10h07

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
Essa ordem das operações matemáticas ainda se mantém. A operação factorial muitas vezes não é referida porque só é ensinada, mais tarde, no ensino secundário. Mas é verdade que ela tem precedência sobre as outras.

20 de Agosto de 2022, 10h21

Mensagem de Margarida Nunes

Caro colega,
Muito interessante o seu artigo.
Gostaria de lhe dizer, contudo, que as ordens das operações, a definição de prioridades no cálculo de uma expressão não é uma convenção.
Há um sentido de operação. Uma potência é uma multiplicação especial (caso particular da multiplicação em que todos os fatores são iguais, três ao quadrado, 3x3) e uma multiplicação é uma adição especial (caso particular de adição em que todos as parcelas são iguais, 3x4=4+4+4).
Experimente "brincar" ao contrário... percebe-se naturalmente que há uma ordem nas operações se se quiser resolver a expressão.
24
20 + 4
2x10 + 2 ao quadrado
Para chegar ao resultado 24 primeiro tem de fazer o produto e a potência e só depois a soma.

20 de Agosto de 2022, 11h07

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Margarida,
Obrigado por partilhar o seu ponto de vista. Gostei do exemplo que deu, de facto, ao decompor um número, apercebemo-nos que as operações têm que ser realizadas numa determinada ordem, de forma a voltar ao número original. Aqui fica outro exemplo:
`129`
`100+20+9`
`2xx50+2xx10+3^2`
Para obter o número original as multiplicações têm que ter prioridade sobre as adições. Mas ainda assim mantenho que existe uma convenção na escrita das operações, porque se não se tivesse convencionado que a multiplicação tivesse prioridade, então a escrita da última expressão matemática seria feita da seguinte forma:
`(2xx50)+(2xx10)+(3^2)`
A convenção permite-nos simplificar a escrita!

20 de Agosto de 2022, 14h23

Mensagem de Margarida Nunes

Obrigada pela resposta!
Sim, o parênteses surge para alterar a prioridade das operações. O uso de parênteses é que é uma convenção.
No exemplo dado pelo colega os parênteses não são necessários pois não alteram a prioridade.
Grata

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O que se resolve primeiro adição subtração multiplicação ou divisão?

Qual é a ordem das operações matemáticas?

O que se resolve primeiro em uma expressão matemática?

Quando tem soma e subtração qual resolver primeiro?