Qual é a função inversa da função F R → R +* definida por F x 2x?

Q: Qual é a função inversa da função f R → R +* definida por f x 2x?

e) 4. Sendo f: R → R+* a função definida por f(x) = 2x, então a expressão que define a função inversa de f é: a) x².

Q: Qual é a função inversa da função?

A função inversa, como o nome já sugere, é a função f(x)-1, que faz exatamente o inverso da função f(x). Para que uma função admita uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A lei de formação de uma função inversa faz o contrário do que a função f(x) faz.

Q: Como se faz a função inversa?

Conhecemos como função inversa aquela f(x)-1 que faz o oposto do que a função f(x) faz, de forma geral, seja f(x) uma função f: A→ B, em que f(a) = b, então, a função inversa f-1: B → A, tal que f(b) = a.

1 - FUN��O INVERSA

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Qual é a função inversa da função f R
Qual é a função inversa da função f R → R +* definida por f x 2x?
Qual é a função inversa da função?
Como se faz a função inversa?

Dada uma fun��o f : A � B , se f � bijetora , ent�o define-se a fun��o inversa f -1 como sendo a fun��o de B em A , tal que f -1 (y) = x

Veja a representa��o a seguir:

� �bvio ent�o que:
a) para obter a fun��o inversa , basta permutar as vari�veis x e y .
b) o dom�nio de f -1 � igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 � igual ao dom�nio de f .
d) os gr�ficos de f e de f -1 s�o curvas sim�tricas em rela��o � reta y = x ou seja , � bissetriz do primeiro quadrante .

Exemplo:
Determine a INVERSA da fun��o definida por y = 2x + 3.
Permutando as vari�veis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em fun��o de x, vem:
2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a fun��o inversa da fun��o dada.

O gr�fico abaixo, representa uma fun��o e a sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f-1, s�o sim�tricas em rela��o � reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exerc�cio resolvido:
A fun��o f: R � R , definida por f(x) = x2 :
a) � invers�vel e sua inversa � f -1 (x) = � x
b) � invers�vel e sua inversa � f -1(x) = - � x
c) n�o � invers�vel
d) � injetora
e) � bijetora

SOLU��O:
J� sabemos que somente as fun��es bijetoras s�o invers�veis, ou seja, admitem fun��o inversa.
Ora, a fun��o f(x) = x2, definida em R - conjunto dos n�meros reais - n�o � injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a fun��o n�o � bijetora e, em conseq��ncia, n�o � invers�vel.

Observe tamb�m que a fun��o dada n�o � sobrejetora, pois o conjunto imagem da fun��o f(x) = x2 � o conjunto R + dos n�meros reais n�o negativos, o qual n�o coincide com o contradom�nio dado que �
igual a R. A alternativa correta � a letra C.

2 - FUN��O COMPOSTA

Chama-se fun��o composta ( ou fun��o de fun��o ) � fun��o obtida substituindo-se a vari�vel independente x , por uma fun��o.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .

Veja o esquema a seguir:

Obs : atente para o fato de que fog � gof , ou seja, a opera��o " composi��o de fun��es " n�o � comutativa .

Exemplo:
Dadas as fun��es f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog � gof .

Exerc�cios resolvidos:

1 - Sendo f e g duas fun��es tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrer� se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc

SOLU��O:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b \ fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d \ gof(x) = cax + cb + d

Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d

Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b \ d(a - 1) = b(c - 1), que � equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta � a letra A. .

2 - Sendo f e g duas fun��es tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x ent�o f(x) �:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma fun��o par.

SOLU��O:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudan�a de vari�vel, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova vari�vel. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva � alternativa D.

Agora resolva esta:

Dadas as fun��es f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrer� gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1

PAULO MARQUES, Feira de Santana - BA - 26 de fevereiro de 2000.

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Qual é a função inversa da função f R

Exemplos: Dada f: R → R, com a lei de formação f(x) = x+ 1, a função admite inversa, pois se x₁ ≠ x₂, então, f(x₁) ≠ f(x₂), e também, para todo valor no contradomínio, existe um correspondente no domínio, pois, para qualquer número real, existe um antecessor.

Qual é a função inversa da função f R → R +* definida por f x 2x?

e) 4. Sendo f: R → R+* a função definida por f(x) = 2^x, então a expressão que define a função inversa de f é: a) x².

Qual é a função inversa da função?

A função inversa, como o nome já sugere, é a função f(x)^-¹, que faz exatamente o inverso da função f(x). Para que uma função admita uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A lei de formação de uma função inversa faz o contrário do que a função f(x) faz.

Como se faz a função inversa?

Conhecemos como função inversa aquela f(x)^-¹ que faz o oposto do que a função f(x) faz, de forma geral, seja f(x) uma função f: A→ B, em que f(a) = b, então, a função inversa f^-¹: B → A, tal que f(b) = a.