Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. a soma dos quadrados de todas as suas diagonais é

Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. Além disso, um polígono é regular quando ele possui todos os lados com a mesma medida e seus ângulos internos são congruentes. Portanto, um hexágono regular inscrito é um polígono que possui seis lados com a mesma medida e seis ângulos internos congruentes e cujos vértices são todos pontos pertencentes a uma circunferência. Veja na figura abaixo um hexágono regular inscrito:

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Quantas diagonais tem um hexágono regular?
Quais são as diagonais de um hexágono?
Qual a medida de cada lado de um hexágono regular?
Como calcular diagonais de um hexágono?

As relações métricas no hexágono regular inscrito são fórmulas que podem ser usadas para encontrar a medida de seu lado e a medida de seu apótema a partir apenas do raio da circunferência na qual ele está inscrito. Essas fórmulas são:

l = r

Em que o raio da circunferência é igual ao lado do hexágono e:

a = r√3
2

Nessa fórmula, a é o apótema e r é o raio da circunferência.

Construções e elementos no hexágono inscrito

Antes de discutir essas fórmulas, convém realizar algumas construções no hexágono a fim de que suas demonstrações tornem-se mais diretas.

1º – Escolha dois vértices consecutivos do hexágono e construa os raios da circunferência que se ligam a eles. Observe na imagem a seguir que esses raios são os segmentos OA e OB, os quais, unidos ao segmento AB, formam um triângulo:

2º – Trace o apótema do hexágono, que, na imagem acima, é o segmento AP. O apótema é um segmento de reta que liga o centro de um polígono a um de seus lados, formando com ele um ângulo reto.

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3º – Como o polígono é regular, o apótema também é mediana do lado AB e bissetriz do ângulo AÔB.

4º – Observe que o ângulo AÔB mede 60°. Isso acontece porque o polígono é regular, então, cada um de seus seis ângulos centrais é igual a 360°/6 = 60°.

5º – Como os lados AO e BO do triângulo ABO são raios da circunferência na qual o hexágono está inscrito, então, eles são congruentes. Isso significa que esse triângulo é isósceles e que os ângulos da base são iguais. Pela soma dos ângulos internos do triângulo, concluímos que cada ângulo interno de ABO mede 60°. Portanto, ele é um triângulo equilátero.

Dadas essas propriedades, colocaremos todas as medidas encontradas no triângulo ABO. Observe que, se o lado do hexágono mede l, então, o segmento PB = l/2.

Demostração das relações métricas

Primeiramente, sabendo que o triângulo ABP é equilátero, o lado l do hexágono tem a mesma medida que o raio da circunferência. Assim:

l = r

Além disso, considere o triângulo OPB da imagem anterior e calcule o cosseno de 30°:

Cos30° = a
r

√3 = a
2 r

r√3 = a
2

a = r√3
2

Exemplo: Calcule a medida do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio 10 cm.

Lado: como l = r, teremos que l = 10 cm.

Apótema: Usando a fórmula encontrada, teremos:

a = r√3
2

a = 10√3
2

a = 5√3 cm.

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Área do hexágono regular

Hexágono é uma figura plana que possui 6 lados. Se ele for regular, esses lados deverão ser todos iguais (mesma medida), portanto, hexágono regular é uma figura plana que possui 6 lados com a mesma medida.

O hexágono regular circunscrito numa circunferência irá dividi-lo em seis arcos de mesma medida. Como o hexágono é regular, os arcos formados irão medir 60° (360°: 6 = 60°). Cada lado irá formar com o centro um ângulo central que terá a mesma medida do arco, 60°.

Assim, podemos dizer que cada arco da circunferência irá formar com seu ângulo central seis triângulos equiláteros (triângulos com lados iguais) no hexágono regular.

Podemos dizer que a área de um hexágono regular será igual à soma das seis áreas dos triângulos equiláteros.

Calculando a área de um dos triângulos, teremos:

A área de um triângulo é calculada utilizando a fórmula, portanto temos que encontrar a altura.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

a2 = h2 +

2
4

a2 –

2 = h2
4

4a2 – a2

= h2
4

2 = h2
4

a√3

= h
2

Agora, substituindo o valor da base do triângulo, que é a, e o valor da altura.

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Portanto, dizemos que a área do triângulo equilátero é:

A∆ = a .

a√3
2

A∆ = a2 √3 . 1
2 2

A∆ = a2 √3
4

A área do hexágono regular será igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero.

A = 6 . a2 √3
4

A = 3 a2 √3
2

Publicado por Danielle de Miranda

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Quantas diagonais tem um hexágono regular?

O triângulo possui zero diagonais, o quadrado, duas, o pentágono, cinco, e o hexágono, nove.

Quais são as diagonais de um hexágono?

Número de diagonais O hexágono possui 9 diagonais.

Qual a medida de cada lado de um hexágono regular?

Como o hexágono é regular, os arcos formados irão medir 60° (360°: 6 = 60°). Cada lado irá formar com o centro um ângulo central que terá a mesma medida do arco, 60°.

Como calcular diagonais de um hexágono?

Para descobrir diagonais existe a fórmula: d= n(n-3)/2 . Onde d é o numero de diagonais e n é o número de lados. Um hexágono tem 6 lados, então substituimos na formula. d=9 diagonais.