Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir: Show
Cubo Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números! Octaedro Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números novamente! Pirâmide quadrangular Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas? O que aconteceu em todos os casos? O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2! Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos: Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler 1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. Resolução: De acordo com o
enunciado, temos: Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima: V + F = 2 + A Eliminando V: F = 8 O número de faces é igual a 8. 2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro? Resolução: Do enunciado, sabemos que Número de arestas: Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo: A = 38 ÷ 2 = 19. Usando, agora, a Relação de Euler, temos: V + F = 2 + A Grátis 21 pág. Maria Auday Vasconcelos Eeep
Pré-visualização | Página 1 de 2MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações 2 Vértice Aresta Face Base Base POLIEDROS LEMBRETES FACES = LADOS ARESTAS = LINHAS VÉRTICES = PONTOS, CANTOS MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Poliedro Nº de faces Nº de arestas Nº de vértices 4 tetraedro 6 hexaedro octaedro 12 dodecaedro icosaedro 12 8 12 6 4 20 30 30 8 6 12 20 Vamos rever o quadro dos principais poliedros e acrescentar nele informações do tipo: quantas arestas e quantos vértices têm cada um deles. MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Percebeu alguma regularidade nos números do quadro anterior?? Vamos ver alguns detalhes do quadro novamente ?? Poliedro Nº de vértices (V) Nº de faces (F) Nº de arestas (A) V + F = A + 2 TETRAEDRO 4 4 6 4 + 4 = 6 + 2 HEXAEDRO 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2 OCTAEDRO 6 8 12 6 + 8 = 12 +2 DODECAEDRO 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2 ICOSAEDRO 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2 Observe que em todos os poliedros a soma do número de vértice mais o de faces é igual a soma do número de arestas mais 2 Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS É uma relação que existem em todos os poliedros convexos... ... e recebe o nome de Relação de Euler, em homenagem a mim... A propósito, meu nome é Leonhard Paul Euler. Nasci em São Petersburgo, em 1707. Desenvolvi trabalhos em áreas como a Física, Filosofia e Matemática. Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Agora, então, vamos definir a Relação de Euler para que você possa utilizá-la... Observe ao lado a fórmula que relaciona vértices , faces e arestas de um poliedro convexo... A partir de agora, você poderá encontrar informações sobre os poliedros, relacionando estes dados V + F = A + 2 1) Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices. 2) Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro? Usando, agora, a Relação de Euler, temos: V + F – A = 2 18 + 16 – A = 2 34 – A = 2 34 – A = 2 34 – A = 2 – A = 2 – 34 – A = – 32 x ( -1 ) A = 32 34 – A = 2 34 = 2 + A 34 – 2 = A 32 = A Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares? V + F – A = 2 Para usar a relação de Euler é preciso primeiro descobrir o número de arestas, para isso “multiplica-se o número de faces pelo seu formato” e depois “divide-se sempre por 2” 18 arestas V + 10 – 18 = 2 V = 2 + 18 – 10 V = 20 – 10 V = 10 vértices 6 faces com 4 lados: 6 . 4 = 24 4 faces com 3 lados: 4 . 3 = 12 Somando: 24 + 12 = 36 Atenção: A = 36 ÷ 2 = 18. Nº de faces: 6 + 4 = 10 9) (PUC –SP) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é? Usando, agora, a Relação de Euler, temos: V + F – A = 2 Para descobrir o número de arestas “multiplica-se o número de faces pelo seu formato” e depois “divide-se sempre por 2” 12 faces triangulares (3) 12 x 3 = 36 36 ÷ 2 = 18 arestas 18 arestas V + 12 – 18 = 2 V = 2 + 18 – 12 V = 20 – 12 V = 8 4) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro? Número de faces: Número de arestas: Atenção: A = 38 ÷ 2 = 19. Usando, agora, a Relação de Euler, temos: V + F – A = 2 Somando: 12 + 6 + 20 = 38 3 + 2 + 4 = 9 V + 9 – 19 = 2 V = 2 + 19 – 9 V = 21 – 9 V = 12 vértices 3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12 2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6 4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20 5) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. Usando, agora, a Relação de Euler, temos: V + F – A = 2 O que é excede é o que passa sobra, ou seja, é o que está a mais. Logo “EXCEDE” quer dizer “ + ” Então valor da A = V + 6 V + F – (V + 6) = 2 V + F – V – 6 = 2 V – V + F – 6 = 2 V – V + F – 6 = 2 F – 6 = 2 F = 2 + 6 F = 8 6) (UF-AM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces desse poliedro. Resolução: Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x. 7) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro? Resolução: Número de arestas: Atenção: A = 180 ÷ 2 = 90. Usando a Relação de Euler, temos: V + F – A = 2 Do enunciado, sabemos que Número de faces: 12 + 20 = 32 Somando: 60 + 120 = 180 V + 32 – 90 = 2 V = 2 + 90 – 32 V = 92 – 32 = 60 R = 60 vértices 12 faces com 5 lados: 12 . 5 = 60 20 faces com 6 lados: 20 . 6 = 120 MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações (ENEM) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu? A) 6 B) 8 C) 14 D) 24 E) 30 6 + 8 Antes Depois = 14 Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Para concluir nosso estudo sobre poliedros, sua classificação e suas representações, passo a “bola” para um cara que é “fera”... ... Fala aí, Platão... E isso aí, Euler. Vamos concluir falando sobre os Poliedros Regulares e os meus poliedros, ou seja, os Poliedros de Platão... Vamos lá, pessoal... Imagem: Autor desconhecido / United States Public Domain MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações 17 POLIEDROS Bom... mas antes vou falar um pouco de mim. Sou grego, nasci em 427 a.C. Desenvolvi trabalhos nas áreas da Filosofia e da Matemática... Mas minha paixão declarada era realmente a Geometria... A paixão de Platão pela matemática era tanta que, às portas de sua escola, ele mantinha a seguinte inscrição, em destaque: όποιος αγνοεί την γεωμετρία εισάγετε εδώ Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui Imagem: Autor desconhecido / United States Public Domain MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Poliedros de Platão: Um Poliedro para ser de Platão, tem que possuir as seguintes características : I. Todas as faces têm que ter o mesmo números de arestas; II. Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas; III. É válida a Relação de Euler. Propriedade: Todo Poliedro Regular é também Poliedro de Platão. mas existem poliedros de Platão que não são regulares. Poliedros Regulares: As condições para um Poliedro ser regular são bem específicas: I. Todas as faces são regiões poligonais regulares (polígonos regulares) e congruentes entre si; II. Todos os seus ângulos poliédricos também são congruentes entre si. MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações Página12 Qual o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vertices?1º Exemplo: Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices. O sólido possui, portanto, 6 faces.
Qual é a forma geométrica que tem 6 vértices 10 arestas e 6 faces faces triangulares e base pentagonal?O sólido que é constituído por 10 arestas 6 faces 6 vértices é a pirâmide pentagonal. A pirâmide pentagonal trata-se de um sólido geométrico que trata-se de uma pirâmide com base pentagonal, de modo que são erguidos cinco faces triangulares que se conectam em um ponto.
Como calcular o número de vertices faces e arestas?Relação de Euler. A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. ... . V – A + F = 2.. Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.. Qual é o número de faces de um poliedro que tem 9 arestas e 6 vértices?Determine o número de faces em um poliedro com 9 arestas e 6 vértices. Resposta correta: 5 faces.
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