Problema (UFSCar – Adaptado) Bola Azul é um jogo para duas pessoas composto de uma urna com duas bolas vermelhas e uma bola azul. As três bolas são idênticas, a menos da cor, e o jogo tem apenas estas regras:
Considerando que todas as três bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas, qual a probabilidade de que o primeiro jogador retire a bola azul em uma de suas retiradas e ganhe a partida? Lembrete Dada uma progressão geométrica infinita, [tex](a_1,a_1q, a_1q^2,\cdots,a_1q^{n-1},\cdots)[/tex], de razão [tex]q[/tex], [tex]0\lt q\lt 1[/tex], o limite da soma de todos os seus termos pode ser calculado pela fórmula Solução Sabemos que a probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral equiprovável é calculada por:
Agora, observe que o primeiro jogador ganhará o jogo se retirar a bola azul na primeira jogada ou na terceira jogada ou na quinta, ou seja, em uma jogada de número ímpar da partida. Vamos aos cálculos!
[tex]\qquad P_{1}=\dfrac{1}{3}.[/tex]
2°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 3°) O primeiro jogador deve pegar a bola azul na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{1}{3}[/tex]. Portanto, a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua segunda retirada é:
2°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 3°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 4°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 5º) O primeiro jogador deve pegar a bola azul na sua terceira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{1}{3}[/tex]. Portanto, a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua terceira retirada é:
2°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua primeira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 3°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 4°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua segunda jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 5°) O primeiro jogador deve pegar uma bola vermelha na sua terceira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 6°) O segundo jogador deve pegar uma bola vermelha na sua terceira jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{2}{3}[/tex]. 7º) O primeiro jogador deve pegar a bola azul na sua quarta jogada, o que ocorre com probabilidade [tex]\frac{1}{3}[/tex]. Portanto, a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua quarta retirada é: [tex]\qquad P_{n}=\left (\dfrac{2}{3} \right)^{2\cdot(n-1)} \times \dfrac{1}{3}[/tex]. Note que o problema não fornece informações sobre em qual jogada o
jogo terminará: só impõe que o primeiro jogador seja o vencedor. Assim, temos de calcular a probabilidade de o primeiro jogador ganhar o jogo na sua primeira retirada ou na sua segunda retirada ou na sua terceira retirada ou na sua quarta retirada ou… [tex]\quad
P=\dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+} \left (\dfrac{2}{3} \right)^{2} \times \dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+} \left (\dfrac{2}{3} \right)^{4} \times \dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+}\left (\dfrac{2}{3} \right)^{6} \times \dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+} \cdots \textcolor{red}{+} \left (\dfrac{2}{3} \right)^{2\cdot(n-1)} \times \dfrac{1}{3} \textcolor{red}{+} \cdots Solução elaborada pelos Moderadores do Blog. Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problemao-bola-azul/ Qual é a probabilidade de sair uma bola azul?A probabilidade de sair a bolinha azul é de 37,5%, enquanto que, para sair a bolinha amarela a probabilidade é de 62,5%.
Qual é a probabilidade de tirar uma bola vermelha?Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.
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