Qual e a característica de qualquer ponto da mediatriz em relação as extremidades do segmento?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Geometria

C�rculo, Circunfer�ncia e Arcos

Jader O.Dalto
S�nia F. L. Toffoli
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 A import�ncia da circunfer�ncia
• 2 Circunfer�ncia e C�rculo
• 3 Pontos interiores de um c�rculo e exteriores a um c�rculo
• 4 Raio, corda e di�metro
• 5 Posi��es relativas de uma reta e uma circunfer�ncia
• 6 Propriedades das secantes e tangentes
• 7 Posi��es relativas de duas circunfer�ncias
• 8 Pol�gonos circunscritos
• 9 Arco de circunfer�ncia e �ngulo central
• 10 Propriedades de arcos e cordas
• 11 Pol�gonos inscritos na circunfer�ncia
• 12 �ngulos inscritos
• 13 �ngulo semi-inscrito e arco capaz
• 14 Outras propriedades com cordas e segmentos

1 A import�ncia da circunfer�ncia

A circunfer�ncia possui caracter�sticas n�o comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a �nica figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posi��o aparente. � tamb�m a �nica figura que � sim�trica em rela��o a um n�mero infinito de eixos de simetria. A circunfer�ncia � importante em praticamente todas as �reas do conhecimento como nas Engenharias, Matem�tica, F�sica, Qu�mica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e tamb�m � muito utilizado na ind�stria e bastante utilizada nas resid�ncias das pessoas.

2 Circunfer�ncia e C�rculo

Circunfer�ncia: A circunfer�ncia � o lugar geom�trico de todos os pontos de um plano que est�o localizados a uma mesma dist�ncia \(r\) de um ponto fixo \(O\) denominado o centro da circunfer�ncia. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplica��es.

C�rculo: (ou disco) � o conjunto de todos os pontos de um plano cuja dist�ncia a um ponto fixo \(O\) � menor ou igual que uma dist�ncia \(r\) dada. Quando a dist�ncia � nula, o c�rculo se reduz a um ponto. O c�rculo � a reuni�o da circunfer�ncia com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gr�fico anterior, a circunfer�ncia � a linha de cor verde-escuro que envolve a regi�o verde, enquanto o c�rculo � toda a regi�o pintada de verde reunida com a circunfer�ncia.

3 Pontos interiores de um c�rculo e exteriores a um c�rculo

Pontos interiores: Os pontos interiores de um c�rculo s�o os pontos do c�rculo que n�o est�o na circunfer�ncia.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um c�rculo s�o os pontos localizados fora do c�rculo.

4 Raio, corda e di�metro

Raio: Raio de uma circunfer�ncia (ou de um c�rculo) � um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunfer�ncia e a outra extremidade em um ponto qualquer da circunfer�ncia. Na figura, os segmentos de reta \(OA\), \(OB\) e \(OC\) s�o raios.

Corda: Corda de uma circunfer�ncia � um segmento de reta cujas extremidades pertencem � circunfer�ncia. Na figura, os segmentos de reta \(AC\) e \(DE\) s�o cordas.

Di�metro: Di�metro de uma circunfer�ncia (ou de um c�rculo) � uma corda que passa pelo centro da circunfer�ncia. O di�metro � a maior corda da circunfer�ncia. Na figura, o segmento de reta \(AC\) � um di�metro.

5 Posi��es relativas de uma reta e uma circunfer�ncia

Reta secante: Uma reta � secante a uma circunfer�ncia se essa reta intercepta a circunfer�ncia em dois pontos quaisquer, podemos dizer tamb�m que � a reta que cont�m uma corda.

Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunfer�ncia � uma reta que intercepta a circunfer�ncia em um �nico ponto \(P\). Este ponto � conhecido como ponto de tang�ncia ou ponto de contato. Na figura anterior, o ponto \(P\) � o ponto de tang�ncia e a reta que passa pelos pontos \(E\) e \(F\) � uma reta tangente � circunfer�ncia.

Notas:

1. Raios e di�metros s�o nomes de segmentos de retas mas �s vezes s�o tamb�m usados como as medidas desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que \(ON\) � o raio da circunfer�ncia, mas � usual dizer que o raio \(ON\) da circunfer�ncia mede \(10\) cm ou que o raio \(ON\) tem \(10\) cm.
   
2. Tangentes e secantes s�o nomes de retas, mas tamb�m s�o usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, A tangente PQ pode significar a reta tangente � circunfer�ncia que passa pelos pontos \(P\) e \(Q\) mas tamb�m pode ser o segmento de reta tangente � circunfer�ncia que liga os pontos \(P\) e \(Q\). Do mesmo modo, a secante AC pode significar a reta que cont�m a corda \(BC\) e tamb�m pode ser o segmento de reta ligando o ponto \(A\) ao ponto \(C\).

6 Propriedades das secantes e tangentes

1. Se uma reta \(s\), secante a uma circunfer�ncia de centro \(O\), intercepta a circunfer�ncia em dois pontos distintos \(A\) e \(B\) e se \(M\) � o ponto m�dio da corda \(AB\), ent�o o segmento de reta \(OM\) � perpendicular � reta secante \(s\).
   
2. Se uma reta \(s\), secante a uma circunfer�ncia de centro \(O\), intercepta a circunfer�ncia em dois pontos distintos \(A\) e \(B\), a perpendicular � reta s que passa pelo centro \(O\) da circunfer�ncia, passa tamb�m pelo ponto m�dio da corda \(AB\).
   
3. Se \(OP\) � um raio de uma circunfer�ncia, onde \(O\) � o centro e \(P\) um ponto da circunfer�ncia, ent�o toda reta perpendicular ao raio \(OP\) � tangente � circunfer�ncia no ponto de tang�ncia \(P\).
   
4. Toda reta tangente a uma circunfer�ncia � perpendicular ao raio no ponto de tang�ncia.

7 Posi��es relativas de duas circunfer�ncias

Reta tangente comum: � uma reta que tangencia duas circunfer�ncias ao mesmo tempo. H� duas poss�veis retas tangentes comuns: a interna e a externa.

Ao tra�ar uma reta ligando os centros de duas circunfer�ncias no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos.

Se os pontos de tang�ncia, um em cada circunfer�ncia, est�o no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa.

Se os pontos de tang�ncia, um em cada circunfer�ncia, est�o em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.

Circunfer�ncias internas: Uma circunfer�ncia \(C1\) � interna a uma circunfer�ncia \(C2\), se todos os pontos do c�rculo \(C1\) est�o contidos no c�rculo \(C2\). Uma circunfer�ncia � externa � outra se todos os seus pontos s�o pontos externos � outra.

Circunfer�ncias conc�ntricas: Duas ou mais circunfer�ncias com o mesmo centro mas com raios diferentes s�o circunfer�ncias conc�ntricas.

Circunfer�ncias tangentes: Duas circunfer�ncias que est�o no mesmo plano, s�o tangentes uma � outra, se elas s�o tangentes � mesma reta no mesmo ponto de tang�ncia.

As circunfer�ncias s�o tangentes externas uma � outra se os seus centros est�o em lados opostos da reta tangente comum e elas s�o tangentes internas uma � outra se os seus centros est�o do mesmo lado da reta tangente comum.

Circunfer�ncias secantes: s�o aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.

Segmentos tangentes: Se \(AP\) e \(BP\) s�o segmentos de reta tangentes � circunfer�ncia nos ponto \(A\) e \(B\), ent�o esses segmentos \(AP\) e \(BP\) s�o congruentes.

8 Pol�gonos circunscritos

Pol�gono circunscrito a uma circunfer�ncia � aquele que possui seus lados tangentes � circunfer�ncia. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunfer�ncia est� inscrita no pol�gono.

Propriedade dos quadril�teros circunscritos: Se um quadril�tero � circunscrito a uma circunfer�ncia, a soma de dois lados opostos � igual a soma dos outros dois lados.

9 Arco de circunfer�ncia e �ngulo central

Seja a circunfer�ncia de centro O tra�ada ao lado. Pela defini��o de circunfer�ncia temos que \(OP=OQ=OR=\cdots\) e isto indica que os raios de uma circunfer�ncia s�o segmentos congruentes.

Circunfer�ncias congruentes: S�o circunfer�ncias que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e n�o a um n�mero.

�ngulo central: Em uma circunfer�ncia, o �ngulo central � aquele cujo v�rtice coincide com o centro da circunfer�ncia.

Na figura, o �ngulo \(a\) � um �ngulo central. Se numa circunfer�ncia de centro \(O\), um �ngulo central determina um arco \(AB\), dizemos que \(AB\) � o arco correspondente ao �ngulo \(A�B\).

Arco menor: � um arco que re�ne dois pontos da circunfer�ncia que n�o s�o extremos de um di�metro e todos os pontos da circunfer�ncia que est�o dentro do �ngulo central cujos lados cont�m os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor \(AB\) ou arco menor \(ACB\).

Arco maior: � um arco que liga dois pontos da circunfer�ncia que n�o s�o extremos de um di�metro e todos os pontos da circunfer�ncia que est�o fora do �ngulo central cujos lados cont�m os dois pontos. Na figura a parte azul � o arco maior, o ponto \(D\) est� no arco maior \(ADB\) enquanto o ponto \(C\) n�o est� no arco maior, mas est� no arco menor \(AB\), assim � frequentemente usado tr�s letras para representar o arco maior.

Semicircunfer�ncia: � um arco obtido pela reuni�o dos pontos extremos de um di�metro com todos os pontos da circunfer�ncia que est�o em um dos lados do di�metro. O arco \(RTS\) � uma semicircunfer�ncia da circunfer�ncia de centro \(P\) e o arco \(RUS\) � outra.

Notas: Em uma circunfer�ncia dada, temos que:

1. A medida do arco menor � a medida do �ngulo central correspondente a \(m(A�B)\) e a medida do arco maior � \(360\) graus menos a medida do arco menor \(m(A�B)\).
   
2. A medida da semicircunfer�ncia � \(180\) graus ou \(\pi\) radianos.
3. Em circunfer�ncias congruentes ou em uma simples circunfer�ncia, arcos que possuem medidas iguais s�o arcos congruentes.
4. Em uma circunfer�ncia, se um ponto \(E\) est� entre os pontos \(D\) e \(F\), que s�o extremidades de um arco menor, ent�o: \(m(DE)+m(EF)=m(DF)\).
   
5. Se o ponto \(E\) est� entre os pontos \(D\) e \(F\), extremidades de um arco maior: \(m(DE)+m(EF)=m(DEF)\).
   

Apenas esta �ltima rela��o faz sentido para as duas �ltimas figuras apresentadas.

10 Propriedades de arcos e cordas

Uma corda de circunfer�ncia � um segmento de reta que une dois pontos da circunfer�ncia. Se os extremos de uma corda n�o s�o extremos de um di�metro eles s�o extremos de dois arcos de circunfer�ncia sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando n�o for especificada, a express�o arco de uma corda se referir� ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Notas:

1. Se um ponto \(X\) est� em um arco \(AB\) e o arco \(AX\) � congruente ao arco \(XB\), o ponto \(X\) � o ponto m�dio do arco \(AB\). Al�m disso, qualquer segmento de reta que cont�m o ponto \(X\) � um segmento bissetor do arco \(AB\). O ponto m�dio do arco n�o � o centro do arco, o centro do arco � o centro da circunfer�ncia que cont�m o arco.
2. Para obter a dist�ncia de um ponto \(O\) a uma reta \(r\), tra�amos uma reta perpendicular � reta dada passando pelo ponto \(O\).
   
   O ponto \(T\) obtido pela interse��o dessas duas retas � o ponto que determina um extremo do segmento \(OT\) cuja medida � a dist�ncia entre o ponto e a reta.
3. Em uma mesma circunfer�ncia ou em circunfer�ncias congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes.
   
4. Um di�metro que � perpendicular a uma corda � bissetor da corda e tamb�m de seus dois arcos.
   
5. Em uma mesma circunfer�ncia ou em circunfer�ncias congruentes, cordas que possuem a mesma dist�ncia do centro s�o congruentes.
   

11 Pol�gonos inscritos na circunfer�ncia

Um pol�gono � inscrito em uma circunfer�ncia se cada v�rtice do pol�gono � um ponto da circunfer�ncia e neste caso dizemos que a circunfer�ncia � circunscrita ao pol�gono.

Propriedade dos quadril�teros inscritos: Se um quadril�tero est� inscrito em uma circunfer�ncia ent�o os �ngulos opostos s�o suplementares, isto � a soma dos �ngulos opostos � \(180\) graus e a soma de todos os quatro �ngulos � \(360\) graus.

\[\begin{align} � + � &= 180 \text{ graus} \\ � + � &= 180 \text{ graus} \\ � + � + � + � &= 360 \text{ graus} \end{align}\]

12 �ngulos inscritos

�ngulo inscrito relativo a uma circunfer�ncia � um �ngulo com o v�rtice na circunfer�ncia e os lados secantes a ela. Na figura seguinte � esquerda, o �ngulo \(AVB\) � inscrito e \(AB\) � o arco correspondente.

Medida do �ngulo inscrito em uma circunfer�ncia � igual � metade da respectiva medida do �ngulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto �:

\[m = \frac{n}{2} = \frac12 m(AB)\]

�ngulo reto inscrito na circunfer�ncia: O arco correspondente a um �ngulo reto inscrito em uma circunfer�ncia � a semi-circunfer�ncia. Se um tri�ngulo inscrito numa semi-circunfer�ncia tem um lado igual ao di�metro, ent�o ele � um tri�ngulo ret�ngulo e esse di�metro � a hipotenusa do tri�ngulo.

13 �ngulo semi-inscrito e arco capaz

�ngulo semi-inscrito ou �ngulo de segmento � um �ngulo que possui um dos lados tangente � circunfer�ncia, o outro lado secante � circunfer�ncia e o v�rtice na circunfer�ncia. Este �ngulo determina um arco (menor) sobre a circunfer�ncia. No gr�fico seguinte, a reta secante passa pelos pontos \(A\) e \(B\) e o arco correspondente ao �ngulo semi-inscrito \(BAC\) � o arco \(AXB\) onde \(X\) � um ponto sobre o arco.

Nota: A medida do �ngulo semi-inscrito � a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do �ngulo \(B�C\) � igual a metade da medida do arco \(AXB\).

Arco capaz: Dado um segmento \(AB\) e um �ngulo \(k\), pergunta-se: Qual � o lugar geom�trico de todos os pontos do plano que cont�m os v�rtices dos �ngulos cujos lados passam pelos pontos \(A\) e \(B\) sendo todos os �ngulos congruentes ao �ngulo \(k\)? Este lugar geom�trico � um arco de circunfer�ncia denominado arco capaz.

Constru��o do arco capaz com r�gua e compasso

1. Tra�ar um segmento de reta \(AB\);
2. Pelo ponto \(A\), trace uma reta \(t\) formando com o segmento \(AB\) um �ngulo congruente a \(k\) (mesma medida que o �ngulo \(k\));
3. Tra�ar uma reta \(p\) perpendicular � reta \(t\) passando pelo ponto \(A\);
4. Determinar o ponto m�dio \(M\) do segmento \(AB\);
5. Tra�ar a reta mediatriz \(m\) ao segmento \(AB\);
6. Obter o ponto \(O\) que � a interse��o entre a reta \(p\) e a mediatriz \(m\).
7. Com o compasso centrado no ponto \(O\) e abertura \(OA\), tra�ar o arco de circunfer�ncia localizado acima do segmento \(AB\).
8. O arco que aparece em vermelho no gr�fico ao lado � o arco capaz.

Nota: Todo �ngulo inscrito no arco capaz \(AB\), com lados passando pelos pontos \(A\) e \(B\) s�o congruentes e isto significa que, o segmento de reta \(AB\) � sempre visto sob o mesmo �ngulo de vis�o se o v�rtice deste �ngulo est� localizado no arco capaz. Na figura seguinte � esquerda, os �ngulos que passam por \(A\) e \(B\) e t�m v�rtices em \(V_1\), \(V_2\), \(V_3,\cdots\), s�o todos congruentes (a mesma medida).

Na figura anterior � direita, o arco capaz relativo ao �ngulo semi-inscrito \(m\) de v�rtice em \(A\) � o arco \(AVB\). Se \(n\) � �ngulo central ent�o a medida de \(m\), denotada por \(\mu(m)\) � o dobro da medida de \(n\), denotada por \(\mu(n)\), isto �:

\[m(arco AB) = 2\mu(m) = \mu(n)\]

14 Outras propriedades com cordas e segmentos

Agora apresentamos alguns resultados que fazem a conex�o entre segmentos e cordas, que n�o s�o evidentes � primeira vista.

Se a reta \(AB\) � tangente � circunfer�ncia no ponto \(B\) ent�o o segmento \(AB\) � o segmento tangente de A \(a\)t� a circunfer�ncia. Se a reta \(RT\) � uma reta secante que intercepta a circunfer�ncia em \(S\) e \(T\), e al�m disso, \(R\) � um ponto exterior � circunfer�ncia, ent�o \(RT\) � um segmento secante e \(RS\) � a parte externa do segmento secante.

Na sequ�ncia, usamos a nota��o \((PZ)\) para representar a medida do segmento \(PZ\), em fun��o das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresenta��o de materiais de Matem�tica.

Cordas interceptando dentro da circunfer�ncia: Consideremos duas cordas de uma mesma circunfer�ncia se interceptam em um ponto \(P\) dentro da circunfer�ncia.

Ent�o, o produto das medidas das duas partes de uma corda � igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda.

\[(AP).(PB) = (CP).(PD)\]

Pot�ncia de ponto (1): A partir de um ponto fixo \(P\) dentro de uma circunfer�ncia, tem-se que \((PA).(PB)\) � constante qualquer que seja a corda \(AB\) passando por este ponto \(P\). Este produto \((PA).(PB)\) � denominado a pot�ncia do ponto \(P\) em rela��o a esta circunfer�ncia.

Secantes interceptando fora da circunfer�ncia: Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunfer�ncia que se interceptam em um ponto \(P\) localizado fora da circunfer�ncia.

Se uma das retas passa pelos pontos \(A\) e \(B\) e a outra reta passa pelos pontos \(C\) e \(D\) da circunfer�ncia, ent�o o produto da medida do segmento secante \(PA\) pela medida da sua parte exterior \(PB\) � igual ao produto da medida do segmento secante \(PC\) pela medida da sua parte exterior \(PD\), isto �,

\[(PA).(PB)=(PC).(PD)\]

Pot�ncia de ponto (2): Se \(P\) � um ponto fixo fora da circunfer�ncia, o produto \((PA).(PB)\) � constante qualquer que seja a reta secante � circunfer�ncia passando por \(P\). Este produto \((PA).(PB)\) � tamb�m denominado a pot�ncia do ponto \(P\) em rela��o � circunfer�ncia.

Secante e tangente interceptando fora da circunfer�ncia: Seja uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunfer�ncia se interceptam em um ponto \(P\) fora da circunfer�ncia, a reta secante passando pelos pontos \(A\) e \(B\) e a reta tangente passando pelo ponto \(T\) de tang�ncia � circunfer�ncia.

Ent�o, o quadrado da medida do segmento tangente \(PT\) � igual ao produto da medida do segmento secante \(PA\) pela medida da sua parte exterior \(PB\), isto �,

\[(PT)^2 = (PA).(PB)\]

Exemplo: Consideremos a figura com as cordas \(AB\) e \(CD\) tendo interse��o no ponto \(P\), com \((AP)=5\) cm, \((PB)=8\) cm, \((CD)=14\) cm.

Vamos obter a medida do segmento \(PD\). Tomamos \((PD)=x\), para escrever que \((CP)=14-x\) e somente utilizamos a unidade de medida no final. Desse modo, \((PD).(PC)=(PA).(PB)\) e podemos escrever que \(x(14-x)=5{\times}8\), de onde segue que \(x^2-14x+40=0\). Resolvendo esta equa��o, obtemos: \(x=4\) ou \(x=10\), o que significa que se uma das partes do segmento medir \(4\operatorname{cm}\), a outra medir� \(10\operatorname{cm}\). Pela figura anexada, observamos que o segmento \(PD\) � maior que o segmento \(PC\) e conclu�mos que \((PD)=10\operatorname{cm}\) e \((PC)=4\operatorname{cm}\).

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