Multiplicação de expoente de mesma base

Na matemática, a potenciação é a operação que representa a multiplicação de termos iguais. Assim, a potenciação, ou exponenciação, é utilizada para representar que um número está sendo multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Exemplos:

Base da potenciação

Na operação matemática em questão, chamamos de base o número que está sendo elevado a determinado expoente. Ou seja, a base é o número o qual é multiplicado por ele mesmo quantas vezes o expoente indicar.

Exemplo:

A base da operação proposta é o número  que carrega consigo o expoente .

Expoente da potenciação

O expoente é o valor numérico que indica a quantidade de vezes que a base se repete em multiplicação. O expoente se localiza na lateral superior direita da base.

Exemplo:

O expoente da operação proposta é o número 99.

Potência

Chama-se potência o resultado da operação que envolve a base e o expoente, ou seja, o resultado da multiplicação da base por ela mesma n vezes, sendo n a quantidade de vezes que tal multiplicação deve ser efetuada, indicada pelo expoente.

Exemplos:

A potência é o número 32.

A potência é o número 970299.

Relação entre o expoente e a base

O expoente da potenciação indica a quantidade de bases presentes no produto entre elas.  Assim, a operação 35, por exemplo, indica que teremos 5 bases valendo 3 em operação de multiplicação (3.3.3.3.3 = 35).

Essa relação indica que qualquer número, sozinho, na verdade está elevado a 1. Por exemplo, o número 3, ele sozinho aparece 1 vez, o que indica que há, implícito, um expoente valendo 1 (3 = 31).

Expoente 1

Na potenciação, qualquer valor numérico elevado ao expoente  resultará no próprio valor numérico.

Exemplos:

Expoente zero

Por definição, indica-se que todo número real a diferente de zero, elevado ao expoente 0, resulta em 1, de modo que

.  Lê-se “a elevado a zero é igual a 1 para todo a real diferente de zero”.

Exemplos:

Base 1

A potenciação de base 1 sempre resultará em 1, uma vez que a operação indica quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela mesma, e que 1 multiplicado por 1 resulta no próprio 1.

Exemplos:

Bases iguais e expoentes diferentes

Em operações matemáticas que envolvem potenciação, quando as bases das operações forem iguais, tanto a divisão, quanto a multiplicação, podem ser resolvidas com certa facilidade.

Para a multiplicação de potências de bases iguais, pode-se sempre manter as bases e somar os expoentes, de modo que a base se conserve e somente o expoente se altere.

Exemplos:

Já para a divisão, a operação que envolva bases iguais pode ser dada pela conservação da base e a subtração dos expoentes.

Exemplos:

Bases diferentes e expoentes iguais

Para multiplicar potências com bases diferentes, mas expoentes iguais, podemos juntar as bases e elevar uma vez só o expoente.

Exemplos:

De forma análoga, para a operação de divisão entre duas potências de bases diferentes, mas expoentes iguais, a operação pode ser escrita como a divisão das bases, elevada ao mesmo expoente.

Exemplos:

Potência da potência

Para o caso em que a operação a ser efetuada for uma potência da potência, pode-se escrever a operação como a base elevada à multiplicação dos expoentes.

Exemplos:

Expoente negativo

No caso em que a potenciação conter um expoente negativo, a operação pode ser escrita como a inversa da base elevada ao expoente com sinal positivo.

Exemplo.

Frações com o expoente negativo

Para este caso, mantém-se a propriedade do expoente negativo, como no exemplo abaixo:

Assim, para uma base em forma de fração elevada a um expoente negativo, basta inverter os termos da base (numerador e denominador), elevando a nova base ao expoente com sinal positivo.

Exemplos:

As quatro operações matemáticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, entretanto, não são as únicas operações existentes. Quando o produto envolve fatores que são todos iguais, é possível definir uma nova operação matemática: a potenciação. Como tudo na Matemática, com uma nova definição, é possível também encontrar novas propriedades exclusivas a ela.

Vale relembrar, de forma rápida, a definição de potenciação antes de prosseguir com a explicação de suas propriedades.

Definição de potenciação

A potenciação é a operação matemática baseada em um produto, na qual todos os fatores são o mesmo número real. Exemplo:

7·7·7·7

O número real que se repete é chamado de base da potência, e a quantidade de vezes que ele repete-se é denominada expoente da potência. É possível reescrever uma potência com notação própria, colocando o expoente à direita da base, como um índice superior. Veja o exemplo anterior escrito na notação de potência:

7·7·7·7 = 74

De forma geral, as potências são definidas como:

an = a·a·a·...·a, em que a repete-se n vezes.

Propriedades da potenciação

A potenciação possui oitopropriedades mais importantes, com as quais é possível resolver quase todos os problemas envolvendo essa operação:

1 – Expoente zero

Sempre que o expoente de uma potência for zero, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a0 = 1

2 – Expoente unitário

Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a1 = a

3 – Produto de potências de mesma base

O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências.

Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

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an∙am = an + m

Para verificar isso, observe o exemplo:

a4·a2 = a·a·a·a·a·a = a6 = a4 + 2

4 – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas.

Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

an:am = an – m

Para verificar isso, observe o exemplo:

a9:a7 = a9 – 7 = a2

Isso acontece porque:

a7:a9 = a7 = aaaaaaaaa = aa = a2
a9     aaaaaaa      

5 – Potência de potência

Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base.

Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos:

(an)m = an·m

6 – Potência cuja base é uma divisão ou um produto

Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números naturais, teremos:

(a·b)n = an·bn

Se a base for uma divisão, teremos:

(a:b)n = an:bn

Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração.

7 – Expoentes negativos

Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida.

Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos:

8 – Potências com expoente racional

Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos:

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Como multiplicar potências de mesma base?

Como multiplicar potências com o mesmo expoente?