Em um poliedro convexo, o número de arestas é o dobro do número de vértices

Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir:

Cubo
Vértices: 8
Arestas: 12
Faces: 6

Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números!

Octaedro
Vértices: 6
Arestas: 12
Faces: 8

Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números novamente!

Pirâmide quadrangular
Vértices: 5
Arestas: 8
Faces: 5

Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas?

O que aconteceu em todos os casos?

O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2!

Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos:

Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler

1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Resolução:

De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6

Eliminando V:

F = 8

O número de faces é igual a 8.

2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Resolução:

Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.

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T.D. POLIEDROS 
1. Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente 
faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces 
têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 
32 ângulos retos? 
 
 
2. Calcule em graus a soma dos ângulos das faces 
de um: 
a) tetraedro 
b) hexaedro 
c) octaedro 
d) dodecaedro 
e) icosaedro 
 
 
3. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces 
triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada 
espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 
retos? 
 
 
 
4. A soma dos ângulos das faces de um poliedro 
convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo 
que é 2/3 do número de arestas? 
 
 
 
5. Um poliedro apresenta faces triangulares e 
quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é 
igual a 2160°. Determine o número de faces de cada 
espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 
arestas. 
 
 
 
6. Da superfície de um poliedro regular de faces 
pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um 
vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e 
vértices da superfície poliédrica que resta. 
 
 
7. Numa molécula tridimensional de carbono, os 
átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo 
de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais 
regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o 
número de átomos de carbono na molécula? E o 
número de ligações entre esses átomos? 
 
 
 
8. Determine o número de vértices de um poliedro 
convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face 
quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 
 
 
 
9. Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de 
faces é igual ao número de vértices. Quantas faces 
têm esse poliedro? 
 
 
 
10. Num poliedro convexo o número de arestas 
excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule 
o número de faces desse poliedro? 
 
 
 
11. Um poliedro convexo apresenta faces 
quadrangulares e triangulares. Calcule o número de 
faces desse poliedro, sabendo que o número de 
arestas é o quádruplo do número de faces 
triangulares e o número de faces quadrangulares é 
igual a 5. 
 
 
 
12. Determine o número de vértices, arestas e faces 
de um poliedro convexo formado por 5 ângulos 
triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos 
pentaédricos e oito ângulos hexaédricos. 
 
 
 
13. Um poliedro convexo possui 1 ângulo 
pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais 
triédricos. Sabendo que o poliedro tem: número de 
faces triangulares igual ao número de faces 
quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 
faces, calcule o número de vértices do poliedro 
convexo. 
 
 
 
14. Um poliedro convexo possui apenas faces 
triangulares e quadrangulares. Sabendo que o 
número de faces triangulares e quadrangulares são 
diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que 
o número de arestas é o dobro do número de 
vértices, calcule o número total de faces desse 
poliedro. 
 
 
 
15. Um octaedro convexo possui todas as faces 
triangulares. Quantas arestas tem esse poliedro? 
Um poliedro convexo é constituído por 20 ângulos 
triédricos. Quantas arestas tem esse poliedro? 
 
 
 
16. Um poliedro convexo é constituído por 6 ângulos 
triédricos e 4 ângulos tetraédricos. Quantas arestas 
possui esse poliedro? 
 
 
 
17. Um poliedro convexo é constituído por 25 arestas 
e 15 faces. Quantos vértices possui esse poliedro? 
 
 
 
18. Um poliedro convexo é constituído por 20 arestas 
e seu número de vértices é igual ao número de faces. 
Quantas faces formam esse poliedro? 
 
 
 
19. Um decaedro convexo possui todas as faces 
quadrangulares. Determinar o número de vértices 
desse poliedro. 
 
 
 
20. O buckminsterfullereno é uma estrutura formada 
por átomos de carbono distribuídos nos vértices de 
um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 
hexagonais, havendo em cada vértice um único 
átomo. Quantos átomos compõem o 
buckminsterfullereno? 
 
21. Responda aos itens a seguir. 
 
a) Um icosaedro convexo possui todas as faces 
triangulares. Quantas arestas compõem esse 
poliedro? 
 
b) Um dodecaedro convexo é constituído por 10 
faces quadrangulares e as demais faces hexagonais. 
Quantas arestas compõem esse poliedro? 
 
c) Um poliedro convexo é composto por 15 faces 
quadrangulares e n faces pentagonais. Sabendo que 
o total de arestas desse poliedro é 35, determine n. 
 
 
22. Responda aos itens seguintes. 
 
a) Um poliedro convexo é constituído por 10 ângulos 
tetraédricos. Quantas arestas compõem esse 
poliedro ? 
 
b) Um poliedro convexo é constituído por 12 ângulos 
tetraédricos e 2 ângulos hexaédricos. Quantas 
arestas compõem esse poliedro? 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
c) Um poliedro convexo é constituído por n + 8 
ângulos triédricos e n ângulos pentaédricos. 
Sabendo que o total de arestas desse poliedro é 20, 
determine o seu número de ângulos triédricos. 
 
 
 
23. Calcule o número de vértices de um poliedro 
convexo constituído por 21 arestas e 15 faces. 
 
 
 
24. Qual é o número de faces de um poliedro convexo 
constituído por 16 vértices e 24 arestas? 
 
 
 
25. Calcule o número de arestas de um poliedro 
convexo constituído por 16 vértices e 21 faces. 
 
 
 
26. Responda aos itens seguintes, justificando a sua 
resposta. 
 
a) Existe poliedro convexo constituído por 8 vértices, 
12 arestas e 5 faces? 
 
b) Existe poliedro convexo em que o número de 
vértices, o número de arestas e o número de faces 
são todos ímpares?

Qual o número de vértices de um poliedro convexo?

Quantas arestas é vértices tem um poliedro convexo?

Quantas arestas tem o poliedro convexo?

O que é um poliedros convexos?