Como descobrir o número de lados de um polígono pelo número de diagonais?

Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta ligados um ao outro pelo seu ponto inicial e final. Para ser polígono, a figura deve ser fechada e os segmentos de reta que a compõem não podem se cruzar.

Índice Show

Polígono convexo
Polígono côncavo ou não convexo
Diagonal de um polígono
Número de diagonais de um polígono
Como descobrir o número de lados de um polígono através das diagonais?
Como encontrar o número de lados de um polígono?
Qual é o número de lados de um polígono com 65 diagonais?
Qual é o número de lados de um polígono que tem 35 diagonais?

São elementos pertencentes ao polígono:

1 – Segmentos de reta chamados de lados. Na figura, eles são AB, BC, … e HA;

2 – Pontos de encontro entre esses lados, isto é, os vértices. Na figura, são os pontos A, B, … e H;

3 – Ângulos internos do polígono. Na figura, é o ângulo de 135°;

4 – Ângulos externos do polígono. Na figura, é o ângulo de 45°;

5 – Diagonais. Na figura, são os segmentos pontilhados.

A figura acima mostra que, partindo do vértice F, podem ser construídas cinco diagonais. Não podem ser construídas mais que cinco porque a diagonal é um segmento de reta que se inicia em um vértice de um polígono e termina em outro vértice não consecutivo ao vértice inicial do mesmo polígono.

Dessa forma, para desenhar todas as diagonais de um polígono, basta ligar todos os seus vértices. Aqueles que já são lados não podem ser considerados diagonais. A figura seguinte mostra pontilhadas todas as diagonais de um octógono.

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Para saber quantas diagonais determinado polígono possui, podemos desenhá-las e contá-las ou apenas utilizar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono:

D = n(n – 3)
2

*n é o número de lados do polígono.

Vamos testar a funcionalidade dessa fórmula. Vejamos o número de diagonais do quadrado:

Um quadrilátero possui apenas duas diagonais. Vamos utilizar a fórmula para verificar essa informação:

D = 4(4 – 3)
2

D = 4·1
2

D = 2

Vejamos para o pentágono:

Um pentágono possui cinco diagonais. Vejamos se a fórmula resulta nesse mesmo número:

D = 5(5 – 3)
2

D = 5·2
2

D = 10
2

D = 5

Vale ressaltar que desenhar um polígono que possui 25 lados não é tarefa fácil e desenhar suas 275 diagonais é uma tarefa mais difícil ainda. A contagem dessas diagonais pode ser muito confusa, mas o cálculo é exato e não oferece margem de erro.

D = 25(25 – 3)
2

D = 25·22
2

D = 25·11

D = 275

Polígonos

Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um desses segmentos é comum a apenas um outro.

Eles podem ser côncavos ou convexos. Dados dois pontos A e B, interiores ao polígono, ele será convexo se, e somente se, o segmento de reta AB estiver contido inteiramente no polígono. Caso contrário, ele será côncavo.

Polígono convexo

A reta AB está inteiramente contida no polígono:

Polígono côncavo ou não convexo

A reta CD não está inteiramente contida no polígono.

Diagonal de um polígono

A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos desse polígono:

Na figura acima, os segmentos AC e BD são diagonais.

Número de diagonais de um polígono

É possível determinar a quantidade de diagonais que um polígono qualquer de lado n pode ter. Existe uma fórmula matemática que nos dá essa quantidade de diagonais, considerando a quantidade de lados do polígono.

Considere o seguinte polígono, um hexágono regular ABCDEF:

Para cada vértice deste polígono, por exemplo, o vértice A, podemos contar, inicialmente 6 diagonais:

Uma delas é AA (sai de A e vai para ele mesmo), AB, AC, AD, AE, AF.

Mas, pela definição de diagonal, os segmentos AA, AB e AF não são diagonais, pois AA é, em si o próprio vértice A e AB e AF são lados do polígono.

Assim, dos 6 segmentos, apenas 3 são realmente diagonais. Como temos um total de 6 vértices, de cada um deles sairão 3 diagonais, totalizando 6 . 3 = 18 diagonais (observe que estaremos contando, por exemplo, AC e CA como duas diagonais diferentes, por isso sempre devemos dividir esse valor por 2, como veremos, totalizando 9 diagonais para um hexágono).

Isso sempre acontecerá em qualquer polígono. Por exemplo, se um polígono tem 8 lados, de cada vértice contamos 8 segmentos, dos quais 3 deles não são considerados diagonais, ou seja, teremos 8 – 3 diagonais, ou seja, apenas 5.

Número de lados:	4	5	6	7	8	n
Número de diagonais de um vértice:	1	2	3	4	5	n-3

Nesse sentido, para um polígono de n lados, teremos, saindo de cada vértice, n – 3 diagonais. Como temos n vértices, a quantidade de diagonais será n (n - 3).

Note que, como dito antes, estamos contando cada diagonal duas vezes. Tomando a figura acima como exemplo, estamos contando que AD e DA são duas diagonais diferentes, quando na verdade é a mesma. Assim, do total de diagonais que calculamos em um polígono, temos que dividir esse valor por 2.

Assim, para um polígono de n lados, teremos uma quantidade de diagonais dada por:

Vale ressaltar que n sempre deve ser maior que 3, pois um polígono de exatamente 3 lados (um triângulo) não possui nenhuma diagonal.

Ilustrando:

Exemplo

Qual a quantidade de diagonais de um polígono de 12 lados?

Logo, esse polígono tem 54 diagonais.

Referência:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/numero-de-diagonais-de-um-poligono/

Como descobrir o número de lados de um polígono através das diagonais?

A fórmula é P = n (n-3)/2. Então se você tem 54 diagonais.

Como encontrar o número de lados de um polígono?

Divida 360 pelo valor do ângulo externo para também encontrar o número de lados do polígono. Por exemplo, se a medida do ângulo externo é de 60°, dividindo-se 360 por 60 dá 6. Seis é o número de lados que o polígono tem.