Com base no mapa B, calcule a distância aproximada entre

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A distância, geralmente representada pela variável "d", é a medida do espaço em linha reta entre dois pontos. A distância pode se referir ao espaço que separa dois pontos estacionários (por exemplo, a altura de uma pessoa é a distância entre a sola do seu pé e o topo da sua cabeça) ou ao espaço entre um objeto em movimento e o ponto inicial desse movimento. A maior parte dos problemas envolvendo distância pode ser solucionada pela equação d = v × t, onde "d" representa distância, "v" representa velocidade e "t" representa tempo, ou pela equação d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2, onde (x1, y1) e (x2, y2) representam as coordenadas x e y dos dois pontos.

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   Determine os valores da velocidade e do tempo. Duas informações são essenciais para calcular a distância que um determinado corpo em movimento percorreu: sua velocidade e o tempo de duração desse deslocamento. A partir desses dados, é possível calcular a distância pela qual o objeto se deslocou através da fórmula d (distância) = v (velocidade) × t (tempo de deslocamento).

   • Para entender melhor o processo de aplicação dessa fórmula, vamos resolver o exemplo a seguir. Suponha que você esteja dirigindo a uma velocidade de 72 km/h e deseja saber quanto andou após meio hora de viagem. Considerando esses dados, o valor de v (velocidade) = 72 km/h e o valor de t (tempo) = 0,5 horas.

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   Multiplique a velocidade pelo tempo. Depois de determinar o valor da velocidade do objeto e o tempo pelo qual ele se deslocou, calcular a distância que ele percorreu é um processo simples. Para isso, basta multiplicar esses dois valores para chegar ao valor da distância.

   • Fique atento às unidades de medida de tempo no valor da velocidade e no valor do tempo de deslocamento. Se forem diferentes, será preciso converter uma delas para continuar com a resolução. Por exemplo, se a velocidade é dada em km/h e o tempo de deslocamento é dado em minutos, poderíamos dividir o valor do tempo por 60 para convertê-lo em horas.
   • Continuando a resolução do exemplo, teremos 72 km/h × 0,5 horas = 36 quilômetros. Observe que a unidade do tempo de deslocamento (horas) é cancelada com a unidade no denominador da velocidade (horas), restando somente a unidade de distância (quilômetro).

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   Modifique a equação para resolver diferentes tipos de problemas. A simplicidade dessa equação (d = v × t) permite que ela seja usada para calcular os valores de outras variáveis além da distância. Para isso, isole a variável que deseja calcular aplicando as regras básicas da álgebra e depois substitua os valores conhecidos das duas outras variáveis para chegar ao valor da terceira. Em outras palavras, para encontrar o valor da velocidade do objeto, use a equação v = d/t; já para encontrar o valor do tempo de deslocamento do objeto, use a equação t = d/v.

   • Por exemplo, suponha que um carro andou 6 quilômetros em 12 minutos, porém não temos o valor da sua velocidade. Nesse caso, isolamos a variável "v" da equação da distância e obtemos a nova equação v = d/t. Em seguida, dividimos 6 quilômetros/12 minutos e chegamos a resposta 0,5 km/min.
   • Observe que, neste exemplo, o valor da velocidade possui uma unidade de tempo que não pertence ao S.I. (km/min). Para que a resposta seja expressa em km/h, devemos multiplicá-la por 60 minutos/hora para então chegarmos ao valor de 30 km/h.

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   Considere que a velocidade "v" da fórmula da distância é uma velocidade média. É importante ter em mente que a fórmula básica da distância oferece uma interpretação simplificada do movimento do objeto. A fórmula da distância leva em consideração que o objeto em deslocamento possui uma velocidade constante, ou seja, que o corpo em questão se move a uma velocidade que não se altera. Em problemas matemáticos abstratos (como os encontrados no meio acadêmico), ainda é possível levar em conta esse modelo. No entanto, na vida real, ele não reflete com exatidão a forma como os corpos se movem; em situações reais, um objeto pode, ao longo do tempo, ganhar ou perder velocidade, parar ou mesmo sofrer uma mudança no seu sentido de deslocamento.

   • No problema anterior, concluímos que para nos deslocarmos por 6 km em 12 minutos, teríamos que dirigir à velocidade de 30 km/h. No entanto, isso é verdadeiro somente se a velocidade do carro for mantida constante ao longo de todo o trajeto. No caso desse exemplo, se andássemos metade do caminho à velocidade de 20 km/h e a outra metade à 60 km/h, conseguiríamos ainda assim andar os 6 quilômetros em 12 minutos; no entanto, a velocidade não seria considerada constante.
   • Soluções obtidas por meio de cálculo integral são geralmente mais precisas que as obtidas através da fórmula da distância; elas representam com maior exatidão as variações de velocidade que ocorrem nas situações do mundo real.

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   Determine as coordenadas dos pontos x, y e/ou z. E se, em vez de calcular a distância que um objeto percorreu, você precisar determinar a distância que separa dois objetos em repouso? Nesse caso, a fórmula da distância baseada em velocidade será inútil. Felizmente, uma outra fórmula pode ser usada para calcular facilmente a distância em linha reta entre dois pontos. No entanto, para poder usar essa fórmula, você precisará conhecer as coordenadas dos dois pontos em questão. Se a distância for em um espaço unidimensional (como numa reta numérica), as coordenadas dos pontos serão simplesmente dois números, x1 e x2. Se a distância for em um espaço bidimensional, serão necessários dois valores para cada ponto, (x1,y1) e (x2,y2). Por último, se a distância for em um espaço tridimensional, você precisará de três coordenadas para cada ponto, (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2).

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   Calcule a distância entre dois pontos em um espaço unidimensional. Calcular a distância entre dois pontos em um espaço de uma dimensão é uma tarefa simples. Para isso, basta usar a fórmula d = |x2 - x1|. Nessa fórmula, você deve calcular a diferença entre x1 e x2 e depois tirar o módulo (valor absoluto) do resultado para encontrar a distância entre x1 e x2. Você deve usa essa fórmula quando os dois pontos estiverem dispostos, por exemplo, em uma linha.

   • Observe que a fórmula usa o símbolo de módulo ("| |"). O módulo serve para garantir que os valores dentro dele se tornem positivos caso sejam negativos.
   • Imagine que você está parado no acostamento de uma estrada perfeitamente reta. Se existe uma cidade 5 quilômetros à sua esquerda e uma outra cidade 1 quilômetro à sua direita, qual a distância que separa as duas cidades? Se chamarmos a primeira cidade de x1 = 5 e a segunda cidade de x1 = -1, podemos calcular a distância entre elas da seguinte maneira:
     • d = |x2 - x1|
     • d = |(-1) - (5)| = |-1 - 5|
     • d = |-6| = 6 quilômetros.

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   Calcule a distância entre dois pontos em um espaço bidimensional. Calcular a distância entre dois pontos em um espaço de duas dimensões é um pouco mais complexo do que em uma só dimensão, porém não é difícil. Para esse caso, use d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). Nessa fórmula, você irá calcular a diferença entre as coordenadas x dos dois pontos, elevar esse primeiro resultado ao quadrado; calcular a diferença entre as coordenadas y; elevar esse segundo resultado ao quadrado; somar os dois resultados; e tirar a raiz quadrada para finalmente encontrar a distância entre os dois pontos. Essa fórmula serve para espaços de duas dimensões como um plano cartesiano.

   • A fórmula para calcular uma distância em um espaço bidimensional faz uso do teorema de Pitágoras: esse teorema afirma que a hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos outros dois lados.
   • Imagine dois pontos num plano cartesiano, (3, -10) e (11, 7), que representam respectivamente o centro de uma circunferência e um ponto dessa circunferência. Para encontrar o raio dessa circunferência, ou seja, a linha reta que separa esses dois pontos, faça o seguinte:
   • d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
   • d = √((11 - 3)2 + [(7 - (-10)]2) = √((11 - 3)2 + (7 + 10)2)
   • d = √(64 + 289)
   • d = √(353) = 18,79.

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   Calcule a distância entre dois pontos em um espaço tridimensional. Em um espaço de três dimensões, os pontos passam a ter uma coordenada z além das coordenadas x e y. Nesse caso, para calcular a distância entre dois pontos, use a fórmula d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Essa é uma versão modificada da fórmula mostrada acima que inclui a coordenada z. Nela, você deve subtrair as coordenadas z dos dois pontos, elevar o resultado ao quadrado e prosseguir com as outras operações da fórmula para chegar ao resultado final que representa a distância em os dois pontos.

   • Imagine que você é um astronauta flutuando no espaço perto de dois asteroides. O primeiro deles está a cerca de 8 quilômetros à sua frente, 2 quilômetros à sua direita e 5 quilômetros abaixo da sua posição; já o segundo, está 3 quilômetros atrás, 3 quilômetros à sua esquerda e 4 quilômetros acima da sua posição. Se representarmos as posições dos asteroides através das coordenadas (8, 2, -5) e (-3, -3, 4), podemos calcular a distância entre eles da seguinte maneira:
   • d = √((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + [4 - (-5)]2)
   • d = √((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
   • d = √(121 + 25 + 81)
   • d = √(227) = 15,07 km.

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