Conhecemos como probabilidade condicional a probabilidade de um determinado evento ocorrer, sabendo que um evento condicionante já aconteceu. Dados dois eventos A e B, inicialmente com o mesmo espaço amostral, a probabilidade condicional é representada por P(A|B) e significa a probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B ocorreu. Existe uma fórmula específica que ajuda a resolver problemas de probabilidade condicional. Show
Leia também: Os três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade Tópicos deste artigo
Resumo sobre a probabilidade condicional
→ A primeira fórmula da probabilidade condicional é: → Podemos calcular a probabilidade condicional também pela fórmula: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Videoaula sobre probabilidade condicionalEspaço amostralPara compreender o que é a probabilidade condicional, é importante relembrar o que é o espaço amostral. Em um experimento aleatório, conhecemos como espaço amostral o conjunto com todos os resultados possíveis para esse experimento. Exemplo 1: Quando lançamos um dado comum e observamos o resultado da face superior, nosso espaço amostral são os números {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O espaço amostral é normalmente representado pelo símbolo Ω (lê-se: ômega), ou seja, nesse caso, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Exemplo 2: Ao realizar o lançamento de uma moeda comum três vezes consecutivas, teremos o seguinte espaço amostral: Ω = {(cara, cara, cara); (cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara); (coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa); (coroa, coroa, coroa)} EventoConhecemos como evento um determinado conjunto de resultados que queremos que ocorra no experimento aleatório, o evento é sempre um subconjunto do espaço amostral. Exemplo 1: Ao lançar o dado, queremos que o resultado seja um número primo. Então, nesse caso, o evento é sair um número primo, e os resultados favoráveis são A = {2, 3, 5}. Exemplo 2: Ao lançar o dado, queremos que o resultado seja um número par. Então, nesse caso, o evento é sair um número par e os resultados favoráveis são B = {2, 4, 6}. Exemplo 3: No lançamento da moeda por três vezes sucessivas, queremos que o resultado seja sair cara somente uma vez. Nesse evento, os casos favoráveis são C = {(cara, coroa, coroa); (coroa, cara, coroa); (coroa, coroa, cara)}. Veja também: O que é o princípio fundamental da contagem? O que é probabilidade condicional?A probabilidade condicional é a chance de um determinado evento acontecer tendo como base que um evento aconteceu anteriormente; ambos os eventos possuem o mesmo espaço amostral. Esse evento que ocorreu anteriormente é conhecido como condicionante. Dizemos que a probabilidade de o evento A acontecer, sabendo que o evento B aconteceu, é conhecida como probabilidade condicional do evento A dado B, representada por P(A|B) (lê-se: probabilidade de A dado B). Essa probabilidade só existe se os eventos possuírem o mesmo espaço amostral (diferente do vazio) e se B não for um evento impossível. Exemplo 1: Durante o lançamento de dois dados, queremos calcular a probabilidade de o resultado da soma das faces superiores ser igual a 6, sabendo que o resultado do lançamento dos dados são dois números pares. Perceba que há dois eventos: B → As duas faces são números pares. A → A soma das faces superiores é igual a 6. Então, queremos a probabilidade P(A|B): P(A soma das faces superiores é 6 | As duas faces são números pares). Exemplo 2: Em um conjunto de pessoas, entre homens e mulheres, uma delas será sorteada aleatoriamente. Uma possível probabilidade condicional é a probabilidade de a pessoa sorteada usar óculos, sabendo que o sorteado foi um homem. B → O sorteado é um homem. A → O sorteado usa óculos. P(A|B) = P(O sorteado usa óculos | O sorteado é um homem) Agora que conhecemos as situações que envolvem a probabilidade, veremos a fórmula utilizada para calcular a probabilidade condicional. Fórmula para calcular a probabilidade condicionalPara calcular a probabilidade P(A|B), utilizamos a fórmula: Analisando a fórmula, é possível simplificá-la para calcular a probabilidade condicional: Como se calcula a probabilidade condicional?Para calcular a probabilidade condicional, podemos utilizar qualquer uma das fórmulas supracitadas. Exemplo: Uma moeda comum foi lançada três vezes e o resultado foi anotado. Qual é a probabilidade de se obter exatamente duas caras sabendo que o primeiro resultado foi cara? Primeiro identificamos o evento B, lembrando que ele é condicionante. B → O primeiro lançamento é cara. B = {(cara, coroa, coroa); (cara, cara coroa); (cara, coroa cara); (cara, cara, cara)} n(B) = 4 Agora identificaremos o evento A∩B: A → O resultado possui exatamente duas caras. A∩B → O resultado possui exatamente duas caras, e o primeiro resultado é cara. {(cara, cara coroa); (cara, coroa cara)} n(A∩B) = 2 Então, P(A|B) pode ser calculado por: Exercícios resolvidos sobre probabilidade condicionalQuestão 1 - (Enem) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5, e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é: A) 1/3 B) 1/5 C) 2/5 D) 5/7 E) 5/14 Resolução Alternativa D Note que esse problema envolve uma probabilidade condicional. Queremos calcular a probabilidade de a funcionária escolhida calçar 38,0 dado que ela calça mais que 36. B → Calçar mais que 36 A → Calçar 38 A∩B → A intersecção é o conjunto formado pelas pessoas que calçam mais que 36 e que calçam 38, logo, ele é formado exclusivamente pelas 10 funcionárias que calçam 38. n(B) = 3 + 10 + 1 = 14 n(A∩B) = 10 Então, temos que: Questão 2 - Em uma sala de aula, o professor construiu a tabela a seguir com as características dos seus alunos:
Se um estudante for sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de ele ser um homem sabendo que esse estudante não usa óculos? A) 4% Resolução Alternativa D Os eventos são: B → O sorteado usa óculos. A → O sorteado é um homem. A∩B → O sorteado usa óculos e é um homem. Sabemos que o sorteado usa óculos, então: n(B) = 10 + 15 = 25. Também temos que n(A∩B) = 10 Dessa forma, podemos calcular a probabilidade condicional: Sabemos que 0,4 = 40%. Por Raul Rodrigues de Oliveira Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento?Dois eventos, A e B, são chamados de independentes quando a ocorrência de um evento não tem qualquer efeito sobre o outro. Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6.
Qual é a probabilidade de obtermos um número maior que 4?uma dado tem 6 faces, para obtermos um numero maior que 4 basta retirar os numeros menos que 4 da contagem, assim, só sobrará 5 e 6. então teremos a probabilidade de: 2/6 que equivale a 1/3.
Qual é a probabilidade de sair o número 2?No caso dos dados, a probabilidade de sair o número 2 em um lançamento é igual a 1/6. Um evento, na teoria de probabilidades, é um conjunto de pontos amostrais de um espaço amostral, ou seja, é um subconjunto do espaço amostral. No lançamento dos dados, podemos citar como exemplo de evento “sair um número par”.
Qual a probabilidade de se tirar 4 vezes seguidas um mesmo número em um dado comum de 6 faces?Qual a probabilidade de se tirar 4 vezes seguidas um mesmo número em um dado comum de 6 faces? 1/1296 .
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