Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A 5 6 eb 3 2 A abscissa de P vale

Lista de 10 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema Distância Entre Dois Pontos (Geometria Analítica) com questões de Vestibulares.

01. (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:

1. -1
2. 0
3. 1 ou 13
4. -1 ou 10
5. 2 ou 12

02. (UFRGS) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( -6,3), a abscissa de P vale:

1. -2
2. -1
3. 0
4. 1
5. 3

03. (CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale:

1. 14
2. 13
3. 12
4. 9
5. 8

04. (UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:

1. equilátero.
2. retângulo e isósceles.
3. isósceles e não retângulo.
4. retângulo e não isósceles.
5. n.d.a.

05. (Enem 2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

1. (65 ; 35)
2. (53 ; 30)
3. (45 ; 35)
4. (50 ; 20)
5. (50 ; 30)

06. (PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é

1. 1
2. 2
3. 4
4. √2
5. √3

07. (PUC) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é:

1. (3, 1).
2. (3, 6).
3. (3, 3).
4. (3, 2).
5. (3, 0).

08. (PUC-SP) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), o valor de x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:

1. 3
2. 2
3. 0
4. - 3
5. - 2

09. (UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.

1. X = 8
2. X = 6
3. X = 15
4. X = 12
5. X = 7

10. (UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

1. 4
2. 4√2
3. 8
4. 8√2
5. 16

A distância entre dois pontos é o primeiro conceito aprendido e um dos mais importantes dentro da geometria analítica, considerando que outros conceitos dessa área derivam da ideia de distância entre dois pontos.

Leia também: Condição de alinhamento de três pontos

Tópicos deste artigo

• 1 - O que é distância entre dois pontos?
• 2 - Distância entre dois pontos no plano cartesiano
• 3 - Fórmula da distância entre dois pontos
• 4 - Como calcular a distância entre dois pontos?
  • Exemplo
• 5 - Exercícios resolvidos

O que é distância entre dois pontos?

A distância entre dois pontos depende do lugar geométrico em que esses pontos estão localizados. Por exemplo, se dois pontos estão em uma reta, a distância é dada pelo módulo da diferença entre eles, veja:

• Exemplo

Imagine a seguinte situação, em uma viagem, quando estamos passando por uma rodovia, temos algumas placas que marcam o quilômetro ou posição em que estamos naquele instante. Em um instante inicial passamos pela placa km 12, em seguida passamos pela placa km 68.

Para sabermos quanto andamos, é preciso considerar as duas placas: a do km 12 e a do km 68. Desse modo calculamos o módulo da diferença entre esses dois pontos para obtermos a distância percorrida, assim:

|12 - 68|=

|68 - 12| =

56 km

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Para determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano, é necessário realizar a análise tanto no sentido do eixo das abscissas (x) quanto no do eixo das ordenadas (y). Confira:

Note que na distância entre o ponto A e B existe uma variação tanto no eixo x quanto no eixo y, logo, a distância entre os pontos deve ser dada em função dessas variações.

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Veja também que a distância entre os pontos é a hipotenusa do triângulo formado. Além disso, aplicando o teorema de Pitágoras e isolando o lado dab, temos:

Leia também: Generalidades sobre as equações da reta

Fórmula da distância entre dois pontos

A distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é definida pelo comprimento do segmento representado por dab e tem medida dada por:

Como calcular a distância entre dois pontos?

Para determinar a distância entre dois pontos no plano, basta substituir corretamente os valores das coordenadas dos pontos na fórmula. Veja a seguir:

• Exemplo

Calcular a distância entre os pontos P (-3, -11) e Q (2, 1).

Perceba que na fórmula devemos subtrair os valores das abscissas de cada ponto e, em seguida, elevar ao quadrado, e o mesmo deve acontecer com os valores das ordenadas. Assim:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Sabendo que a distância entre os pontos A e B é de (raiz de 29) e que o ponto A (1, y_a) pertencente ao eixo O_x e B (-1, 5), determine y_a.

Solução:

Substituindo na fórmula de distância entre dois pontos, temos:

Como o ponto A pertence ao eixo X, então de fato y = 0.

Questão 2 – (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:

a) -1

b) 0

c) 1 ou 13

d) -1 ou 10

e) 2 ou 12

Solução

Substituindo os dados do enunciado, temos:

Resolvendo a equação do segundo grau, segue que:

Resposta: Alternativa C 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Qual é o ponto P do eixo das abscissas equidistante?

Qual é o ponto do eixo das abscissas equidistante dos pontos a 2

Qual é o ponto do eixo das abscissas?

O que é abscissa exemplo?