Quantos vértices tem um poliedro convexo tem 30 arestas é 12 faces?

Poliedro: Definição e Classificação

Poliedro é uma figura espacial fechado formada por polígonos reunidos que formam as faces do poliedro. As faces do poliedro são os lados e são formadas por arestas unidas nos vértices.

Poliedro é uma figura espacial fechada formada por polígonos reunidos que formam as suas faces. As faces são os lados, formadas por arestas unidas nos vértices.

Existem duas categorias de poliedros: convexos e não convexos:

Convexo: é convexo quando dois pontos que formam um segmento de reta na superfície está inteiramente contido no poliedro;

Côncavo ou não convexo: é côncavo quando dois pontos que formam um segmento de reta nas extremidades e parte deste segmento de reta não pertença ao poliedro.

Definição de Poliedro Convexo#

Seja um poliedro com um número n, com n ≥ 4, de polígonos convexos, de forma que:

• Dois polígonos do poliedro não pertença ao mesmo plano;
• Cada lado de um polígono no poliedro é comum a somente dois polígonos;
• Cada plano de uma face deixa os demais polígonos das outras faces no mesmo semiespaço;

Dessa forma, temos n semiespaços que possuem origem no plano de um polígono da face que contem os demais.

Assim, o poliedro convexo é denominado pela intersecção dos n semiespaços.

Elementos de um poliedro#

Os poliedros convexos são formados pelos seguintes elementos:

• Faces: as faces são formadas por polígonos convexos;
• Arestas: as arestas são os lados dos polígonos das faces;
• Vértices: os vértices são os mesmos dos polígonos das faces;
• Superfícies: as superfícies do poliedro são a reunião das faces.

Poliedros de Platão#

Denominamos um poliedro de Platão se ele atende aos seguintes requisitos:

• As faces possuem o mesmo número de arestas;
• Nos vértices partem o mesmo número de arestas;
• Vale a relação de Euler (V – A + F = 2).

Os 5 Poliedros de Platão#

Os poliedros de Platão são nomeados em apenas cinco classes:

Legenda:

• m: Número de arestas que parte do vértice
• n: Número de aresta da face
• A: Arestas
• V: Vértices
• F: Faces

Relação de Euler para poliedro convexo#

Segundo Euler, em todos os poliedros convexos valem a seguinte relação:

V – A + F = 2 ou F + V = 2 + A

Onde:

• V: é o número de vértices;
• A: é o número de arestas;
• F: é o número de faces.

Essa relação do Teorema de Euler é válida para poliedros convexos, nos quais as faces são formadas por polígonos regulares com o mesmo número de arestas. Também pode ser válida para alguns poliedros não convexos.

Classificação dos poliedros#

São classificados em regulares e não regulares:

Regulares: são os poliedros em que suas faces são formadas por polígonos regulares e congruentes:

• Tetraedro: o tetraedro é um poliedro com 4 faces triangulares;
• Hexaedro: 6 faces quadrangulares;
• Octaedro: 8 faces triangulares;
• Dodecaedro: 12 faces pentagonais;
• Icosaedro: 20 faces triangulares.

Os poliedros são nomeados conforme o número de faces que possuem. Como, por exemplo:

1. Hexaedro: 6 faces, 8 vértices e 12 arestas;
2. Tetradecaedro: 14 faces, 16 vértices e 28 arestas;
3. Dodecaedro: 12 faces, 20 vértices e 30 arestas.

Podemos determinar o número de vértices e arestas analisando as faces do poliedro e aplicar relação de Euler: V + F = A + 2.

Exemplo:

• Dodecaedro: 12 faces pentagonais, cada face possui 5 arestas. Então: A = (12 . 5) / 2 = 30 arestas. Aplicando a relação de Euler: V + F = A + 2 ⇒ V + 12 = 30 + 2 ⇒ V = 32 – 12 ⇒ V = 20.
• Tetraedro: 6 faces triangulares, cada face possui 3 arestas. Logo: A = (6 . 3) / 2 = 18 / 2 = 9. Agora encontramos o número de vértices: V + 6 = 9 + 2 ⇒ V = 11 – 6 ⇒ V = 11 – 6 = 5.

Não Regulares: são os poliedros em que suas faces são formadas por polígonos regulares e não regulares:

• Prisma: é uma figura geométrica espacial com duas bases congruentes, uma inferior e a outra superior. As faces são formadas por quadriláteros ou paralelogramos.
• Pirâmide: a pirâmide é uma figura geométrica espacial formada por uma base poligonal e faces triangulares unidas em um vértice que não pertence ao plano da base.

Exercícios#

Veja os exercícios no link abaixo:

• Exercícios sobre geometria espacial

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