Quantos são os anagramas da palavra MARTELO que apresentam as letras E L O juntas

6 Considerando a palavra CADERNO:

a) quantos anagramas podemos formar?

b) quantos anagramas começam por C?

c) quantos anagramas começam por C e terminam por O?

d) quantos anagramas começam por vogal?

e) quantos anagramas terminam por consoante?

f) quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?

g) quantos anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e nessa ordem?

h) quantos anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e em qualquer ordem?

Resolução

a) Um anagrama da palavra CADERNO é a própria palavra ou qualquer outro agrupamento que se obtém trocando a ordem de suas letras; por exemplo, ONERCAD. Assim, o número de anagramas da palavra CADERNO é igual ao número de permutações simples de sete letras distintas, isto é:

P 7= 7! = 5.040

b) Fixando a letra C na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições posteriores.

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Logo, há 720 anagramas que começam por C.

c) Fixando as letras C e O na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias:

Portanto, há 120 anagramas que começam por C e terminam por O.

d) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, E ou O. Para cada vogal fixada na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas posições posteriores:

Assim, há 2.160 anagramas que começam por vogal.

e) Há quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima) posição: C, D, R ou N. Para cada consoante fixada na sétima posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições anteriores:

Assim, há 2.880 anagramas que terminam por consoante.

f) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição e quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima). Fixadas uma vogal e uma consoante na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas posições intermediárias:

Há, portanto, 1.440 anagramas que começam por vogal e terminam por consoante.

g) Vamos resolver este item de dois modos.

1º modo

As letras C, A e D podem ocupar, respectivamente, as seguintes posições: primeira, segunda e terceira; segunda, terceira e quarta; terceira, quarta e quinta; quarta, quinta e sexta; quinta, sexta e sétima.

Analisemos cada caso:

Assim, temos:

P4+ P4+ P4+ P4+ P4 = 5 ⋅ P4= 5 ⋅ 4! = 5! = 120

Ou seja, 120 anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e nessa ordem.

2º modo Observando o primeiro modo, percebemos que o bloco CAD atuou como um único elemento nas permutações. Assim, podemos resolver esse problema calculando o número de permutações dos cinco elementos CAD, E, R, N e O, isto é, considerando o bloco CAD um único elemento.

Temos, assim: P 5= 5! = 120

h) Nesse caso, um bloco composto das letras C, A e D pode ter P 3= 3! = 6 formas diferentes:

CAD, CDA, DCA, DAC, ADC e ACD

Para cada um desses seis blocos, podemos formar P5= 5! = 120 anagramas, conforme vimos no item g. Logo, com os seis blocos podemos formar 6 ⋅ 120 = 720 anagramas. Ou seja, o número de anagramas que apresentam as letras C, A e D juntas é: P3⋅ P5= 6 ⋅ 120 = 720

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Exemplo 6: Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados todos os números naturais
possíveis de 3 algarismos e distintos, colocados em ordem crescente. Qual a posição do
número 793?
Resolução:
Sendo os números formados em ordem crescente, determinaremos todos os números
iniciados com o algarismo 3; portanto, sobram 2 posições restantes para os demais
algarismos.
Números iniciados pelo algarismo 5, portanto, sobrando, também, 2 posições para os
demais algarismos.
Observe que, até agora, formamos 12 números iniciados pelos algarismos 3 ou por 5.
Os números iniciados pelo algarismo 7, serão:
7 3 5: ocupa a posição.
7 3 9: ocupa a posição.
7 5 3: ocupa a posição.
7 5 9: ocupa a posição.
7 9 3: ocupa a posição.
7 9 5: ocupa a posição.
Logo, serão formados 18 números distintos com 3 algarismos, formados pelos
algarismos 3, 5, 7 e 9; e o número 793 ocupará a posição.
2.2.4. Permutações simples
Denominamos permutações simples de n elementos dados a toda sucessão de n termos,
formada com os n elementos dados.
As permutações simples são casos particulares de arranjos simples quando n = k, daí o
número de permutações simples de n elementos ser dado por:
Então: 
Exemplo 1: De quantas maneiras distintas podemos posicionar 5 pessoas em uma fila
contendo 5 cadeiras?
Resolução:
Para a 1ª cadeira, teremos 5 opções; para a 2ª cadeira, teremos 4 opções, pois, pelo
menos uma das 5 pessoas deverá estar sentada na 1ª cadeira; para a 3ª cadeira, teremos
3 opções, pois as 2 primeiras cadeiras já estão ocupadas; para a 4ª cadeira, teremos 2
opções, pois sobrarão apenas 2 pessoas a serem acomodadas; e, para a última cadeira,
sobrará apenas uma vaga.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo da Contagem (princípio que permite permutar as
posições), teremos:
Portanto, teremos 120 maneiras distintas dessas 5 pessoas sentarem-se em 5 cadeiras.
Exemplo 2: Com a palavra EXATO:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas iniciam com a letra A?
c) Quantos anagramas iniciam com vogal?
d) Quantos anagramas iniciam com consoante?
e) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal?
Observação: Anagrama é a palavra ou frase que se obtém quando se troca apenas a
ordem das letras de uma palavra ou frase já dada.
Resolução dos itens:
a) Quantos anagramas?
O total de anagramas é igual a P5, isto é, ao número de permutações simples com as letras
E, X, A, T, O. Portanto, temos:
b) Quantos anagramas iniciam com a letra A?
Fixando a letra A na primeira posição, ficamos com 4 posições disponíveis e 4 letras a
serem permutadas:
Assim, o total de anagramas que se iniciam com a letra A é igual a P4:
c) Quantos anagramas iniciam com vogal?
De maneira análoga ao item anterior, verificamos que, para cada vogal, temos P4
anagramas. Como são 3 as vogais da palavra EXATO, ou seja, E, A e O, temos, então, 3P4
anagramas:
P4 = 72 anagramas iniciados por vogais
d) Quantos anagramas iniciam com consoante?
Fixando as consoantes na primeira posição, temos P4 anagramas para cada consoante.
Como a palavra EXATO possui 2 consoantes, ou seja, X e T, então, teremos o total de
2P4 anagramas que iniciam-se por consoantes:
P4 = 48 anagramas iniciados por consoantes
e) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal?
Ou seja, para cada consoante na primeira posição e para cada vogal na última posição,
temos, nas 3 posições intermediárias, as permutações simples de 3 letras que restarem,
formando P3 anagramas, totalizando 2 × P3 × 3 anagramas que se iniciam por
consoantes e terminam com vogal.
Exemplo 3: Com a palavra MARTELO:
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas começam por A ?
c) Quantos anagramas começam por A e terminam por L?
d) Quantos anagramas começam por vogal?
e) Quantos anagramas terminam por consoante?
f) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?
g) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante?
h) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem?
i) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas?
Resolução dos itens:
a) Quantos anagramas podemos formar?
Um anagrama da palavra MARTELO é a própria palavra ou qualquer outra que se obtém
trocando a ordem de suas letras. Assim, o número de anagramas da palavra MARTELO é
igual ao número de permutações simples de 7 letras distintas, isto é:
 anagramas distintos.
b) Quantos anagramas começam por A?
Fixando-se a letra A na primeira posição, sobram 6 letras para serem distribuídas nas 6
posições posteriores:
 anagramas distintos que começam com a letra A.
c) Quantos anagramas começam por A e terminam por L?
Fixando-se as letras A e L na primeira e na sétima posições, respectivamente, sobram 5
letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias:
P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 anagramas começam por A e terminam por L.
d) Quantos anagramas começam por vogal?
Há 3 possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, E ou O. Para cada
vogal fixada na primeira posição, sobram 6 letras para serem distribuídas nas posições
posteriores:
P6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
3P6 = 3 × 6! = 3 × 720 = 2.160 possibilidades.
Assim, há 2.160 anagramas que começam por vogal.
e) Quantos anagramas terminam por consoante?
Há 4 possibilidades para o preenchimento da última (sétima) posição: M, R, T ou L.
Para cada consoante fixada na sétima posição, sobram 6 letras para serem distribuídas
nas 6 posições anteriores:
P6 = 6! = 6 ×5 × 4 ×3 ×2 × 1 = 720
4P6 = 4 × 6! = 4 × 720 = 2.880 possibilidades.
Assim, há 2.880 anagramas que terminam por consoante.
f) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?
Há 3 possibilidades para o preenchimento da primeira posição e 4 possibilidades para o
preenchimento da última (sétima posição). Fixadas uma vogal e uma consoante na
primeira e na sétima posições, respectivamente, sobram 5 letras para serem distribuídas
nas posições intermediárias:
3 × P5 × 4 = 3 × 5! × 4 = 3 × 120 × 4 = 1.440.
Há, então, 1.440 anagramas que começam por vogal e terminam por consoante.
g) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante?
Sejam A e B conjuntos de anagramas da palavra MARTELO, tais que:
• A = {anagramas que começam por vogal};
• B = {anagramas que terminam por consoante};
• A B = {anagramas que começam por vogal e terminam por consoante};
• A B = {anagramas que começam por vogal ou terminam por consoante}.
Lembremos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
Nos itens (d), (e) e (f) já calculamos n(A), n(B) e n(A ∩ B) e obtivemos:
n(A) = 2.160;
n(B) = 2.880;
n(A ∩ B) = 1.440.
Logo, n(A ∪ B) = 2.160 + 2.880 – 1.440 = 3.600.
Temos então que 3.600 anagramas começam por vogal ou terminam por consoante.
h) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem?
Primeiro modo:
As letras M, A e R podem ocupar, respectivamente, as seguintes posições: primeira,
segunda, terceira; segunda, terceira, quarta; terceira, quarta, quinta; quarta, quinta,
sexta; quinta, sexta, sétima. Analisemos cada caso:
1º caso: Primeira, segunda e terceira posições:
2º caso: Segunda, terceira e quarta posições:
3º caso: Terceira, quarta e quinta posições:
4º caso: Quarta, quinta e sexta posições:
5º caso: Quinta, sexta e sétima posições:
Observe que, nos 5 casos estudados anteriormente, sobram, sempre, 4 letras para serem
permutadas entre si. Portanto, ˆp [teremos, 5 possibilidades de Permutação Simples de
4 letras cada uma, ou, resumindo os cálculos em:
Ou seja, 120 anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem.
Segundo modo:
Observando o primeiro modo, percebemos que o bloco de letras MAR atuou como um
único elemento nas demais permutações simples (as letras M, A e R estão colocadas
nessa “ordem”).
Assim, podemos resolver esse problema calculando o número de permutações simples dos
5 elementos a seguir: “MAR”, T, E, L e O, isto é, considerando o bloco de letras “MAR”
como sendo um único elemento a ser permutado com as

Quantos são os anagramas da palavra martelo?

Quantos são os anagramas que terminam com vogal?

Quantos são os anagramas que se pode formar com as letras da palavra batata?

Quantos são os anagramas da palavra que começam com vogal?