Considerando a palavra caderno quantos anagramas começam por c e terminam por o

Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre anagramas, um dos tópicos de Análise Combinatória. Recomendamos a leitura prévia dos nossos conteúdos sobre anagramas e fatorial.

Bom estudo!

Questão 1 (Anatel – Cespe – adaptada). Considerando-se que um anagrama da palavra ANATEL seja uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, que n1 seja a quantidade de anagramas distintos que é possível formar com essa palavra e n2 seja a quantidade de anagramas distintos dessa palavra que começam por vogal, então n2/n1 é igual a:

a) 1/2

b) 2

c) 1

d) 2/3

e) 3/2

Resolução

Calculando a quantidade de anagramas da palavra ANATEL.

Temos um total de 6 letras e uma repetição da letra A:

Daí, n1 = 360

Calculando a quantidade de anagramas da palavra ANATEL que começam por vogal.

Como existe uma repetição da letra A, que é uma vogal, temos dois casos a considerar:

• Caso 1 – Anagramas que começam com a letra A
• Caso 2 – Anagramas que começam com a letra E

Caso 1. Nos casos onde a primeira letra é A, devemos calcular a quantidade de anagramas com as letras restantes, ou seja, calcular a quantidade de anagramas da palavra NATEL.

Como temos um total de 5 letras distintas, podemos calcular da seguinte forma:

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Caso 2. Nos casos onde a primeira letra é E, devemos calcular a quantidade de anagramas da palavra ANATL.

Como temos um total de 5 letras, sendo que a letra A se repete, podemos calcular da seguinte forma:

5! / 2! = 5.4.3.2.1 / 2.1 = 60

Daí, n2 = 120 + 60 = 180

Finalizando,

n2 / n1 = 180/360 = 1/2

Resposta: A

Questão 2 (Copel – UFMT). Com as letras da palavra COPEL, a soma do número de anagramas distintos que começam com C com o número de anagramas distintos que começam com C e terminam com L é igual a:

a) 40

b) 35

c) 30

d) 45

Resolução

Calculando a quantidade de anagramas que começam com C:

Basta calcular a quantidade de anagramas da “palavra” OPEL. Como temos 4 letras distintas:

4! = 4.3.2.1 = 24

Calculando a quantidade de anagramas que começam por C e terminam com L:

Basta calcular a quantidade de anagramas da “palavra” OPE. Como temos 3 letras distintas:

3! = 3.2.1 = 6

Finalizando,

24 + 6 = 30

Resposta: C

Questão 3 (Transpetro – Cesgranrio). Qual é o número de anagramas da palavra TRANSPETRO em que as letras PETRO ficam juntas e nessa ordem?

a) 6! / 2!.2!

b) 6!

c) 6!.5!

d) 10! / 2!.2!

e) 10!

Resolução

Sabemos que a palavra TRANSPETRO possui 10 letras, porém o objetivo da questão é que as letras PETRO fiquem juntas e nessa ordem. Para fins de cálculo, vamos considerar que a palavra PETRO é apenas uma letra.

Devemos então calcular a quantidade de anagramas de uma “palavra” com 6 letras (T, R, A, N, S, PETRO).

Conforme visto em nosso material didático, basta calcular o valor de 6!.

Resposta: B

Questão 4 (PM ES – AOCP). Considerando a palavra SOLDADO, é correto afirmar que

(A) é possível formar 360 anagramas dessa palavra que começam pela letra L.

(B) é possível formar 720 anagramas dessa palavra que começam pela letra D.

(C) é possível formar 5040 anagramas dessa palavra, no total.

(D) é possível formar 24 anagramas dessa palavra que começam com a letra D e terminam com a letra O.

(E) é possível formar 12 anagramas dessa palavra que terminam com as letras SOL, nessa ordem.

Resolução

Quantidade de anagramas que começam com a letra L.

L _ _ _ _ _ _ (duas letras D e duas letras O)

6! / 2!2! = 180

Quantidade de anagramas que começam com a letra D.

D _ _ _ _ _ _ (duas letras O)

6! / 2! = 360

Quantidade total de anagramas.

_ _ _ _ _ _ _ (duas letras D e duas letras O)

7! / 2!2! = 1260

Quantidade de anagramas que começam com D e terminam com O.

D _ _ _ _ _ O

5! = 120

Quantidade de anagramas que terminam com SOL.

_ _ _ _ S O L (duas letras D)

4! / 2! = 12

Resposta: E

Questão 5 (PM SP – Vunesp). Considere todos os anagramas da palavra BRASIL.

O número de anagramas que não têm as vogais juntas é

(A) 720.

(B) 600.

(C) 480.

(D) 240.

(E) 120.

Resolução

Considerando que não existem letras repetidas, a quantidade total de anagramas da palavra BRASIL é:

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Calcularemos a quantidade de anagramas da palavra BRASIL que possuem vogais juntas, considerando que existem apenas duas (A e I).

Considerando AI como apenas uma letra, a quantidade de anagramas será:

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Como podemos inverter as duas vogais, ou seja, AI é diferente de IA, temos 240 anagramas da palavra BRASIL com as vogais juntas.

A quantidade de anagramas que não possuem vogais juntas será exatamente a diferença:

720 – 240 = 480

Resposta: C

Questão 6 (TRF – FCC). Um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, não importando se o resultado tem ou não significado em nosso idioma. Colocando em ordem alfabética todos os anagramas da palavra PROVA, a posição ocupada pela palavra PROVA é a

(A) 62a.

(B) 63a.

(C) 64a.

(D) 65a.

(E) 66a.

Resolução

Todos os anagramas que começam com a letra A estão na frente da palavra PROVA.

A _ _ _ _

4 x 3 x 2 x 1 = 24

Todos os anagramas que começam com a letra O estão na frente da palavra PROVA.

O _ _ _ _

4 x 3 x 2 x 1 = 24

Todos os anagramas que começam com PA estão na frente da palavra PROVA.

PA _ _ _

3 x 2 x 1 = 6

Todos os anagramas que começam com PO estão na frente da palavra PROVA.

PO _ _ _

3 x 2 x 1 = 6

Todos os anagramas que começam com PRA estão na frente da palavra PROVA.

PRA _ _

2 × 1 = 2

O anagrama PROAV também está na frente da palavra PROVA.

Total:

24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 = 63

Posição ocupada pela palavra PROVA: 64a

Resposta: C

Questão 7 (CRM ES – Quadrix). Em um campeonato de futebol, uma vitória corresponde a 3 pontos ganhos, um empate corresponde a 1 ponto ganho e, em caso de derrota, não há pontuação. Após cinco jogos disputados nesse campeonato, de quantas maneiras diferentes um time pode obter exatamente cinco pontos?

a) 3

b) 25

c) 30

d) 5

e) 31

Resolução

Existem duas opções para, nessas condições, um time conseguir 5 pontos em 5 jogos:

• Empatar todos os jogos.
• Ganhar um, empatar dois e perder dois jogos.

Vamos calcular de quantas maneiras a segunda opção pode ocorrer. O que pode ser facilmente calculado através de Anagramas. Veja:

Calculando de quantas sequências diferentes podem ser formadas com as letras V, E, E, D, D, onde V representa vitória, E empate e D derrota.

5! / 2!2! = 120/4 = 30

Como o time tem 30 formas diferentes de conseguir uma vitória, dois empates e duas derrotas, além da outra opção que seria empatar todos os jogos, a quantidade total será 31.

Resposta: E

Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre anagramas?

Deixe o seu comentário.

a) quantos anagramas podemos formar?

b) quantos anagramas começam por C?

c) quantos anagramas começam por C e terminam por O?

d) quantos anagramas começam por vogal?

e) quantos anagramas terminam por consoante?

f) quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?

g) quantos anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e nessa ordem?

h) quantos anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e em qualquer ordem?

Resolução

a) Um anagrama da palavra CADERNO é a própria palavra ou qualquer outro agrupamento que se obtém trocando a ordem de suas letras; por exemplo, ONERCAD. Assim, o número de anagramas da palavra CADERNO é igual ao número de permutações simples de sete letras distintas, isto é:

P 7 = 7! = 5.040

b) Fixando a letra C na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições posteriores.

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Logo, há 720 anagramas que começam por C.

c) Fixando as letras C e O na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias:

Portanto, há 120 anagramas que começam por C e terminam por O.

d) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, E ou O. Para cada vogal fixada na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas posições posteriores:

Assim, há 2.160 anagramas que começam por vogal.

e) Há quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima) posição: C, D, R ou N. Para cada consoante fixada na sétima posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições anteriores:

Assim, há 2.880 anagramas que terminam por consoante.

f) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição e quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima). Fixadas uma vogal e uma consoante na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas posições intermediárias:

Há, portanto, 1.440 anagramas que começam por vogal e terminam por consoante.

g) Vamos resolver este item de dois modos.

1º modo

As letras C, A e D podem ocupar, respectivamente, as seguintes posições: primeira, segunda e terceira; segunda, terceira e quarta; terceira, quarta e quinta; quarta, quinta e sexta; quinta, sexta e sétima.

Assim, temos:

P4+ P4 + P4+ P4 + P4 = 5 ⋅ P4= 5 ⋅ 4! = 5! = 120

Ou seja, 120 anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e nessa ordem.

2º modo Observando o primeiro modo, percebemos que o bloco CAD atuou como um único elemento nas permutações. Assim, podemos resolver esse problema calculando o número de permutações dos cinco elementos CAD, E, R, N e O, isto é, considerando o bloco CAD um único elemento.

Temos, assim: P 5 = 5! = 120

h) Nesse caso, um bloco composto das letras C, A e D pode ter P 3 = 3! = 6 formas diferentes:

CAD, CDA, DCA, DAC, ADC e ACD

Para cada um desses seis blocos, podemos formar P5 = 5! = 120 anagramas, conforme vimos no item g. Logo, com os seis blocos podemos formar 6 ⋅ 120 = 720 anagramas. Ou seja, o número de anagramas que apresentam as letras C, A e D juntas é: P3 ⋅ P5 = 6 ⋅ 120 = 720

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Page 2

Edição de arte: Denis Torquato

Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda.

Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen

Ilustrações de vinhetas: Otávio dos Santos

Coordenação de revisão: Adriana Bairrada

Revisão: Alessandra Abramo Félix, Fernanda Marcelino, Rita de Cássia Sam, Vânia Bruno

Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron

Pesquisa iconográfica: Carol Böck, Junior Rozzo

Coordenação de bureau: Américo Jesus

Tratamento de imagens: Denise Feitoza Maciel, Marina M. Buzzinaro, Rubens M. Rodrigues

Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Fabio N. Precendo, Hélio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa

Coordenação de produção industrial: Viviane Pavani

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Page 3

1. Podemos nos referir a uma sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) abreviadamente por ou, simplesmente, (an).

2. Em uma sequência finita (a1, a2 , a3, ..., an), os termos a1 e a n são chamados de extremos da sequência. Dois termos, ai e aj, são equidistantes dos extremos se, e somente se, a quantidade de termos que precedem ai é igual à quantidade de termos que sucedem aj.

3. Um termo am é chamado de termo médio de uma sequência finita com número ímpar de termos se, e somente se, a quantidade de termos que antecedem am é igual à quantidade de termos que o sucedem.

Por exemplo, na sequência (a1, a2, a3, a4, ..., a58, a59, a60, a61), os extremos são a1 e a61. Os termos a4 e a58 são equidistantes dos extremos. E o termo médio da sequência é a31.

2 Lei de formação de uma sequência

Um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma sequência e a ordem em que se apresentam é chamado de lei de formação da sequência.

Exemplos

a) Seja (an) a sequência tal que:

As informações a1 = 3 e an+1 = 4 + an, para todo número natural n não nulo, determinam todos os elementos da sequência e a ordem em que se apresentam. Observe:

• o primeiro termo da sequência é 3, isto é, a1 = 3;

• na igualdade an+1 = 4 + an, atribuindo a n os valores 1, 2, 3, ..., obtemos os demais termos da sequência, isto é:

n = 1 ⇒ a2 = 4 + a1 = 4 + 3 = 7

n = 2 ⇒ a3 = 4 + a2 = 4 + 7 = 11

n = 3 ⇒ a4 = 4 + a3 = 4 + 11 = 15

n = 4 ⇒ a5 = 4 + a4 = 4 + 15 = 19

⋮

Portanto, a sequência é (3, 7, 11, 15, 19, ...).

b) Considere a sequência (an) tal que an = n2 − 1. Para determinar os termos dessa sequência, basta atribuir a n os valores 1, 2, 3, 4, ... na igualdade an= n2 − 1. Observe:

n = 1 ⇒ a1 = 1² − 1 = 0

n = 2 ⇒ a2 = 2² − 1 = 3

n = 3 ⇒ a3 = 3² − 1 = 8

n = 4 ⇒ a4 = 4² − 1 = 15

⋮

Portanto, a sequência é (0, 3, 8, 15, ...).

c) A sequência dos números primos positivos, em ordem crescente, é (2, 3, 5, 7, 11, ...). Observe que a lei de formação dessa sequência não foi expressa por uma equação, mas pela propriedade de que os números sejam primos positivos e estejam em ordem crescente. Esse exemplo mostra que a lei de formação de uma sequência pode não ser uma equação.

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Page 4

1 Determinar o 51º termo da P.A. (4, 10, 16, 22, ...).

Resolução

Devemos determinar o termo an = a1 + (n − 1)r dessa P.A. tal que: a1= 4, r = 6 e n = 51

Logo:

a51 = 4 + (51 − 1) ⋅ 6⇒ a51= 4 + 50 ⋅ 6 = 304

Concluímos, assim, que o 51º termo da P.A. é 304.

2 Obter a razão da P.A. (a1, a2, a3, ...) tal que a1= 7 e a5 = 8.

Resolução

Aplicando a fórmula do termo geral na= a1+ (n − 1)r da P.A. para n = 5, temos:

a5 = a1 + 4r ⇒ 8 = 7 + 4r

∴ r =

Concluímos que a razão da P.A. é .

3 Determinar o número de termos da P.A. (2, 10, 18, ..., 250).

Resolução

Indicando por n o número de termos, devemos obter o valor de n na expressão an = a1 + (n − 1)r tal que: a1= 2, an = 250 e r = 8

Logo:

250 = 2 + (n − 1) ⋅ 8 ⇒ 250 = 2 + 8n − 8

∴ 256 = 8n ⇒ n = 32

Concluímos, então, que a P.A. possui 32 termos.

4 Qual é a razão da P.A. (an) tal que a1+ a5 = 26 e a2 + a9= 46?

Resolução

Pela fórmula an = a1 + (n − 1)r, podemos representar os termos a5 , a2 e a9 por:

a5 = a1 + 4r

a2 = a1 + r

a9 = a1 + 8r

Assim:

∴

Subtraindo, membro a membro, essas igualdades, temos: −5r = −20 ⇒ r = 4

Concluímos, então, que a razão da P.A. é 4.

5 Percorrendo uma estrada no sentido crescente das marcas quilométricas, percebe-se o primeiro radar (medidor de velocidade) no quilômetro 27.

A partir daí há um radar a cada 15 quilômetros. Quantos radares existem até o quilômetro 360 dessa estrada?

THEO FITZHUGH/SHUTTERSTOCK

Resolução

A sequência das marcas quilométricas onde existem radares, até o quilômetro 360, é a P.A. de primeiro termo 27, razão 15 e último termo :

(27, 42, 57, ..., an)

Como não sabemos, por enquanto, se 360 é um termo da P.A., devemos supor que an ≤ 360.

Pela fórmula do termo geral an = a1 + (n − 1)r, temos:

an ≤ 360 ⇒ 27 + (n − 1) ⋅ 15 ≤ 360

∴ (n − 1) ⋅ 15 ≤ 333 ⇒ n − 1 ≤

∴ n ≤ 23,2

Como n é um número natural, temos que o maior valor possível de n é 23.

Assim, concluímos que até o quilômetro 360 há 23 radares. (Nota: Essa resolução nos permite afirmar que 360 não pertence à P.A., pois na última desigualdade da resolução da inequação, n ≤ 23,2, o segundo membro não é um número natural.)

6 Interpolar (inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 2, nessa ordem.

Resolução

Interpolar (ou inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 2, nessa ordem, significa determinar a P.A. de primeiro termo 1 e último termo 2, havendo entre eles quatro outros termos, isto é:

Pela fórmula do termo geral an = a1+ (n − 1)r, temos:

a6 = a1 + 5r ⇒ 2 = 1 + 5r

∴ r =

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Soma dosn primeiros termos de uma progressão aritmética

No ano de 1785, em uma pequena escola do principado de Braunscheweig, na Alemanha, o professor Büttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um menino de 8 anos de idade aproximou-se da mesa do professor e apresentou o resultado pedido. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto.

Carl Friedrich Gauss (pintura de 1840). Matemático, físico e astrônomo alemão de extraordinária capacidade intelectual. Realizou importantes trabalhos em várias áreas do conhecimento, notadamente em Matemática.

MUSEU ESTATAL PUSHKIN DE BELAS ARTES, MOSCOU

Aquele menino viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Carl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por Gauss foi simples e elegante; ele percebeu que:

• a soma do primeiro número com o último é: 1 + 100 = 101

• a soma do segundo número com o penúltimo é: 2 + 99 = 101

• a soma do terceiro número com o antepenúltimo é: 3 + 98 = 101

e assim por diante, ou seja, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos, que é 101:

Como no total são 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50 ⋅ 101 = 5.050
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Esse raciocínio pode ser generalizado para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer pelo teorema a seguir.

A soma Sn dos n primeiros termos da P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ...) é dada por:

Sn =

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As progressões geométricas podem ser classificadas em crescente, decrescente, constante, oscilante ou quase nula.

• Crescente: uma P.G. é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o antecedente. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1.

Exemplos

a) (1, 2, 4, 8, ...) é uma P.G. crescente de razão q = 2.

b) é uma P.G. crescente de razão q = .

• Decrescente: uma P.G. é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o antecedente. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1.

Exemplos

a) é uma P.G. decrescente de razão q = .

b) (−1, −3, −9, −27, ...) é uma P.G. decrescente de razão q = 3.

• Constante: uma P.G. é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os seus termos sejam nulos.

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18 Determinar a P.G. de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do 2º com o 3º termo é 10.

Resolução

Quando se conhece o produto dos termos, a representação mais cômoda é .

Pelo enunciado, temos:

∴ x = 2 (I)

Também sabemos que: x + xq = 10 (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos: 2 + 2q = 10 ⇒ q = 4

Assim, para x = 2 e q = 4, a P.G. é igual a .

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Faça as atividades no caderno.

56 Determine a P.G. crescente de três termos tal que a soma dos três termos é 14 e o produto deles é 64. (2, 4, 8)

57 Como já comentamos no exercício proposto 37, qualquer dispositivo que resiste à passagem da corrente elétrica em um circuito é chamado de resistor. Essa resistência pode ser medida em ohm, cujo símbolo é a letra grega Ω (ômega). Admitiremos sempre medidas positivas para resistências.

Dos estudos de Física, sabemos que em uma associação em paralelo de n resistores com resistências iguais a R, R2, R3, ..., Rn, respectivamente, a resistência equivalente, Req, é dada por:

FAUSTINO

Em um circuito, três resistores estão ligados em paralelo, e suas respectivas resistências, medidas em ohm (Ω), estão em progressão geométrica de razão 2.

Indicando por R a maior dessas resistências, obtenha uma equação que expresse a resistência equivalente, Req, dessa associação, em função de R. Req =

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n = 1 ⇒ (1, 2)

n = 2 ⇒ (2, 4)

n = 3 ⇒ (3, 8)

n = 4 ⇒ (4, 16)

Generalizando, consideremos a P.G. não constante (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão positiva q. Seu termo geral, an = a1 ⋅ qn – 1, é equivalente a = ⋅ qn e, portanto, a representação gráfica dessa P.G. é formada por pontos da função y = ⋅

Dessa maneira, algumas importantes propriedades da função exponencial podem ser aplicadas na resolução de problemas que envolvam progressões geométricas.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

Faça as atividades no caderno.

1 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos:

A regra para construir esses mosaicos é a seguinte: inicialmente, formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos brancos, também cercado por azulejos pretos; e assim sucessivamente.

Considerando a sequência de mosaicos com número crescente de azulejos, responda às questões.

a) Quantos azulejos brancos terá o 15º mosaico dessa sequência?

b) Quantos azulejos brancos terá o n-ésimo mosaico dessa sequência?

n2 azulejos

c) Quantos azulejos pretos terá o 20º mosaico dessa sequência?

84 azulejos pretos

d) Quantos azulejos pretos terá o n-ésimo mosaico dessa sequência?

4n + 4 azulejos

2 (Enem) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente.

Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de:

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c) A mediatriz relativa à base de um triângulo isósceles contém a ______, a bissetriz e a altura relativas a essa base. mediana

d) Se um triângulo possui dois ângulos internos congruentes, então os lados opostos a esses lados são ______. congruentes

e) Se um triângulo possui dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são ______. congruentes

6 No triângulo isósceles ABC abaixo, M é ponto médio do lado . Calcule o comprimento da mediana .

AM = 15

7 Em um plano, uma reta r é tangente a uma circunferência λ de centro O se, e somente se, ambas têm em comum um único ponto T. Esse ponto é chamado ponto de tangência.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

a) A distância entre O e r é a medida do ______ da circunferência. raio

b) O raio forma com a reta r ângulos de medida ______. 90°

c) Se dois segmentos e são tangentes à circunferência nos pontos B e C, então a medida AB é ________ à medida AC. igual

d) Se dois segmentos de reta e são tangentes à circunferência nos pontos B e C, então o centro O pertence à bissetriz do ângulo ______. BC

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1 Com o auxílio de uma régua graduada e de um transferidor, calcular o valor aproximado de sen 42°, cos 42° e tg 42°.

Resolução

Construímos um ângulo de 42° e traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo, conforme mostra a figura a seguir.

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Medindo com auxílio da régua os lados do triângulo ABO, obtemos:

AB = 1,5 cm; AO = 1,7 cm; BO = 2,2 cm

Assim, calculamos:

sen 42° =

cos 42° =

Quando medimos um segmento de reta com uma régua graduada, cometemos, inevitavelmente, erros de aproximação. Portanto, os resultados obtidos para sen 42°, cos 42° e tg 42° são valores aproximados. Existem métodos mais eficientes para calcular esses valores, qualquer que seja a precisão desejada.

2 Sabendo que sen 36° = 0,58, cos 36° = 0,80 e tg 36° = 0,72, calcular o valor de x em cada figura.

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a) 30° é o complemento de 60°; logo: sen 30° = cos 60° e sen 60° = cos 30°

b) 12° é o complemento de 78°; logo: sen 12° = cos 78° e sen 78° = cos 12°

EXERCÍCIO RESOLVIDO

6 Sabendo que cos 23° = 0,92, calcular o valor da expressão: E =

Resolução

Como 23° é o complemento de 67°, temos cos 67° = sen 23°. Logo:

E = = = 2sen 23° ⋅

Ou seja: E = = = 0,46

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Faça as atividades no caderno.

6 Sabendo que sen 55° = 0,82 e cos 55° = 0,57, qual das alternativas apresenta a medida mais próxima de x?

ADILSON SECCO

a) 36 cm

b) 37 cm

c) 38 cm

d) 39 cm

e) 40 cm

alternativa d

7 Considerando sen 10° = 0,17 e sen 80° = 0,98, calcule cos 10°, cos 80°, tg 10° e tg 80°.

8 Na figura abaixo, as retas r e s formam entre si um ângulo de 37°, e o segmento , contido em r, mede 18 cm.

r B A

Calcule a medida da projeção ortogonal do segmento sobre a reta s. (Dado: sen 53° = 0,79)

9 Em um cinema, os olhos de um espectador estão no mesmo plano horizontal que contém a base da tela vertical com 3,2 m de altura, conforme mostra a figura anterior. O espectador vê toda a extensão vertical da tela sob um ângulo agudo de medida α tal que sen (90° − α) =

a) Calcule sen α, cos α e tg α.

b) Calcule a distância entre os olhos do espectador e a base da tela.

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Page 12

b) 20 m

c) 20 m

d) 30 m

e) 25 m

alternativa b

6 Por causa da grande distância entre o Sol e a Terra, os raios solares que incidem em nosso planeta podem ser considerados paralelos. Em um momento em que os raios solares formam ângulos de 34° com o plano da circunferência do equador terrestre, um prédio vertical de 60 m de altura projeta uma sombra de 20m sobre o terreno plano e horizontal que contém sua base. Admitindo que a Terra seja esférica e que o prédio esteja ao norte do equador, podemos concluir que o prédio está localizado em um ponto de latitude:

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Page 13

No estudo da Geometria plana, é comum o uso do grau como unidade de medida de ângulo e de arco de circunferência. Neste capítulo, estudaremos outra unidade para medir arco e ângulo: o radiano, definido a seguir.

Consideremos um arco contido em uma circunferência de raio r e centro O tal que o comprimento do arco seja igual a r.

Dizemos que a medida do arco é 1 radiano (1 rad).

Lembre-se de que a circunferência corresponde a um arco de uma volta completa e por isso mede 360°, 1° equivale a 60' e 1' equivale a 60".

Um radiano (1 rad) é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.

Um ângulo AB mede 1 rad se, e somente se, determinar em uma circunferência de centro O um arco de 1 rad.

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Page 14

b)

c)

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

3 Observando o item c do exercício anterior, podemos afirmar que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é:

a) obtusângulo.

b) acutângulo.

c) retângulo.

d) isósceles.

e) escaleno.

alternativa c

4 O comprimento c (perímetro) de uma circunferência de raio r é dado por c = 2πr, em que π é um número irracional que vale, aproximadamente, 3,14. Considerando essa propriedade, resolva o exercício a seguir.

A circunferência máxima que está contida na superfície terrestre e divide o planeta nos hemisférios norte e sul é chamada de linha do equador. Seu raio é 6.370 km.

a) Adotando π = 3,14, calcule o comprimento da linha do equador, em quilômetro.

b) Um navio percorreu um arco de 10° sobre a linha do equador. Calcule o comprimento, em quilômetro, do trecho percorrido pelo navio.

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Page 15

b) uma volta e meia.

c) duas voltas completas.

d) duas voltas e meia.

e) cinco voltas completas.

alternativa d

2 Calcule a medida, em radiano, de um arco de 10 cm contido em uma circunferência com 2,5 cm de raio. 4 rad

3 Determine a medida, em radiano, equivalente a:

a) 30°

b) 120°

c) 225°

d) 300°

e) 240°

f) 330°

4 Determine a medida, em grau, equivalente a:

a) rad 45°

b 270°

c) °

d) °

e) °

5 O disco de vinil é uma mídia desenvolvida no início da década de 1950 para a reprodução musical. Um dos vários tipos de disco de vinil é o LP (Long Play), gravado para ser reproduzido a rpm (rotações por minuto).

Ao ser reproduzido com essa especificação, qual é a velocidade de rotação de um LP em rad/s?

rad /s ou, aproximadamente, 3,5 rad/s

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Page 16

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 Determinar a medida, em radiano, do arco , de 20 cm, contido na circunferência de raio 5 cm, representados abaixo.

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Resolução

Pela definição, nessa circunferência, cada arco de 1 rad tem 5 cm de comprimento. Assim, por meio de uma regra de três, determinamos a medida x, em radiano, do arco :

Logo: x = rad = 4 rad

Dizer que o arco mede 4 rad é o mesmo que dizer que o comprimento do arco é o quádruplo do comprimento do raio.

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Page 17

“Comprometimento individual a um esforço conjunto – isso é que faz um time funcionar, uma empresa funcionar, uma sociedade funcionar, uma civilização funcionar.”

Vince Lombardi, primeiro treinador campeão do Super Bowl.

Componha uma equipe com alguns colegas e discutam as seções a seguir.

ANÁLISE DA RESOLUÇÃO

Um aluno resolveu o exercício conforme a reprodução a seguir. Um erro foi cometido. Apontem o erro e refaçam a resolução no caderno, corrigindo-a.

Exercício

Calcule a medida x, em metro, do segmento da figura a seguir.

FAUSTINO

Resolução correta: Os ângulos CB e CD medem 30° cada um; portanto, o triângulo BCD é isósceles, com CB = CD = 50 m.

Assim, no triângulo CDE temos:

∴ x = 25

Logo, a medida do segmento é 25 m.

Resolução

No triângulo CD temos:

tg 30° = => =

∴ x =

Logo, a medida do segmento é .

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Page 18

A linha do Equador passa pela cidade brasileira de Macapá, no Amapá. Ali existe um obelisco, no qual se destaca o marco zero, localizado sobre um ponto P da linha do Equador.

Os cinco principais paralelos terrestres

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

Marco zero, na cidade de Macapá. Foto de 2014.

FABIO COLOMBINI

O movimento de rotação da Terra faz com que o ponto P gire em torno do eixo do planeta. Considerando o arco de circunferência descrito pelo ponto P em torno do eixo de rotação da Terra, durante 9 horas, respondam aos itens a seguir.

a) Calculem o comprimento do arco em quilômetro e sua medida em grau e em radiano.

b) Se um ponto Q da superfície terrestre não pertence ao Equador nem coincide com um dos polos, norte ou sul, quantos radianos ele gira em torno do eixo do planeta em 9 horas?

rad

Resolva os exercícios complementares 1 a 3.

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Page 19

Sabemos que uma circunferência mede 360°. Qual é sua medida em radiano?

Para responder a essa pergunta, consideremos uma circunferência cujo raio tenha medida r. Como o comprimento dessa circunferência é 2πr, podemos obter sua medida x, em radiano, por meio de uma regra de três:

Logo: x = rad = 2π rad

Assim, concluímos que:

A medida de uma circunferência é 2π rad.

Transformações de unidades

Dizemos que uma medida em radiano é equivalente a uma medida em grau se ambas são medidas de um mesmo arco; por exemplo, 2π rad é equivalente a 360°, pois são medidas de um arco de uma volta completa. Consequentemente, temos:

π rad é equivalente a 180°.

Essa equivalência nos permite transformar unidades, ou seja, tendo a medida de um arco em grau, podemos obter a medida desse arco em radiano e vice-versa.

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Page 20

Distância da Terra à Lua

Representação artística da Terra e do Sol vistos da Lua.

CHRIS BUTTLER/SCIENCE PHOTO LIBRARY/LATINSTOCK

Utilizando as relações trigonométricas, os astrônomos calculam as dimensões de corpos celestes e a distância entre eles. Para exemplificar, mostraremos uma maneira de calcular a distância entre a Terra e a Lua e a medida do raio desse satélite.

Suponhamos que em um observatório astronômico A a Lua seja vista no zênite, isto é, na vertical; no observatório B, ela é vista na linha do horizonte, conforme representação esquemática abaixo.

Conhecendo a medida R do raio da Terra e a medida a do ângulo central AB, que é igual à medida do ar com , pode-se obter a distância entre a Terra e a Lua (AL) da maneira descrita abaixo.

cos α = ⇒ AL =

Para o cálculo da medida r do raio da Lua, inicialmente medimos o ângulo β formado pelas duas retas tangentes e a um círculo máximo do satélite, conforme a figura a seguir:

m(TâT’) = β

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Sendo AL = d, do triângulo retângulo ACT, obtemos:

sen = ⇒ r =

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Page 21

g) Um triângulo é obtusângulo quando possui um ângulo interno obtuso.

h) Dois triângulos semelhantes são chamados de triângulos congruentes quando a razão de semelhança entre eles é 1.

i) Uma circunferência se diz circunscrita a um polígono quando todos os vértices do polígono pertencem à circunferência. Nesse caso, diz-se, também, que o polígono está inscrito na circunferência.

j) Uma circunferência se diz inscrita em um polígono quando todos os lados do polígono tangenciam a circunferência. Nesse caso, diz-se, também, que o polígono está circunscrito à circunferência.

k) Um polígono convexo que possui todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si é chamado de polígono regular.

l) Chama-se centro de um polígono regular o centro da circunferência inscrita (ou circunscrita) ao polígono.

m) Dois ângulos quaisquer formados por duas retas paralelas e uma transversal ou têm medidas iguais, ou são suplementares.

2 A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central correspondente. Considerando essa propriedade, determine as medidas α, β e θ dos ângulos inscritos AB, CD e EF, abaixo, em que o arco é uma semicircunferência.

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Page 22

2 Determinar a medida, em radiano, equivalente a 150°.

Resolução

Lembrando que π rad é equivalente a 180°, basta resolver a regra de três:

x = radianos ⇒ x = rad

Logo, rad equivalem a 150°.

3 Determinar a medida, em grau, equivalente a rad.

Resolução

Medida em radiano

π 180

π x

x = graus ⇒ x = 60°

Logo, 60° equivalem a rad.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Faça as atividades no caderno.

1 (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:

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Page 23

Faça a atividade no caderno.

[ícone: calculadora] 1 O Sol é visto de um ponto da Terra sob um ângulo de 0,53° aproximadamente. Sabendo que a distância da Terra ao Sol é algo em torno de 150.000.000 km, calculem uma medida aproximada do raio do Sol.

Página 54

CAPÍTULO 3 - Circunferência trigonométrica: seno e cosseno

Satélite Glory na órbita terrestre. Foto de 2011.

NASA

Além da teoria

Ao plano da órbita circular de um satélite ao redor da Terra é associado um sistema cartesiano cuja unidade adotada nos eixos é o quilômetro, e a origem O é o centro da Terra e também da órbita, conforme mostra o esquema abaixo, em que A(900, 0) e B são os pontos dessa órbita.

FAUSTINO

2. Sabendo que em determinado instante a posição do satélite é o ponto B(450, 450, ), determine a medida α do ângulo agudo AB.

60°

Observamos, pelos itens 1 e 2, que as coordenadas do ponto B são obtidas em função do raio da circunferência e da medida α do ângulo central AB. Essa ideia será aplicada nas definições de seno e cosseno de um arco trigonométrico.

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Page 24

a) AL = (2π ⋅ 2 ⋅ 5) m2 = 20π m2

b) B = (π ⋅ 22) m2 = 4π m2

c) AT = (20π + 2 ⋅ 4π) m2 = 28π m2

d) ASM = (4 ⋅ 5) m2 = 20 m2

e) V = (4π ⋅ 5) m3 = 20π m3

4

a) AL = (2π ⋅ 4 ⋅ 8) cm2 = 64π cm2

b) B = (π ⋅ 42) cm2 = 16π cm2

c) AT = (64π + 2 ⋅ 16π) cm2 = 96π cm2

d) ASM = 82 cm2 = 64 cm2

e) V = (16π ⋅ 8) cm3 = 128π cm3

5 Sendo r a medida, em decímetro, do raio da base do cilindro equilátero, temos:

(2r)2 = 144 ⇒ r = 6

Logo:

AL = 2π ⋅ 6 ⋅ 12 dm2 = 144π dm2

AT = (144π + 2 ⋅ π ⋅ 62) dm2 = 216π dm2

V = π ⋅ 62 ⋅ 12 dm3 = 432π dm3

6 A seção meridiana é equivalente a uma das bases do cilindro, o que significa que elas têm mesma área.

Sendo h a medida, em centímetro, da altura do cilindro, temos:

10h = π ⋅ 52 ⇒ h =

Logo:

AT = (25π2 + 2 ⋅ π ⋅ 52) cm2 = 25π(π + 2) cm2

Sendo B a área da base e V o volume, temos:

B = (π ⋅ 52) cm2 = 25π cm2 e V = B ⋅ h = cm³

Logo:

7 Sendo r a medida, em centímetro, do raio da base do cilindro, o rótulo é um retângulo de comprimento 2πr e altura 10 cm.

Assim, temos:

2πr ⋅ 10 = 80π ⇒ r = 4 cm

Logo, a área total da superfície da lata é dada por:

AT = (2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ 10 + 2 ⋅ π42) cm2 = (80π + 32π) cm2 = 112π cm2

8 a)

V = (π ⋅ 22 ⋅ 6) cm3 = 24π cm3

b)

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

AT = (2π ⋅ 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ π ⋅ 62) cm2 = 96π cm2

9 Alternativa c

Indicando por R a medida, em metro, do raio da nova cisterna, esquematizamos:

Assim, devemos ter:

π ⋅ R2 ⋅ 3 = 81

Substituindo π por 3, obtemos:

3 ⋅ R2 ⋅ 3 = 81 ⇒ R2 = 9

∴ R = 3

Concluímos, então, que o raio da atual cisterna deve ser aumentado em 2 m.

10 Alternativa d

Temos que 1 m = 100 cm e 10,99 kg = 10.990 g.

Assim, o volume V de PVC que compõe o tubo é dado por:

V = (π ⋅ 132 ⋅ 100 − π ⋅ 122 ⋅ 100) cm3 ⇒ V = 2.500π cm3

Adotando π = 3,14, temos que V = 7.850 cm3.

Assim, a densidade d do PVC é calculada por:

d = = 1,4 g/cm3

11 a)

b) Aℓ = 2rh + πrh ⇒ Aℓ = (2 ⋅ 5 ⋅ 10 + π ⋅ 5 ⋅ 10) cm2 = 50(2 + π) cm2

c) AT = Aℓ + πr2 ⇒ AT = (100 + 50π + 25π) cm2 = 25(4 + 3π) cm2

12 sen 30º =

∴ h = 6 cm

Assim, o volume V do cilindro é dado por:

V = π ⋅ 52 ⋅ 6 = 150π

Logo, o volume desse cilindro é 150π cm3.

13 Colocando sobre esse tronco outro congruente a ele, obtemos o cilindro:

Temos, portanto, que o volume VT do tronco é metade do volume desse cilindro:

VT = = 112π cm3

Criando problemas

Resposta pessoal.

14 Indicando por g a medida, em centímetro, da geratriz, esquematizamos:

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

g2 = 62 + 82 ⇒ g = 10

Logo, a geratriz mede 10 cm.

15 Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo equilátero com 4 dm de lado. Logo, o perímetro de uma dessas secções é 12 cm.

16 Inicialmente, aplicamos o teorema de Pitágoras para o cálculo da medida g da geratriz do cone.

g2 = 62 + 82 ⇒ g = 10 cm

Em seguida representamos no plano a superfície lateral do cone.

E também sua base:

a) A área lateral AL é obtida pela regra de três:

Comprimento do arco do setor (cm) ----- Área do setor (cm2)

2 ⋅ π ⋅ 10 ----- π ⋅ 102

2 ⋅ π ⋅ 8 ----- Aℓ

Aℓ = = 80π cm2

b) B = (π ⋅ 82) cm2 = 64π cm2

c) AT = (80π + 64π) cm2 = 144π cm2

d) A medida θ, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone é dada pela regra de três:

Comprimento do arco do setor (cm) ----- Medida do ângulo central (grau)

2 ⋅ π ⋅ 10 ----- 360°

2 ⋅ π ⋅ 8 ----- θ

θ = = 288°

e) Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo isósceles de lados com 10 cm, 10 cm e 16 cm:

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Logo: ASM = cm²= 48 cm2

f) V == 128π cm3

17

a) A área lateral AL é obtida pela regra de três:

Comprimento do arco do setor (dm) ----- Área do setor (dm2)

2 ⋅ π ⋅ 8 ----- π ⋅ 82

2 ⋅ π ⋅ 4 ----- Aℓ

Aℓ = dm2 = 32π dm2

b) B = (π ⋅ 42) dm2 = 16π dm2

c) AT = (32π + 16π) dm2 = 48π dm2

d) A medida θ, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone é dada pela regra de três:

Comprimento do arco do setor (cm) ----- Medida do ângulo central (grau)

2 ⋅ π ⋅ 8 ----- 360°

2 ⋅ π ⋅ 4 ----- θ

θ = cm²= 180°

e) Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo equilátero com 8 dm de lado; logo:

ASM =

f)

18 As secções meridianas são triângulos equiláteros. Sendo g a medida, em centímetro, do lado de um desses triângulos, temos:

ASM = ⇒ e, portanto: g = 4 cm

Assim, temos:

A área lateral AL é obtida pela regra de três:

Comprimento do arco do setor (cm) ----- Área do setor (cm2)

2 ⋅ π ⋅ 4 ----- π ⋅ 42

2 ⋅ π ⋅ 2 ----- AL

AL = = 8π cm2

AT = (8π + π ⋅ 22) cm2 = 12π cm2

19 O volume V de biju com cada casquinha é a diferença entre os volumes dos cones de alturas 12 cm e 11 cm e raios das bases 3 cm e 2,7 cm, respectivamente, ou seja:

V =

= 9,27π cm3 ≈ 29,12 cm3

Logo, o volume de biju em cada casquinha é 9,27π cm3 ou aproximadamente 29,12 cm3.

20 Inicialmente, calculamos a medida do cateto.

(BC)2 + 152 = 172 ⇒ BC = 8 cm

a)

b)

AT = (π ⋅ 15 ⋅ 17 + π ⋅ 152) cm2 = 480π cm2

21 Uma secção meridiana desse cone mostra dois triângulos semelhantes ABC e ADE, conforme a figura a seguir, em que r é a medida, em centímetro, do raio da base do cone formado pela água.

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Dessa semelhança, resulta:

= 3 cm

Logo, o volume V de água no copo é dado por:

V = = 36π cm3

Como 1 cm3 = 1 mL, concluímos que o volume de água no copo é de 36π mL.

22 Sendo g a medida, em centímetro, da geratriz do cone, sua superfície lateral é equivalente ao setor:

MARIO MATSUDA

Assim, temos:

= π ⇒ g = 14 cm

Uma secção meridiana do chapéu de altura h é:

MARIO MATSUDA

Portanto: h2 + 72 = 142 ⇒ h = cm

Logo, a distância do bico do chapéu à mesa é cm.

Criando problemas

Resposta pessoal.

23 Uma secção meridiana do cone determina os triângulos VAB e VCD, conforme mostra a figura abaixo.

FAUSTINO

⇒ CD = 3 cm

Pelo teorema de Pitágoras, temos VD = 5 dm e VB = 10 dm.

a) O volume VT do tronco é a diferença entre o volume do cone original e o volume do cone determinado acima do plano α, isto é:

VT = ⇒ VT = 84π dm3

b) A área lateral AL do tronco é a diferença entre a área lateral do cone original e a área lateral do cone determinado acima do plano α, isto é:

AL = π ⋅ 6 ⋅ 10 − π ⋅ 3 ⋅ 5 dm2 ⇒ AL = 45π dm2

c) A área total AT do tronco é a soma da área lateral com a área das bases, isto é:

AT = 45π + π ⋅ 62 + π ⋅ 32 dm2 ⇒ AT = 90π dm2

24 Sendo h a medida, em metro, do cone obtido pelos prolongamentos das geratrizes desse tronco, temos a secção meridiana.

MARIO MATSUDA

m

Assim, o volume V do tronco de cone é dado por:

V = ⇒ V = 234π m³

Para π = 3,14, temos:

V = 734,76 m3 = 734.760 dm3

Como 1 L = 1 dm3, concluímos que a capacidade do reservatório é 734.760 L.

Questões para reflexão

Dois cones circulares retos são semelhantes quando uma secção meridiana de um deles é semelhante a uma secção meridiana do outro. Assim, se um plano intercepta um cone circular reto C paralelamente à sua base, separando-o em dois sólidos, então um desses sólidos é um cone C´ semelhante a C.

25 a) A secção plana determinada na esfera é um círculo de centro O' e raio r tal que πr2 = 144π cm2; logo, r = 12 cm. Sendo d a distância, em centímetro, entre O e α, esquematizamos:

Pelo teorema de Pitágoras, obtemos a distância d:

d2 + 122 = 132 ⇒ d = 5

Portanto, a distância entre O e α é 5 cm.

b) Na figura anterior, a semirreta intercepta a superfície da esfera no ponto P tal que O'P = (5 + 13) cm, ou seja, O'P = 18 cm. Logo, a maior distância possível entre O' e um ponto da esfera é 18 cm.

26 a) A secção plana da esfera é um círculo. Sendo r a medida, em centímetro, do raio desse círculo, temos:

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a medida r:

r2 + 152 = 172 ⇒ r = 8

A área A da secção plana é dada por:

A = π ⋅ 82 cm2 ⇒ A = 64π cm2

b) O perímetro P da secção plana é dado por:

P = 2 ⋅ π ⋅ 8 cm ⇒ P = 16π cm

c) A intersecção da esfera com o plano pl(ABC) é um círculo de diâmetro ; logo, o triângulo ABC é retângulo em B, pois está inscrito na metade desse círculo:

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a distância BC:

(BC)2 + 162 = 342 ⇒ BC = 30

Logo, a distância entre B e C é 30 cm.

27 Alternativa b

Sendo x a medida, em centímetro, de uma aresta do cubo, temos:

x3 = 13.824 ⇒ x = 24

Como o diâmetro de cada esfera é 12 cm, cada uma das dimensões do cubo — comprimento, largura e altura — equivale a dois diâmetros. Logo, o número máximo de esferas que podem ser armazenadas em uma caixa é 2 ⋅ 2 ⋅ 2, ou seja, 8.

Questões para reflexão

Uma esfera está inscrita em um cone circular reto se, e somente se, tangencia todas as geratrizes e a base do cone. Nesse caso, diz-se também que o cone está circunscrito à esfera.

Conhecendo o raio da base e a altura de um cone circular reto, o cálculo do raio da esfera inscrita nesse cone pode ser feito por semelhança de triângulos, conforme mostra o exercício resolvido a seguir.

Uma esfera está inscrita em um cone circular reto de altura 12 cm e raio da base 9 cm. Calcular a medida do raio da esfera.

Resolução

O centro O' da esfera, o vértice V e o centro O da base do cone são pontos colineares. O raio da esfera com extremo T em uma geratriz do cone é perpendicular a essa geratriz. Assim, sendo r o raio da esfera, temos:

MARIO MATSUDA

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

(VM)2 = 122 + 92 ⇒ VM = 15

Os triângulos VOM e VTO' são semelhantes (pelo caso A.A.); logo:

⇒ 15r = 108 − 9r

∴ 24r = 108

∴ r = 4,5

Portanto, a esfera tem raio de 4,5 cm.

Conectado

Exemplo de respostas:

a) Na figura, o plano que secciona o cilindro, passando pelo eixo que contém os centros das bases do cilindro, determina o quadrilátero ABCD que é uma secção meridiana do cilindro.

b) Na figura, o plano que secciona o cilindro, paralelo às suas bases, determina o círculo de centro A que é uma secção transversal do cilindro.

c) Na figura, o plano que secciona o cone, passando pelo eixo que contém seu vértice e o centro de sua base, determina o triângulo ABC, que é uma secção meridiana do cone.

d) Na figura, o plano que secciona o cone, paralelo à sua base, determina o círculo de centro C, que é uma secção transversal do cone.

e) Na figura, a intersecção da esfera com o plano que secciona a esfera não passando pelo seu centro é um círculo.

f) Na figura, a intersecção da esfera com um plano que secciona a esfera passando pelo seu centro determina o círculo máximo de centro O e diâmetro AB.

28 Sendo O e O´ os centros da esfera e da secção plana, respectivamente, e r o raio dessa secção, temos:

r2 + 122 = 152 ⇒ r = 9 cm

a) A área Asec da secção plana é dada por:

Asec = (π ⋅ 92) cm2 = 81π cm2

b) A área Asup da superfície esférica é dada por:

Asup = (4π ⋅ 152) cm2 = 900π cm2

c) O volume V da esfera é dado por:

V = = 4.500π cm3

29 Sendo r a medida do raio da secção plana, temos:

πr2 = 9π ⇒ r = 3 cm

Assim, sendo O e R o centro e o raio da esfera, temos:

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

R2 = + 32 ⇒ R = 6 cm

Portanto, o volume V da esfera e a área A da superfície esférica são:

V = = 288π cm3 e A = (4 ⋅ π ⋅ 62) cm2 = 144 π cm2

30 O volume V e a área A são:

V = = 18π cm3

A = = 27π cm2

31 Sendo R a medida, em centímetro, do raio da esfera original, temos:

⇒ R = 10

Portanto, a esfera original tem raio de 10 cm.

32 Indicando por r e R as medidas do raio da bola e do raio interno do aro, respectivamente, temos:

Assim, obtemos:

= 1,875 = 187,5%

Logo, o diâmetro interno do aro é 87,5% maior que o diâmetro da bola.

33 Após mergulhar a esfera, o cilindro C representado pelo espaço ocupado pela água e pela esfera tem 6 cm de raio e 6 cm de altura:

MARIO MATSUDA

Logo, o volume VC desse cilindro é dado por:

VC = π ⋅ 62 ⋅ 6 cm3 ⇒ VC = 216π cm3

Assim, o volume VA de água é a diferença entre VC e o volume da esfera, isto é:

Esse volume de água formava um cilindro de altura h antes de ser mergulhada a esfera; logo, a medida h, em centímetro, é obtida por:

π ⋅ 62 ⋅ h = 180π ⇒ h = 5

Ou seja, antes de a esfera ser mergulhada, a altura da superfície da água, em relação ao fundo do vaso, era de 5 cm.

Criando problemas

Resposta pessoal.

34

FAUSTINO

102 = 62 + (CO´)2; logo: CO´ = 8 cm

Como CO´ = AB, concluímos que AB = 8 cm.

35 Alternativa b

Seja H a medida, em centímetro, da altura mínima necessária para que as esferas fiquem submersas:

MARIO MATSUDA

Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos:

(H − h)2 + 62 = 102 ⇒ H = 18

Logo, a altura pedida é 18 cm.

36 Ângulo (grau) ----- Volume (m3)

360 ------

20 ----- VC

37 Ângulo (rad) ----- Volume (cm3)

2π -----

----- Vc

38 Sendo R a medida, em centímetro, do raio da cunha, temos:

Ângulo (grau) ----- Volume (cm3)

360 -----

60 ----- 6π

⇒ 80πR3 = 2.160π

∴ R = 3 cm

39 Ângulo (grau) ----- Área (m2)

360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 52

80 ----- Af

40 Sendo R a medida, em metro, do raio do fuso, temos:

Ângulo (rad) ----- Área (m2)

2π ----- 4πR2

∴ R = 6 m

41 a) A área Af do fuso pode ser calculada pela regra de três:

Medida do ângulo diedro (grau) ----- Área (m2)

360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 202

120 ----- Af

De onde obtemos: Af = m2

Como a área A da lona deve ter 10% a mais que a área do fuso, concluímos que:

A = 1,1 ⋅ m2 = m2

b) A medida do referido ângulo é o suplemento de 120°, ou seja, 60°.

c) Indicando por P o ponto onde será instalado o canhão de luz, por Q a projeção ortogonal de P sobre o plano do palco e por h a medida PQ, em metro, esquematizamos:

MARIO MATSUDA

Do triângulo OPQ, temos:

sen 60° =

∴ h = m

Logo, a altura pedida é h = m.

• Exercícios complementares

1 Alternativa c

A área lateral A da cobertura é a terça parte (120°) da área lateral de um cilindro circular reto de altura 20 m e raio da base 10 m, ou seja:

2 A panela cilíndrica moldada tem 16 cm de raio da base e 12 cm de altura; logo, a capacidade V da panela é dada por:

V = (π ⋅ 162 ⋅ 12) cm3 = 3.072π cm3 ou, de modo equivalente, V = 3,072π dm3

Logo, a capacidade da panela é de 3,072π L ou, aproximadamente, 9,6 L.

3 O volume de água é o volume V do seguinte tronco de cilindro reto com base circular:

FAUSTINO

Logo, o volume de água no copo é 81π cm3.

4 Alternativa e

Indicando por R e h o raio da base e a altura do cone, respectivamente, e por r o raio do círculo formado pela superfície da água, temos, da semelhança entre os triângulos retângulos destacados na figura abaixo:

FAUSTINO

Sendo VT e VA o volume interno do tanque e o da água, respectivamente, temos:

A relação entre VT e VA pode ser obtida pela razão entre eles:

∴ VT = 8VA = 8π

5 Alternativa b

O trapézio isósceles ABCD, abaixo, representa uma secção meridiana desse tronco de cone, em que x é a medida, em metro, do segmento da projeção ortogonal FB do lado BC sobre a base maior do trapézio.

ILUSTRAÇÕES: MARIO MATSUDA

Do triângulo retângulo BCF, temos:

tg 30° =

∴ x = m

Como AB = + 2x, temos que AB = m. Assim, deduzimos que o raio da base maior do tronco mede m, com o que concluímos que a área S dessa base é dada por:

S = π ⋅ ()2 m2 = 108π m2

Ou seja, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de 108π m2.

6 a) O comprimento da circunferência que limita a base menor do tronco é 18π cm; logo, a medida r, em centímetro, do raio dessa base é dada por:

2πr = 18π ⇒ r = 9 cm

O comprimento da circunferência que limita a base maior do tronco é 36π cm; logo, a medida R, em centímetro, do raio dessa base é dada por:

2πR = 36π ⇒ R = 18 cm

b) Os diâmetros das bases do tronco medem 18 cm e 36 cm, e a geratriz mede 15 cm. Assim, uma secção meridiana desse tronco é o trapézio isósceles representado a seguir, em que h é a medida, em centímetro, da altura do tronco.

Pelo teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCF, obtemos h:

h2 + 92 = 152 ⇒ h = 12 cm

Ou seja, a medida da altura do tronco é 12 cm.

c) Prolongando as geratrizes do tronco, obtemos o cone C que o contém. Assim, esquematizamos a figura a seguir, em que O e O´ são os centros das bases e G é a medida, em centímetro, da geratriz de C. Observe que G − 15 é a medida da geratriz, em centímetro, da geratriz do cone C´, contido em C, cuja base coincide com a base menor do tronco.

Da semelhança entre os triângulos LOB e LO´A, obtemos a medida G:

⇒ G = 30 cm

Assim, a área lateral Aℓ do tronco é dada por:

Aℓ = (π ⋅ 18 ⋅ 30 − π ⋅ 9 ⋅ 15) cm2 = 405π cm2

Ou seja, a área de tecido usado na confecção dessa copa é de 405π cm2.

7 O volume V da Terra é dado por:

Convertendo essa medida para centímetro cúbico, obtemos:

V ≈ 1,08 ⋅ 1027 cm3

Logo, a massa M do nosso planeta é calculada por:

M ≈ 1,08 ⋅ 1027 ⋅ 5,5 g ⇒ M ≈ 5,94 ⋅ 1027 g

Convertendo essa medida para quilograma, concluímos que:

M ≈ 5,94 ⋅ 1024 kg

8 Alternativa e

O esquema abaixo mostra o formato da pílula original e da reduzida, com as respectivas medidas.

Observamos que o volume de cada pílula é a soma do volume de um cilindro com o volume de uma esfera. Assim, indicando por Vo e VR os volumes da pílula original e da reduzida, respectivamente, temos:

Substituindo π por 3, obtemos:

Vo = 1.250 mm3 e VR = 736 mm3

Logo, a redução do volume da pílula original, após a reprogramação da máquina, será de (1.250 − 736) mm3, ou seja, 514 mm3.

9 O raio interno do fundo semiesférico é 6 mm; portanto, o volume Vse de sangue nessa semiesfera é dado por:

A altura do cilindro de sangue contido no tubo é (102 − 6) mm, ou seja, 96 mm. Logo, o volume VC desse cilindro é dado por:

VC = π ⋅ 62 ⋅ 96 mm3 ⇒ VC = 3.456π mm3

Assim, obtemos o volume V de sangue analisado:

V = Vse + VC ⇒ V = 3.600 mm3

O volume VG de glóbulos vermelhos acumulados no fundo do tubo, conforme mostra a figura 2, é dado por:

mm3 = VG = 1.440π mm3

Tendo esses valores, já podemos calcular o Ht:

10 Os centros dessas bolas são vértices de uma pirâmide regular quadrangular em que todas as arestas têm a mesma medida de 20 cm, conforme mostra o esquema abaixo. Assim, a altura H da pilha de bolas é a soma da altura h da pirâmide com 2 vezes o raio de uma bola.

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

h2 + ()2 = 202 ⇒ h = cm

Concluímos, então, que:

H = ( + 2 ⋅ 10) cm ⇒ H = 10( + 2) cm

11 Ângulo (grau) ----- Volume (cm3)

360 -----

60 ----- Vc

12 a) Ângulo (grau) ----- Volume (cm3)

360 -----

30 ----- Vc

⇒ Vc = 375π cm3

b) Ângulo (grau) ----- Área (cm2)

360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 15²

30 ----- At

⇒ At = 75π cm2

c) A área total AT da superfície da cunha é a soma da área do fuso com as áreas de dois semicírculos de raio 15 cm, isto é:

AT = (75π + 225π) cm2 = 300π cm2

• Trabalhando em equipe

Análise da resolução

Comentário: Na resolução foi cometido um erro na montagem da proporção entre os lados correspondentes dos triângulos semelhantes. Para evitar esse tipo de erro, é conveniente separar os triângulos semelhantes e assinalar os ângulos correspondentes congruentes:

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos AC:

(AC)2 = 502 + 1202 ⇒ AC = 130

Pela semelhança entre os triângulos AOB e ACO´, calculamos a medida R:

∴ 130R = 6.000 − 50R

∴ 180R = 6.000 ⇒ R =

Logo, a medida do raio da esfera é cm. cm ou, aproximadamente, 33,3 cm.

Matemática sem fronteiras

1 Esquematizando, temos:

NEIDE TOYOTA

a) a 65° e 81° a leste do meridiano de Greenwich, são 16 h e 17 h, respectivamente;

b) a 93° e 120° a oeste do meridiano de Greenwich, são 6 h e 4 h, respectivamente.

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Page 25

O volume da calha é o mesmo do prisma triangular reto representado abaixo.

MARIO MATSUDA

A área B da base desse prisma é calculada por:

B = m2 ⇒ B = 0,01 m2

Logo, o volume V do prisma é dado por:

V = (0,01 ⋅ 3) m3 = 0,03m3

12 O volume do leite derramado é o mesmo do prisma representado pelo espaço vazio dentro da caixa inclinada. Indicando por x a medida, em centímetro, da menor aresta da base desse prisma, esquematizamos:

MARIO MATSUDA

Assim, temos: tg 60° = ⇒ =

∴ x = cm

Concluímos, então, que o volume V do leite derramado é dado por:

V = ⋅ 7 ⇒ V = 350

13 Veja o esquema a seguir.

a) Verdadeiro, pois a lateral interna é formada por dois trapézios de altura 12 m e bases 3 m e 1 m, um retângulo de dimensões 1 m por 6 m e um retângulo de dimensões 6 m por 3 m; logo, a área S dessa lateral é dada por:

S = = 72 m2

b) Verdadeiro, pois o segmento , representado abaixo, separa a face trapezoidal ABCD no retângulo ABCE e no triângulo retângulo AED.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AED, temos:

(AD)2 = 122 + 22 ⇒ (AD)2 = 148

∴ AD = m

Logo, a área F do fundo da piscina é:

F = 6 m2 ≈ 72 m2

O número n de azulejos necessários para revestir o fundo da piscina é a razão entre F e a área de cada azulejo:

= 1.800

c) Verdadeiro, pois para a profundidade de 0,85 m em seu ponto mais raso teríamos a situação do esquema abaixo.

ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO

O volume V de água pode ser calculado como o volume de um prisma reto de altura 6 m cuja base é um trapézio retângulo de altura 12 m e lados paralelos de 0,85 m e 2,75 m, ou seja:

V = m3 = 133,2 m3

d) Falso, pois na ocasião o volume de água era 133,2 m3, ou seja, 133.200 L, e, portanto, a massa m de produto químico adicionado na piscina foi:

m = ⋅ 20 g = 266,4 g

e) Falso, pois o volume V da piscina é o volume de um prisma reto de altura 6 m cuja base é um trapézio retângulo de altura 12 m e lados paralelos com 1 m e 3 m:

V = ⋅ 6 m3 = 144 m3

∴ V − 133,2 m3 = 10,8 m3 = 10.800 L

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Page 26

Prolongando as arestas laterais desse tronco de pirâmide, obtemos uma pirâmide de altura 3 + h, em metro, conforme mostra a figura:

NEIDE TOYOTA

Assim, temos:

Logo, o volume V do tronco de pirâmide é dado por:

∴ V = 52.000 dm3 ⇒ V = 52.000 L

• Exercícios complementares

a) A área B da base do prisma é dada por:

B = 6 ⋅ = 18 m2 ≈ 30,6 m2

Assim, a pressão sobre o plano da base é calculada por:

b) A área de uma face lateral do prisma é dada por:

= 2 ⋅ 6 m2 = 12 m2 ⇒ ≈ 20,4 m2

Assim, a pressão sobre o plano de uma face lateral é calculada por:

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Quantos anagramas começam com a letra C?

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