Qual polígono possui a soma de seus ângulos internos igual a soma dos seus ângulos externos?

Através de uma demonstração simples, podemos constatar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo equivale a 180o. O mesmo pode ser feito para os demais polígonos convexos. Sabendo o número de lados de um polígono, conseguimos determinar a soma das medidas de seus ângulos internos.

Um quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos, portanto a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 2?180O = 360O
 

Um pentágono pode ser dividido em três triângulos, logo, a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 3?180O = 540O

Partindo da mesma ideia, um hexágono pode ser dividido em 4 triângulos. Assim, a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 4?180O = 720O

Generalizando, se um polígono convexo possui n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos será dada por:
 

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S = (n - 2)?180o

Exemplo 1. Determine a soma das medidas dos ângulos internos de um icoságono.

Solução: Icoságono é um polígono convexo com 20 lados, logo, n = 20. Assim, teremos:

S = (n - 2)?180o
S = (20 - 2)?180o
S = 18?180o
S = 3240o

Exemplo 2. Quantos lados possui um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1440o?

Solução: Sabemos que S = 1440o e queremos determinar a quantidade de lados que esse polígono possui, ou seja, determinar o valor de n. Vamos resolver o problema utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos.

Observação: A soma dos ângulos externos de um polígono qualquer é igual a 360°.

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:

Na Geometria Plana, um elemento amplamente utilizado é o ângulo. Este se faz presente em inúmeras situações, ou seja, basta pensar em uma situação qualquer que é possível encontrar algum ângulo envolvido nela. Contudo, esse artigo foca apena os ângulos aplicados nas figuras geométricas e o estudo de suas propriedades.

Um polígono convexo possui dois tipos de ângulos: aqueles que são internos ao polígono e aqueles que são externos. O estudo das somas dos ângulos internos de um polígono pode ser visto no artigo “Soma dos ângulos internos de um polígono convexo”.

Por ora, faremos a demonstração da soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo. Portanto, partiremos de um caso concreto utilizando um pentágono e depois veremos um caso geral, com um polígono de n lados.

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Veja que a soma do ângulo externo com o seu ângulo interno adjacente resulta em um ângulo de 180°, ou seja, são ângulos suplementares. Façamos a soma de todos os ângulos suplementares desse pentágono.

Vejamos se a soma dos ângulos externos será 360° para qualquer polígono convexo.

Sabemos que a soma dos ângulos internos é dada pela seguinte expressão:

Se somarmos os ângulos suplementares de um polígono convexo com n lados, teremos a seguinte expressão:

Ou seja, para qualquer que seja o polígono convexo, a soma dos seus ângulos externos será igual a 360°.

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende da quantidade de lados que esse polígono possui; já a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é uma constante e vale $360^\circ$.

Definição 1:

Ângulo interno de um polígono é o ângulo formado por dois de seus lados, que seja interno ao polígono.

[Figura 1]

Teorema 1:

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de $N$ lados é dada pela fórmula:

\begin{equation}
S_\alpha = (N-2)\cdot 180^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos;
$\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono.

Demonstração:

Tomando um polígono convexo, para $N>3$, podemos decompô-lo em triângulos, traçando diagonais a partir de um vértice qualquer:

[Figura 2]

Vejam que há uma relação entre o número de lados do polígono e a quantidade de triângulos em que podemos decompô-lo:

[Tabela 1]

Como soma das medidas dos ângulo internos de um polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos de todos os $N-2$ triângulos que o compõe, e como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é igual a $180^\circ$, temos:

\begin{equation}
S_\alpha = (N-2) \cdot 180^\circ
\end{equation}

\begin{equation}
\alpha = \frac{(N-2)\cdot 180^\circ}{N}
\end{equation}

onde $\alpha$ é a medida de cada ângulo interno de um polígono regular de $N$ lados.

Ângulos Externos

Definição 2:

Ângulo externo de um polígono é aquele suplementar ao ângulo interno em um dado vértice, formado pelo prolongamento de um dos lados e o lado adjacente.

[Figura 3]

Teorema 2:

A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de $N$ lados é igual a $360^\circ$:

\begin{equation}
S_\beta = \beta_1, \beta_2, \beta_3, \cdots, \beta_N=360^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $\beta_N$ é o ângulo externo do polígono;
$\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos.

Demonstração:

Partimos do fato que a soma dos ângulos interno e externo é igual a um ângulo raso. Assim:

\begin{equation}
\alpha + \beta = 180^\circ
\end{equation}

Então, para cada par de ângulos associados a um lado $N$ do polígono, temos:

\begin{equation}
\begin{matrix}
\alpha_1 + \beta_1 = 180^\circ\\
\alpha_2 + \beta_2 = 180^\circ\\
\alpha_3 + \beta_3 = 180^\circ\\
\vdots \\
\alpha_N + \beta_N = 180^\circ\\
\end{matrix}
\end{equation}

Somando membro a membro as $N$ igualdades, obtemos:

\begin{equation}
S_\alpha + S_\beta = N \cdot 180^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos;

$\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos;

$\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono.

Manipulando a equação $(7)$, obtemos:

\begin{equation}
S_\beta = N \cdot 180^\circ - S_\alpha
\end{equation}

Substituindo $S_\alpha$ dada na equação $(2)$, obtemos:

\begin{equation}
\begin{matrix}
S_\beta = N\cdot 180^\circ - (N-2) \cdot 180^\circ\\
S_\beta = N\cdot 180^\circ - N\cdot 180^\circ + 360^\circ\\
S_\beta = 360^\circ
\end{matrix}
\end{equation}

Uma consequência imediata desse resultado é a determinação da medida de um ângulo externo de um polígono regular, dada por:

\begin{equation}
\beta = \frac{S_\beta}{N} \qquad \text{ou} \qquad \beta = \frac{360^\circ}{N}
\end{equation}
onde $\beta$ é a medida de cada ângulo externo de um polígono regular de $N$ lados.

Exemplo 1:

Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono.

Temos que $N=7$, já que o polígono é um heptágono. Assim:

\begin{matrix}
S_\alpha=(N-2)\cdot 180^\circ \\
S_\alpha= (7-2)\cdot 180^\circ\\
S_\alpha= 5\cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 900^\circ
\end{matrix}

Desse modo, a soma dos ângulos internos de um heptágono vale $900^\circ$.

Exemplo 2:

Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono regular e determinar a medida de cada ângulo externo.

Temos que $N=9$. Fazemos:

\begin{matrix}
S_\alpha = (N-2)\cdot 180^\circ\\
S_\alpha = (9-2) \cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 7 \cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 1260^\circ
\end{matrix}

Para sabermos quanto vale cada ângulo interno, dividimos a soma dos ângulos internos por $9$, obtendo $140^\circ$. Agora, para calcularmos o ângulo externo, basta fazermos:

\begin{matrix}
\beta = 180^\circ - \alpha\\
\beta = 180^\circ - 140^\circ\\
\beta = 40^\circ
\end{matrix}

Exemplo 3:

Qual polígono possui a soma das medidas dos ângulos internos igual a $1800^\circ$?

Basta aplicarmos a fórmula:
\begin{matrix}
S_\alpha = (N-2) \cdot 180^\circ\\
1800^\cdot = 180^\circ \cdot N - 360^\circ\\
180^\circ \cdot N = 2160^\circ\\
N = 12
\end{matrix}

Logo, o polígono procurado é o dodecágono.

Exemplo 4:

Qual polígono regular possui a medida dos ângulos externos igual a $60^\circ$?

Aplicamos a fórmula dada em $(10)$:

$$
\beta = \frac{360^\circ}{N}\\
N = \frac{360^\circ}{60}=6
$$

Logo, o polígono em questão é um hexágono.

Exemplo 5:

Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo?

Podemos escrever que $\alpha = 3\beta$. E agora substituirmos as equações $(3)$ e $(10)$:

$$
\frac{(N-2)\cdot 180^\circ}{N} = 3\cdot \frac{360^\circ}{N}\\
180^\circ \cdot N - 360^\circ = 1080^\circ\\
180^\circ \cdot N = 1440^\circ\\
N=8
$$

Referências:

• Fundamentos de Matemática 7ª - Ismael Reis - Ed. Moderna 

Veja mais:

• Como determinar o ângulo interno de um polígono regular
• O Ângulo Interno de um Polígono Regular
• Teorema do Ângulo Inscrito

Qual o polígono que tem a soma dos ângulos internos igual a soma dos ângulos externos?

Qual a soma dos ângulos internos é externos de um polígono?

Qual polígono tem a soma dos ângulos internos?