O estudo dos ângulos é fundamental para compreender conceitos ligados a geometria, trigonometria, entre outros ramos da Matemática. O estudo dos ângulos é um dos responsáveis pelos avanços que possuímos atualmente em vários ramos, como a navegação e a astronomia. Um exemplo notável é o astrolábio náutico (inventado pelo grego Hiparco) usado para medir ângulos. Nos séculos V e VI, os navegadores construíram esse instrumento para medir a elevação das estrelas e do sol com o intuito de localizar suas embarcações. Mais tarde, o astrolábio deu origem ao sextante, mais simplificado, mas que cumpria a mesma função. Show
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Definição de ânguloChama-se ângulo a região entre duas semirretas que partem de uma mesma origem. Podemos dizer, ainda que um ângulo é a medida da abertura de duas semirretas que partem da mesma origem. Indica-se: ∠AOB, ∠BOA, AÔB, BÔA ou Ô. O ponto "O" é o vértice do ângulo e as semirretas e são os lados do ângulo. Ângulos consecutivosDois ângulos são consecutivos se eles compartilham um mesmo lado, ou seja, se o lado de um, for também o mesmo lado do outro. Ângulos adjacentesDois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não compartilham pontos internos, ou seja, não estão sobrepostos um ou outro. Congruência (≅)Para que ângulos possam ser considerados congruentes (iguais), devem satisfazer os seguintes postulados:
Adição de ângulosSe a semirreta OB é interna ao ângulo AÔC, o ângulo AÔC é a soma dos ângulos AÔB e BÔC. Assim: AÔC = AÔB + BÔC Bissetriz de um ânguloA bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes (iguais). Formalmente falando, uma semirreta ob interna ao ângulo aôc, é bissetriz desse ângulo se, e somente se, aôb ≅ bôc. Ângulos opostos pelo vérticeDizemos que dois ângulos são opostos pelo vértice se as semirretas que os formam partem do mesmo vértice e são opostas aos lados do outro. Medida de um ângulo - amplitudeA medida de um ângulo é um número real positivo associado a ele, de forma que:
Chamamos a medida de um ângulo de amplitude. Unidades de medida de um ânguloGrau (°)A unidade principal de medida de um ângulo é o grau (°). 1° (um grau) equivale a de uma circunferência, ou seja, 1° corresponde a uma das 360 partes em que uma circunferência foi dividida. Assim, uma circunferência inteira possui 360°. Minuto ( ‘ )Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida minuto ( ‘ ). Um minuto corresponde a de um grau, ou seja, 1 minuto (1’) corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1° foi dividido. Um grau possui 60 minutos (1º = 60'). Segundo ( '' )Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida segundo ( '' ). Um segundo corresponde a de um minuto, ou seja, 1 segundo (1'') corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1' foi dividido. Um minuto possui 60 segundos (1' = 60''). GradoEsta medida não é muito usual. Um grado corresponde a de um grau, ou seja, 1 grado (1 gr) corresponde a 9 das 10 partes em que um ângulo de 1° foi dividido. Classificação de ângulosOs ângulos podem ser classificados de acordo com a sua medida. Ângulo agudo: ângulo com medida menor que 90º (0° < α < 90°). Ângulo reto: ângulo com medida igual a 90º.Ângulo obtuso: ângulo com medida maior que 90º (90° < α < 180°).Ângulo raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.Ângulo Côncavo: ângulo com medida entre 180º e 360º. Ângulo completo ou de uma volta: ângulo com medida igual a 360°. Ângulos complementaresDizemos que dois ângulos são complementares quando a sua soma equivale a 90°. Ângulos suplementaresDizemos que dois ângulos são suplementares se, e somente se, a sua soma for igual a 180°. Ângulos replementaresDois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 360°. Retas paralelas cortadas por uma transversalDuas retas paralelas e distintas, r e s, cortadas por uma outra reta transversal t delimitam oito ângulos, como na figura. Esses ângulos serão suplementares ou congruentes. Nesses casos, podemos atribuir alguns nomes especiais, veja: Correspondentes: Alternos: Colaterais: Exemplos 1. Um ângulo excede o seu complemento em 48°. DETERMINE o suplemento desse ângulo. Seja x o ângulo procurado e y o seu complemento. x = 48 + y. Como x e y são complementares, x + y = 90. Assim, y = 90 – x. Então x = 48+(90-x) x = 48+90-x x = 138-x 2x = 138 x = 138/2 = 69º Então, 69° somado com seu suplemento deve ser igual a 180°. Assim, o suplemento será 180°- 69° = 111°. 2. (FUVEST-SP). Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
Traçando uma reta paralela as retas r e s, cortando o ângulo 3, temos: Agora, o ângulo 3 está dividido em dois outros ângulos. Note que os ângulos 1 e a parte superior do ângulo 3 são ALTERNOS INTERNOS, ou seja são iguais. Assim, a parte superior do ângulo 3 é igual a 45° O mesmo acontece com os ângulos 2 e a parte inferior do ângulo 3. Assim, o ângulo inferior de 3 será igual a 55° Juntando os dois ângulos, teremos o ângulo 3. Assim, o ângulo 3 mede 45°+55° = 100° Alternativa E. Referências: DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995. RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Noções primitivas de geometria plana. Vol. 1. São Paulo: Bernoulli. Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/angulos/ Qual é a relação existente entre as medidas dos ângulos internos β e γ dessas figuras?Quando temos figuras que são completamente proporcionais pelos seus lados, através de uma escala de redução ou alargamento, os valores angulares internos permanecerão os mesmos, uma vez que se variarem os lados perderiam a proporcionalidade, para este caso é cumprido que: θ=γ.
Qual é a relação entre as medidas dos lados entre os ângulos desse polígono?Em todo polígono, o número de lados é igual ao número de ângulos.
Qual é a relação entre os ângulos internos e externos que possuem o mesmo vértice?Resposta: Eles são suplementares.
É correto afirmar que a soma de um ângulo interno de um triângulo com o ângulo externo adjacente à ele é sempre igual a 180?Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°.
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