PorcentagensOs números fracionários (ou decimais) têm uma ligação direta com o cálculo da porcentagem. Show
A porcentagem nada mais é do que uma multiplicação por uma fração de denominador cem, como veremos nos exemplos a seguir. Antes, devemos portanto recordar essa transformação: SITUAÇÃO 1: O salário de uma pessoa é de R$ 800,00 qual a quantia que ele receberá se o salário aumentar 15%? Solução: de Logo, o salário após o aumento será de (800 + 120) R$ 920,00. SITUAÇÃO 2: Em um grupo de 75 pessoas, verificou-se que 8% usavam óculos. Quantas pessoas desse grupo não usavam óculos? Solução: de Logo, 69 pessoas não usavam óculos. Noções de matemática financeiraTerminologia básica Quando você deposita uma quantia monetária (Capital: C) em uma caderneta de poupança, você está fornecendo um crédito à empresa. A compensação recebida por esse crédito é o juro (J). a. Taxa de juros (i) – é o valor do juro numa unidade de tempo (mês, trimestre, semestre, ano, etc), expresso como uma porcentagem do capital (i = 5% ao mês: significa que a cada mês, você recebe 5 de juro para cada 100 de capital aplicado). b. Taxas de juros proporcionais – duas taxas i1 e i2, relativas respectivamente aos períodos de tempos n1 e n2, são proporcionais se, supondo n1 e n2 expressos na mesma unidade, se tem: . Assim, por exemplo, a taxa semestral de 12% é proporcional à taxa mensal de 2%, pois: . c. Taxas de juros equivalentes – duas taxas i1 e i2 são equivalentes se, a despeito de estarem referidas a períodos de tempos diferentes, produzem montantes iguais, quando aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo prazo. d. Montante (M) – É a soma do capital com os juros auferidos: M = C + J Regime de capitalização simples No regime simples, os juros gerados em cada unidade de tempo são sempre constantes e iguais ao produto do capital pela taxa de juros: J = C.i Como J = C.i, em cada unidade de tempo; após um período de n unidades de tempo, o total dos juros auferidos será dado por: J = C.i.n A expressão do montante será: No regime de capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Com efeito, por exemplo, o montante M1, gerado por R$100,00, quando aplicado à taxa de 12% ao semestre pelo prazo de 1 ano é igual ao montante M2, gerado pelo mesmo capital, quando aplicado à taxa de 2% ao mês pelo mesmo prazo. De fato, . Exemplos: a. O capital de R$530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual será o valor do montante, após 5 meses? Solução: Capital (C): 530,00 Taxa (i): 3% ao mês Período (n): 5 meses O montante após 5 meses será de R$ 609,50. b. Um capital de R$ 600,00 aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1.080,00 após um certo tempo. Qual foi esse tempo? Solução: Capital (C): 600,00 Taxa (i): 20% ao ano Montante (M): 1080,00 anos. O tempo necessário será de 4 anos. c. Que capital, aplicado em regime simples de capitalização, à taxa de 1,5% ao mês, renderá juros de R$ 90,00 em um trimestre? Solução: Taxa (i): 1,5% ano mês Tempo (n): 1 trimestre (3 meses) Juros (J): 90,00 O capital aplicado deverá ser de R$ 2000,00. d. A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4.500,00, no regime de capitalização simples, para que após 4 meses, o montante seja de R$ 5.040,00? Solução: Capital (C): 4500,00 Tempo (n): 4 meses Montante (M): 5040,00 ao mês A taxa deverá ser de 3% ao mês. e. Quanto renderá de juros a quantia de R$ 600,00, aplicada no regime de capitalização simples, com taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses? Solução: Capital (C): 600,00 Taxa (i): 2,5% ao mês Tempo (n): 1 ano e 3 meses (15 meses) O capital renderá R$ 225,00. Os juros simples são correções feitas em um valor aplicado ou devido. Os juros são calculados a partir de uma porcentagem preestabelecida e leva em consideração o período da aplicação ou da dívida. Um valor aplicado é chamado de capital, já a porcentagem de correção é chamada de taxa de juros. O valor total recebido ou devido no final do período é chamado de montante. Em muitas situações do cotidiano, nos deparamos com problemas de ordem financeira. Desta maneira, é muito importante compreender bem esse conteúdo. Assim, aproveite os exercícios comentados, resolvidos e questões de concursos, para exercitar sobre os juros simples. Exercícios Comentados1) João aplicou R$20 000,00 durante 3 meses em uma aplicação a juros simples com uma taxa de 6% ao mês. Qual o valor recebido por João ao final desta aplicação? Solução Podemos resolver esse problema, calculando quanto de juros João irá receber em cada mês aplicado. Ou seja, vamos descobrir quanto que é 6% de 20 000. Lembrando que porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100, temos: Assim, para saber quanto de juros receberemos por mês, basta multiplicar o valor aplicado pela taxa de correção. Para 3 meses, temos: Desta forma, o valor recebido no final de 3 meses será o
valor aplicado mais os juros recebidos nos 3 meses: Poderíamos, ainda, ter resolvido o problema utilizando a fórmula: M = C ( 1 + i . t ) Veja também: como calcular porcentagem? 2) Em uma loja, um aparelho de TV é vendido com as seguintes condições: Qual a taxa de juros cobrada neste financiamento? Solução Para descobrir a taxa de juros, primeiro devemos conhecer o valor que será aplicado os juros. Esse valor é o saldo devedor no momento da compra, que é calculado diminuindo o valor relativo ao pagamento à vista do valor pago: C = 1750 - 950 = 800 Após um mês, esse valor se converte num montante de R$ 950,00, que é o valor da 2ª parcela. Usando a fórmula do montante, temos: Assim, a taxa de juros cobrada pela loja para essa opção de pagamento é de 18,75% ao mês. 3) Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 4% ao mês. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ser aplicado, a fim de que seja possível resgatar o triplo da quantia aplicada? Solução Para encontrar o tempo, vamos substituir o montante por 3C, pois queremos que o valor seja triplicado. Assim, substituindo na fórmula do montante, temos: Desta forma, para triplicar de valor, o capital deverá permanecer aplicado por 50 meses. Exercícios Resolvidos1) Uma pessoa aplicou um capital a juros simples durante 1 ano e meio. Sendo corrigido a uma taxa de 5% ao mês, gerou no final do período um montante de R$ 35 530,00. Determine o capital aplicado nesta situação. Ver Resposta t = 1 ano e meio = 18 meses M = C (1 + it) 2) A conta de água de um condomínio deve ser paga até o quinto dia útil de cada mês. Para pagamentos após o vencimento, é cobrado juros de 0,3% por dia de atraso. Se a conta de um morador for de R$580,00 e ele pagar essa conta com 15 dias de atraso, qual será o valor pago? Ver Resposta C = 580 M = 580 (1 + 0,003 . 15) O morador terá que pagar R$ 606,10 pela conta de água. 3) Uma dívida de R$13 000,00 foi paga 5 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 780,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros? Ver Resposta J = 780 J = C . i . t A taxa de juros é de 1,2% ao mês. 4) Um terreno cujo preço é de R$ 100 000,00, será pago em um único pagamento, 6 meses após a compra. Considerando que a taxa aplicada é de 18% ao ano, no sistema de juros simples, quanto será pago de juros nessa transação? Ver Resposta C = 100 000 J = 100 000 . 0,5 . 0,18 Será pago R$ 9 000 de juros. Questões de Concursos1) UERJ- 2016 Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: a) 10% Ver Resposta Alternativa c: 15% 2) Fuvest - 2018 Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais? a) 1450,20 Ver Resposta Alternativa c: 1485,20 3) Vunesp - 2006 Um boleto de mensalidade escolar, com vencimento para 10.08.2006, possui valor nominal de R$740,00. a) Se o boleto for pago até o dia 20.07.2006, o valor a ser cobrado será R$703,00. Qual o percentual do desconto concedido? b) Se o boleto for pago depois do dia 10.08.2006, haverá cobrança de juros de 0,25% sobre o valor nominal do boleto, por dia de atraso. Se for pago com 20 dias de atraso, qual o valor a ser cobrado? Ver Resposta a) 5% 4) Fuvest - 2008 No próximo dia 08/12, Maria, que vive em Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação: 1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias; 2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% sobre o valor total da prestação. Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1, a) desvantagem de 22,50 euros. Ver Resposta Alternativa c: desvantagem de 21,52 euros Veja também:
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011. Qual foi o capital que aplicado a taxa de juros simples de 2% ao mês rendeu R$ 90 0Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? O capital corresponde a R$ 1.500,00.
Qual foi o capital aplicado a taxa de juros simples de 1 5 ao mês rendeu 90 em um trimestre?Que capital, aplicado em regime simples de capitalização, à taxa de 1,5% ao mês, renderá juros de R$ 90,00 em um trimestre? O capital aplicado deverá ser de R$ 2000,00.
Como calcular o valor do capital em juros simples?J = C × i × t. J = juros simples;. C = capital inicial;. i = taxa de juros;. t = tempo da aplicação.. Qual é a capital que aplicado a juros simples de 1 5 ao mês rende 3.000 de juros em 45 dias?então temos que Capital = j / i x t => C = 3.000 / ( 0,0005 x 45) C = R$133.333,33 esse foi o capital inicial aplicado.
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