Qual é o valor de energia da radiação emitida por um corpo aquecido?

Fot�es e electr�es

Nos �ltimos anos do s�culo XIX foi identificada a carga el�ctrica elementar, designada por electr�o. A corrente el�ctrica � assim constitu�da por v�rios electr�es que se deslocam ao longo do fio condutor e quando um corpo est� carregado electricamente, a sua carga � sempre um m�ltiplo inteiro da carga elementar do electr�o. Dito por outras palavras: N�o � poss�vel partir o electr�o em peda�os cabendo a cada um uma frac��o da sua carga el�ctrica.

Ferro em brasa

Todos os que j� viram um ferro muito quente, aquilo que vulgarmente se designa por um ferro em brasa, puderam constatar que emite luz. Primeiro emite uma luz avermelhada, depois, se continuarmos a aquecer, a luz torna-se mais alaranjada, aquecendo ainda mais, a luz emitida � mais branca, chegando mesmo a ficar azulada. Esta rela��o entre a temperatura de um corpo e a cor da radia��o emitida � uma propriedade de todos os corpos. O corpo humano emite radia��o no dom�nio do infravermelho, ao qual os nossos olhos n�o s�o sens�veis, mas que pode ser detectada com sensores apropriados. Os �culos de vis�o nocturna usados pelos soldados americanos no Golfo s�o um uso deste princ�pio.

Recordemos agora que a luz que os nossos olhos v�em � uma pequena por��o de uma infinidade de outras luzes que n�o vemos. A cada cor que vemos corresponde uma certa frequ�ncia ω e um certo comprimento de onda λ. Estas duas grandezas n�o s�o independentes, antes pelo contr�rio, o seu produto � uma constante universal, a velocidade de propaga��o da luz no v�cuo, c, ou seja:

No espectro vis�vel, o vermelho � a cor a que corresponde a menor frequ�ncia e o violeta a que corresponde a maior frequ�ncia. Para al�m do violeta temos o ultravioleta que � bem conhecido dos amantes da praia, pois � imprescind�vel proteger a pele dos seus efeitos potencialmente cancer�genos. Continuando a caminhar no sentido de luz com frequ�ncias cada vez maior passamos ao dom�nio dos raios X e posteriormente dos raios gama, usados na terapia de certas formas de cancro. No lado do vermelho e agora com frequ�ncias cada vez menores temos o infravermelho, usado, por exemplo, nos comandos das televis�es, e as ondas de r�dio. Nestas �ltimas, nas chamadas ondas longas, utilizadas em comunica��es mar�timas, o comprimento de onda � da ordem dos km. Por contraste, � cor amarela corresponde um comprimento de onda de cerca de 5×10-7 m e a radia��o gama tem comprimentos de onda inferiores a 10-12 m.

Espectro da radia��o electromagn�tica.

Radia��o do Corpo Negro

Para estudar esta rela��o entre a temperatura e o espectro da luz emitida, o melhor � construir um forno especial, constitu�do por uma cavidade aquecida, cheia de radia��o a essa temperatura e isolada do exterior. Na figura seguinte mostra-se o espectro de um forno destes � temperatura de 5000 K.

Espectro radia��o do corpo negro a 5000 K.

O gr�fico d� a densidade de energia, isto �, a energia por unidade de volume da cavidade, em fun��o do comprimento de onda da radia��o. Como se pode verificar, a esta temperatura o m�ximo da curva est� na regi�o do vis�vel, mas tamb�m existe luz com maiores e menores comprimentos de onda. Se arrefecermos o forno o m�ximo desloca-se para a direita e afasta-se portanto da zona vis�vel.

No final do s�culo XIX conheciam-se bem as leis da Termodin�mica e, depois dos trabalhos de Maxwell, sabia-se que a luz era composta por ondas electromagn�ticas. Era ent�o poss�vel calcular a densidade de energia no interior do forno e comparar com a experi�ncia. O resultado foi surpreendente: � Na regi�o dos grandes comprimentos de onda, a teoria concordava com a experi�ncia, mas esta concord�ncia era cada vez pior � medida que se comparavam as densidades de energia para comprimentos de onda menores. Esta afirma��o est� bem documentada na figura acima, na linha a tracejado. Este desacordo � t�o not�rio que, na �poca, ficou conhecido com o nome de cat�strofe dos ultravioletas. Olhando para o gr�fico, verifica-se que a curva a tracejado cresce sempre no sentido dos menores comprimentos de onda, o que significaria que a densidade de energia correspondente a luz com menores comprimentos de onda aumentaria progressivamente. Densidades de energia cada vez maiores correspondem a luz com comprimentos de onda cada vez menores. A densidade de energia � a energia em cada cent�metro c�bico da cavidade. Se esta densidade aumentasse sem limite, a energia no volume total do forno seria infinita, o que � evidentemente um absurdo.

Onda electromagn�tica.

O que est� mal neste c�lculo? Essencialmente, a teoria admitia que os �tomos das paredes do forno funcionavam como pequenas antenas que emitiam e absorviam a radia��o. Quando a cavidade estava em equil�brio t�rmico, estas ondas eram estacion�rias.

Onda estacion�ria.

Para explicar este conceito, imagine uma corda fixa num extremo. Pegue na outra extremidade e agite a corda de modo a criar uma onda que se ir� propagar ao longo da corda. Ao atingir a outra extremidade, a onda reflecte-se, volta para tr�s e interfere com a primeira. Desta interfer�ncia pode nascer uma onda estacion�ria quando, apesar da corda continuar a vibrar, os pontos de amplitude m�xima e m�nima permanecerem nos mesmos locais. Se uma corda fixa nas duas extremidades tiver um metro de comprimento, podemos gerar uma onda estacion�ria com λ = 2 m, cf. a figura, e considere que o outro extremo � o segundo ponto vermelho.

Podemos agora explicar qualitativamente porque falhava a teoria. Com comprimentos de onda grandes s� era poss�vel ter ondas estacion�rias entre alguns pontos da parede da cavidade, tal como na corda do exemplo anterior. Contudo, para comprimentos de onda cada vez mais pequenos, � cada vez mais f�cil encontrar pontos entre os quais se podem estabelecer ondas estacion�rias. N�o havendo nenhum limite, isto �, quando o comprimento de onda tende para zero, tende para infinito o n�mero de possibilidades de encher a cavidade. Esta cavidade cheia com um n�mero infinito de ondas teria ent�o uma energia infinita.

Max Planck (1858 - 1947)

A sa�da para este problema foi encontrada, no Outono de 1900, por um professor de F�sica da Universidade de Berlim chamado Max Planck. Planck postulou que a luz, tal como a electricidade, tamb�m tinha uma quantidade elementar, posteriormente designada por fot�o. Assim, se tivermos uma cavidade com energia total Et cheia com luz monocrom�tica, de apenas uma frequ�ncia ω, ela ter� um n�mero inteiro, N, de fot�es e cada qual tem energia ħω. Assim temos:

onde ħ � a constante de Planck, h dividida por 2π.

Com esta hip�tese Planck foi capaz de calcular a distribui��o da energia no interior da cavidade e reproduzir exactamente os resultados experimentais. Essa distribui��o � uma parti��o da energia total pelos fot�es que correspondem a cada frequ�ncia do espectro. Nos pequenos comprimentos de onda a que, como j� vimos, correspondem grandes frequ�ncias, cada fot�o tem cada vez mais energia. Assim, para transportar a mesma quantidade de energia, precisamos de cada um n�mero vez menor de fot�es. Logo os ultravioletas, que os nossos olhos n�o v�em, correspondem a fot�es mais energ�ticos do que os do vis�vel. Por esse facto penetram na pele e podem alterar as nossas c�lulas. Com maior facilidade estas altera��es s�o conseguidas com raios X e mais ainda com radia��o gama, a que correspondem fot�es ainda mais energ�ticos. Ali�s, o seu uso terap�utico � justamente a destrui��o de determinadas c�lulas.

Difrac��o

Quando um feixe luminoso atravessa um orif�cio, se as dimens�es deste forem da mesma ordem de grandeza do comprimento de onda, o feixe alarga e vai tamb�m para os lados, i.e., ocorre difrac��o. Basta olhar de noite para a luz de um candeeiro e ir fechando progressivamente os olhos. Verifica-se que, quando estes estiverem quase fechados, ver-se-� o candeeiro maior. Este aumento � justamente devido � dispers�o da luz. Imaginemos agora que fazemos incidir um feixe luminoso monocrom�tico num alvo, opaco, no qual existem dois orif�cios com a mesma dimens�o e da ordem do comprimento de onda da luz. Se apenas um dos orif�cios estiver aberto, j� sabemos o que acontece: � Num segundo alvo, colocado a uma certa dist�ncia do primeiro, e paralelo a ele, aparece uma mancha luminosa cujas dimens�es s�o maiores do que as do orif�cio. Contudo, se deixarmos os dois orif�cios simultaneamente abertos, o que obtemos s�o riscas alternadamente claras e escuras. Em particular, no ponto que corresponde � posi��o m�dia entre os dois orif�cios, existe uma mancha luminosa e � sua direita e � sua esquerda temos duas zonas escuras. Este fen�meno chama-se interfer�ncia.

Experi�ncia da dupla fenda em duas dimens�es.

A verifica��o experimental da sua exist�ncia, feita em 1801 por Thomas Young, fez abandonar a antiga teoria corpuscular da luz de Newton em favor da teoria ondulat�ria. Com efeito, a interfer�ncia � f�cil de explicar com ondas. A zona clara central est� � mesma dist�ncia de ambos os orif�cios e, portanto, as duas ondas a� interferem construtivamente, as cristas das duas ondas chegam ao mesmo tempo e refor�am-se. Mas, um pouco mais � direita ou � esquerda, uma das ondas tem que percorrer uma dist�ncia ligeiramente maior do que a outra e esta pequena diferen�a faz com que � crista da primeira onda se sobreponha agora a cava da segunda, logo as duas ondas anulam-se e fica escuro.

No fim do s�culo XIX o Electromagnetismo tinha finalmente conseguido explicar que a luz era composta por ondas electromagn�ticas, pelo que a �ptica ficou reduzida a um dos cap�tulos do electromagnetismo. Contudo, poucos meses antes de nascer o novo s�culo, Planck volta a introduzir a ideia de corp�sculos de luz: � Os fot�es.

O conceito de part�cula ou corp�sculo elementar forma-se a partir da observa��o de corpos com uma dada dimens�o. Foi assim que Dem�crito na antiga Gr�cia apresentou a hip�tese atomista e nas suas palavras �tudo o que existe s�o �tomos e espa�o vazio�. Sabemos hoje que os �tomos est�o longe de serem elementares, t�m um n�cleo central com um certo tamanho, uma certa massa e determinada carga el�ctrica, positiva, e um n�mero de electr�es tal que o conjunto seja electricamente neutro. Assim, enquanto que o �tomo mais simples de todos, o de hidrog�nio, tem apenas um electr�o, o de carbono tem seis, o de oxig�nio oito e o de chumbo tem oitenta e dois electr�es. Agora sabemos n�o s� aquilo que distingue os �tomos entre si, como tamb�m compreendemos como se constroem mol�culas combinando v�rios �tomos.

Experi�ncia da dupla-fenda em tr�s dimens�es.

Quanto ao electr�o, quando em 1897 J.J. Thomson descreveu as suas caracter�sticas, apresentou-o como uma part�cula. Fazendo experi�ncias sobre feixes de electr�es, produzidos num dispositivo que pode ser considerado como o precursor dos modernos tubos dos aparelhos de televis�o, determinou as suas energias, E, e os respectivos momentos lineares,

em que a constante m � a massa do electr�o.

Antes de Planck parecia que tudo estava mais em ordem. A corrente el�ctrica era constitu�da por part�culas, os electr�es, todos com a mesma massa e com energias vari�veis consoante fosse maior ou menor o seu momento linear, de acordo com a f�rmula anterior. De notar ainda que o momento linear � uma grandeza que de certa maneira est� relacionada com a energia, que todos sabemos estar associada ao movimento. Em particular, se o objecto estiver em repouso, ter�

Por outro lado, a luz era constitu�da por ondas. A cada cor corresponde uma certa frequ�ncia ω e um certo vector de onda

onde a segunda igualdade a zero foi obtida recordando que c = λ / T. Desta forma, ao calcular o primeiro membro da equa��o

Corpo negro

Mas ent�o o tal forno a temperatura constante est� cheio de ondas ou de part�culas? A conclus�o, que est� de acordo com a experi�ncia, � que n�o basta apenas um dos conceitos para explicar todas as propriedades da luz. Do mesmo modo, outro Thomson, desta feita George, filho do f�sico que com tanta eleg�ncia demonstrou que os electr�es eram part�culas, provou que eles, tal como os fot�es, tamb�m se difractam, ao repetir com electr�es a experi�ncia das duas fendas. Hoje todos sabemos que existem microsc�pios electr�nicos, isto �, microsc�pios que usam feixes de electr�es em vez de feixes luminosos. Em conclus�o, fot�es e electr�es comportam-se quer como ondas quer como part�culas.

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