Qual é a fórmula do vértice?

Transcrição de vídeo

RKA - Tenho uma equação e ela é uma equação de segundo grau (ela é quadrática). Sei que seu gráfico será uma parábola e, a título de revisão, significa que ela será parecida com isto ou terá esta forma. Como o coeficiente do termo "x²" é positivo e sei que ela será uma parábola com a concavidade voltada para cima, estou curioso sobre o vértice desta parábola. Se tenho uma parábola com a concavidade voltada para cima, o vértice será o ponto mínimo. Se eu tivesse uma parábola com a concavidade voltada para baixo, o vértice seria o ponto máximo. O que estou tentando é descobrir o valor de "x", Não sei, na verdade, onde intercepta o eixo "x", ou se ele sequer intercepta, mas quero descobrir o valor de "x" onde a função assume um valor mínimo. Tem muitas maneiras para descobrir um vértice. Provavelmente, a mais fácil: tem uma fórmula para ela. A gente já falou de onde ela veio em vários vídeos, que o vértice de uma parábola ou a coordenadora "x" do vértice da parábola, ou seja, a coordenadora "x" do vértice é igual a "-b/2a". E, no "-b"... estamos só falando sobre o coeficiente que é "b"... é o coeficiente do termo em primeiro grau, é o coeficiente do termo "x". E "a" é o coeficiente do termo "x²". Vai ser igual a... "b" é "-20"... é "-20" sobre... 2 vezes 5... vai ser igual a +20/10 o que é igual a 2. Assim, para descobrir o valor "y" do vértice, apenas substituí esse valor na equação. O valor de "y" será "5‧(2²) - 20‧(2) + 15" que é igual a... isso é "(5)‧(4)", que é 20... menos 40 dá -20... mais 15, -5. A gente só precisa fazer isso para descobrir a coordenada. Essa coordenada é o ponto (2, -5). Agora, não é muito satisfatório usar uma fórmula tão mecânica como essa, e a gente vai entender por que quando encontrar a fórmula da equação quadrática. Este é o primeiro termo, ele é o valor de "x" que está no meio das raízes. Essa é uma forma de pensar sobre isso, Mas outra forma de fazer (e ela provavelmente vai ser muito mais útil, porque você pode esquecer a fórmula)... na verdade, ela é apenas uma tentativa de remanipular esta equação de forma a descobrir o ponto mínimo. E vamos fazer completando o quadrado. Deixa eu reescrever. "y" é igual a... e o que eu vou fazer com esses dois primeiros termos é fatorar um 5, porque eu quero completar um quadrado; e eu vou deixar esse 15 à direita porque tenho que manipular isso também... é "5‧x² - 4‧x''... depois, tenho esse 15 aqui. Quero escrever como um quadrado perfeito. Para isso, só tem que lembrar que, se tenho "(x + a)²", vai ser "x² + 2ax + a²". Se quero transformar algo desse tipo, "2ax", em um quadrado perfeito, tenho apenas que pegar metade deste coeficiente e elevar ao quadrado, e somar este valor para que se pareça com isso aqui em cima. Vamos lá. Se eu calcular metade de -4, vai ser -2. Se eu elevar ao quadrado, vai ser +4. Tenho que tomar cuidado aqui. Não posso simplesmente adicionar "1 + 4" aqui; tem uma igualdade. Se eles eram iguais antes de adicionar o 4, então não serão iguais depois que adicionar o 4, preciso fazer a operação correta. Ou somo 4 aos dois lados ou... preciso tomar cuidado... preciso somar o mesmo valor aos dois lados, e subtrair o mesmo valor de novo. Agora, o motivo pelo qual eu tomei cuidado é porque não adicionei simplesmente um 4 ao lado direito da equação. Lembrem-se: o 4 está sendo multiplicado por 5; adicionei 20 ao lado direito da equação. Se eu quiser equilibrar, se quiser que a igualdade ainda seja verdadeira, preciso agora adicionar 20 ao "y", ou subtrair 20 do lado direito. Vou subtrair 20 do lado direito. Somei "(5)‧(4)"; se distribuírem, vão ver isso. Poderia, literalmente, ter dito que estou adicionando 20 e estou subtraindo 20, porque é exatamente a mesma coisa que eu fiz aqui. Se distribuírem o 5, terão "5x² - 20x + 20 + 15 - 20"; exatamente o mesmo que aqui em cima. A questão geral é que, agora, posso escrever de uma maneira interessante. Poderia escrever como "y = 5‧(x - 2)²"... e, depois, "15 - 20" é -5. A questão é que, agora, a gente pode analisar. Quando esta equação atinge um valor mínimo? Sabemos que esse termo sempre será positivo, ou poderíamos dizer que ele sempre será maior do que ou igual a zero. Toda esta coisa irá atingir um valor mínimo quando esse termo for igual a zero ou quando "x" for igual a 2. Quando "x" for igual a 2, a gente vai chegar ao valor mínimo. E o que acontece quando "x = 2"? Todo esse termo será zero e "y" será igual a "-5". O vértice é (2, -5).

A demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice é feita a partir de uma técnica que se baseia na análise geométrica da parábola.

Toda função do segundo grau pode ser representada geometricamente por uma parábola. Nesse caso, essas parábolas terão concavidade voltada para cima e, portanto, um ponto de mínimo,ou terão concavidade voltada para baixo e, por isso, um ponto de máximo. É o ponto de máximo (ou de mínimo) que é conhecido como vértice da parábola.

Supondo que o vértice de uma parábola seja V(xv, yv), então as coordenadas desse ponto podem ser obtidas pelas seguintes fórmulas:

xv = – b
       2a

yv = – Δ
       4a

A demonstração dessas duas fórmulas depende de uma outra técnica, que também pode ser usada para determinar as coordenadas do vértice, baseada na análise geométrica da parábola.

Como encontrar as coordenadas do vértice

Dada uma função do segundo grau, sabemos que seu gráfico é uma parábola. A figura a seguir é uma parábola qualquer que representa uma função f(x) = ax2 + bx + c. As seguintes propriedades e características descritas são válidas para qualquer parábola.

As raízes da parábola são os pontos de encontro entre ela e o eixo x do plano cartesiano, portanto, podemos dizer que suas coordenadas são (x1, 0) e (x2, 0). Com relação a esse eixo, observe que o ponto xv fica exatamente no ponto médio entre as raízes. Portanto, é possível determinar a coordenada xv do vértice por meio da média entre as coordenadas x das raízes da parábola. Logo, xv será:

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xv = x1 + x2
       2

Também podemos determinar yv descobrindo a imagem da função f(x) = ax2 +bx + c no ponto xv. Para isso, devemos observar que a coordenada y ligada a xv, na imagem anterior, é justamente yv. Assim:

f(yv) = a(yv )2 + byv + c

Demonstração das fórmulas

A fórmula usada para determinar os valores de x1 e x2 é a de Bháskara. Pela fórmula de Bháskara, podemos afirmar que:

x1 = – b + √Δ
       2a

x2 = – b – √Δ
       2a

Substituindo esses valores na expressão:

xv = x1 + x2
       2

Teremos:

Dessa forma, demonstrou-se a expressão usada para determinar a coordenada x do vértice de uma parábola em função dos coeficientes da função do segundo grau que essa figura representa. Para determinar a coordenada y do vértice, resolveremos a equação:

f(yv) = a(yv )2 + byv + c

Observe:

Fazendo a adição de frações, com base no mínimo múltiplo comum, temos:

Dessa maneira, demostramos a fórmula usada para calcular y do vértice com base nos coeficientes da função do segundo grau.

Qual é a fórmula do vértice?

Qual é a fórmula do vértice da função?

Qual é a fórmula do XV é Yv?

O que é o vértice da função?