Qual a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas?

Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

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Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta
Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
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Qual é a probabilidade de retirar uma bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas 2 vermelhas é 5 verdes é de retirar uma branca?
Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha?
Qual a probabilidade de retirar 1 bola branca?
Qual a chance de retirarmos uma bola vermelha de uma urna Dentre as bolas destacadas abaixo?

Enunciado

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Passo 1

Vamos lá! Temos ao todo 8 bolas, sendo:

3 vermelhas e 5 pretas

Tirando três bolas sem reposição, podemos ter (lembrando que a v.a. X conta o número de bolas pretas retiradas):

3 b o l a s p r e t a s → X = 3

2 b o l a s p r e t a s → X = 2

1 b o l a p r e t a → X = 1

n e n h u m a b o l a p r e t a → X = 0

Certo?

Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos:

Passo 2

1º caso: X = 3

O único jeito de termos três bolas pretas é:

P P P

Pra calcular essa probabilidade, vamos fazer da seguinte forma:

Pra primeira bola retirada, temos 5 pretas de um total de 8 bolas, então a probabilidade de a primeira ser preta será de 5 8

Agora, já tendo retirado a primeira bola e ela sendo preta, temos 4 bolas pretas de um total de 7 bolas, então a probabilidade de a segunda bola ser preta agora é de 4 7

Usando o mesmo raciocínio, pra terceira bola temos que a probabilidade será de 3 6

Agora é só multiplicar tudo (queremos a probabilidade da primeira ser preta e a segunda ser preta e a terceira ser preta):

P X = 3 = 5 8 ⋅ 4 7 ⋅ 3 6 = 0,178

Passo 3

2º caso: X = 2

Agora vai mudar um pouquinho a conta. É o seguinte: pra gente ter duas bolas pretas, concorda que os resultados possíveis são

P P V , P V P , V P P

Calculando a probabilidade de cada um deles que nem no passo anterior, temos o seguinte:

P P P V = 5 8 ⋅ 4 7 ⋅ 3 6 = 0,178

P P V P = 5 8 ⋅ 3 7 ⋅ 4 6 = 0,178

P V P P = 3 8 ⋅ 5 7 ⋅ 4 6 = 0,178

Agora é só somar os três (podemos ter duas bolas pretas ou do primeiro jeito ou do segundo ou do terceiro):

P X = 2 = 3 × 0,178 = 0,534

Passo 4

3º caso: X = 1

As possibilidades para termos 1 bola preta são:

P V V , V V P , V P V

Fazendo o mesmo raciocínio do passo anterior, temos:

P X = 1 = 0,269

Passo 5

4º caso: X = 0

Agora a única possibilidade é

V V V

Calculando da mesma forma que no passo 2:

P X = 0 = 3 8 . 2 7 . 1 6 = 0,0178

Passo 6

Então a distribuição de X será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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1 – Introdução

Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.

Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais frequente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

2 – Conceito elementar de Probabilidade

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:
n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.

Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios introdutórios:

1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o número 3:
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6.

b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3.

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.

1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/36.

1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados.

3 – Propriedades

P1: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.

P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade.
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1].
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A Ç B)
Observe que se A ÇB= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ÇB)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima.

Exemplo:

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?

SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(J) + N(P) – N(J ÇP) + 800
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).

4 – Probabilidade condicional

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.

Teremos então:

p(A/B) = n(A Ç B)/ n(B) onde A Ç B = interseção dos conjuntos A e B. Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:
Ora, a expressão acima, pode ser escrita sem nenhum prejuízo da elegância, nem do rigor, como:
p(A/B) = [n(A ÇB)/n(U)] . [n(U)/n(B)]
p(A/B) = p(A ÇB) . 1/p(B)
Vem, então: P(A/B) = p(A Ç B)/p(B), de onde concluímos finalmente:

p(A ÇB) = p(A/B).p(B)

Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.
Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:

p(A ÇB) = p(A) . p(B)

Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

Exemplo:

Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.
Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).

Solução:
p(V Ç B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V Ç B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.

Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V Ç B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%

Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.

Qual é a probabilidade de retirar uma bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas 2 vermelhas é 5 verdes é de retirar uma branca?

Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.

Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha?

Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

Qual a probabilidade de retirar 1 bola branca?

A chance de tirar uma bola branca é, portanto, de 33,33%.

Qual a chance de retirarmos uma bola vermelha de uma urna Dentre as bolas destacadas abaixo?

Resposta verificada por especialistas. A probabilidade de remover uma bola vermelha de uma urna contendo as quantidades descritas é de 20%.

qual probabilidade de retirar bola vermelha de uma urna contendo bolas brancas

Qual a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas?

Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

Enunciado

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Resposta

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