Assim como é possível realizar operações matemáticas com números, é possível fazer operações com vetores. Em outro texto, já abordamos o produto escalar. Agora, falaremos sobre o produto vetorial, uma
operação que também ocorre entre dois vetores. Se no produto escalar, o resultado era um escalar (número), no produto vetorial, o resultado será um vetor. O produto vetorial entre vetores de módulo u e v é representado da seguinte forma: $$ \overrightarrow {u}\times \overrightarrow {v} $$ Essa expressão pode ser lida como “u vetorial v”. 📚 Você vai prestar o Enem 2020? Estude de graça com
o Plano de Estudo Enem De Boa 📚 Vamos observar um exemplo, partindo de dois vetores iniciais (em azul), que resultam no seu produto vetorial (em vermelho). Note que é possível formar um paralelogramo (em verde) tendo como base os dois vetores iniciais. Podemos interpretar o produto vetorial como um vetor perpendicular aos dois vetores iniciais, com módulo (comprimento) numericamente igual à área do paralelogramo formado com base nos dois vetores iniciais. Essa definição pode parecer arbitrária, mas possui vastas aplicações. Nesse sentido, podemos calcular o módulo do produto vetorial usando a fórmula da área do paralelogramo. Designando como v o módulo do produto vetorial e sabendo o menor ângulo formado entre os vetores iniciais, temos $$ \left| \overrightarrow {v}\right| =absen\theta $$ Por ser um vetor, o produto vetorial também possui direção e sentido. A direção é sempre perpendicular ao plano formado pelos dois vetores iniciais. Já o sentido pode ser conhecido através da regra da mão direita espalmada. Para isso, basta espalmar a mão direita, de modo que o dedo indicador forme um ângulo de 90 graus com o polegar. Em seguida, apontam-se todos os dedos, exceto o polegar, no sentido do primeiro vetor, de modo que um giro curto com a palma da mão seja suficiente para que os dados passem a apontar no sentido do segundo vetor. Esteja atento, pois o segundo vetor deve ser atingido com a palma da mão, e não com o dorso. Seguindo esses passos, o sentido do produto vetorial será aquele para o qual o dedo polegar estará apontando. Note que, se a ordem dos vetores for invertida, o módulo é a direção do produto vetorial não mudam, mas seu sentido será o oposto. 🎓 Você ainda não sabe qual curso fazer? Tire suas dúvidas com o Teste Vocacional Grátis do Quero Bolsa 🎓 A interpretação algébrica do produto vetorialAssim como no produto escalar, podemos visualizar a operação não só geometricamente, mas também algebricamente. Para isso, precisaremos das coordenadas dos dois vetores iniciais. Veja o seguinte exemplo, em que calculamos o produto vetorial do seguinte par de vetores: $$ \overrightarrow {a}=\left( 1,2,3\right) $$ $$ \overrightarrow {b}=\left( 1,2,−1\right) $$ Esses vetores também podem ser reescritos como $$ \overrightarrow {a}=1i+2j+3k $$ $$ \overrightarrow {b}=1i+2j−1k $$ Note que não temos a informação do ângulo formado entre eles, o que torna difícil o cálculo do módulo do produto vetorial por meio da área do paralelogramo. Usaremos então o método algébrico, que consiste em calcular um simples determinante. Preenchemos da seguinte forma: Na primeira linha, escrevemos os versores i, j e k; Na segunda linha, escrevemos as coordenadas do primeiro vetor; Na terceira linha, escrevemos as coordenadas do segundo vetor. $$ D=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & −1 \end{vmatrix} $$ Calculando o determinante, obtemos a seguinte expressão: $$ D=2k−2i+3j+j−2k−6i=−8i+4j+0k $$ Esse determinante nos dá o próprio produto vetorial: $$ \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}=−8i+4j+0k $$ Observe que o produto vetorial possui três coordenadas, ou seja, está em um espaço de três dimensões, assim como os vetores iniciais. Utilizando esse método, também é possível verificar se dois vetores são paralelos. Isso ocorrerá se, e somente se, o produto vetorial for nulo, o que faz sentido, visto que o paralelogramo formado entre esses vetores terá “área nula”. Resumindo:
Propriedades do produto vetorialO produto vetorial possui propriedades que podem auxiliar nos cálculos. Veja abaixo: $$ \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}=−\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a} $$ $$ \left( k\overrightarrow {a}\right) \times \overrightarrow {b}=\overrightarrow {a}\times \left( k\overrightarrow {b}\right) $$ $$ \left( \overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\right) \times \overrightarrow {c}=\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {c}+\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c} $$ 🎯 Simulador de Notas de Corte Enem: Descubra em quais faculdades você pode entrar pelo Sisu, Prouni ou Fies 🎯 Produto mistoO produto misto nada mais é do que uma operação de produto vetorial, seguida de uma operação de produto escalar. Dessa forma, o resultado final é um escalar. Essa operação nos dá o volume do paralelepípedo formado com base em três vetores. O produto misto é representado da seguinte forma: $$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) $$ A ordem não importa - o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores será sempre o mesmo. $$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) = \overrightarrow {b}\cdot \left( \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {c}\right) = \overrightarrow {c}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}\right) $$ Exemplo Vamos calcular o produto misto dos três vetores a seguir: $$ \overrightarrow {a}=\left( 1,2,3\right) $$ $$ \overrightarrow {b}=\left( 1,−2,2\right) $$ $$ \overrightarrow {c}=\left( −1,1,2\right) $$ $$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) $$ Calculando primeiro o produto vetorial, $$ D=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & −2 & 2 \\ −1 & 1 & 2 \end{vmatrix} $$ $$ D=−6i−4j−k $$ Portanto, $$ \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}=\left( −6,−4,−1\right) $$ Fazendo o produto escalar, obtemos a resposta final: $$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right)=\left( −6,−8,−3\right) $$ 📝 Você quer garantir sua nota mil na Redação do Enem? Baixe gratuitamente o Guia Completo sobre a Redação do Enem! 📝 Exercício de fixação PUC Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se e somente se k for igual a: Para que serve o cálculo vetorial?O Cálculo vectorial possui um importante papel na geometria diferencial e no estudo de equações diferenciais parciais. Ele é extensivamente utilizado em Física e Engenharia, mais explicitamente na descrição de campos eletromagnéticos, campos gravitacionais e mecânica dos fluidos.
Qual a aplicação de vetores na física do dia a dia?1. Andando de Bicicleta. Provavelmente você já viu um para-lamas de bicicleta ou moto e sabe exatamente para que serve: impedir que a água ou lama que está no chão vá para a sua perna através da roda.
Qual é a diferença entre matricial raster é vetorial?Os dados espaciais, em SIG, têm dois formatos primários (arranjo de dados para armazenamento ou apresentação): raster/matricial e vector/vetorial. O formato matricial é baseado numa estrutura de grade de células, enquanto o formato vetorial é mais parecido com um mapa de linhas.
Quais são as características de uma grandeza vetorial?Portanto, uma grandeza vetorial se caracteriza por quatro elementos: significado físico, valor numérico (módulo), direção e sentido. É o que acontece, por exemplo, com velocidade, força, aceleração, etc.. Notamos que o significado físico é aquilo que a grandeza representa dentro da Física.
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