Observe a expressão algébrica abaixo 2 x 2 − 8 x 2 a forma fatorada dessa expressão e

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Caderno de questões comentadas 
 
Matemática – 9º ano – D24 
 
 ( Fatorar e simplificar expressões algébricas.) 
 
 
A fatoração de expressões algébricas pode ser comparada à de números naturais. Da 
mesma forma que um número natural pode ser decomposto em um produto de fatores primos 
também podemos decompor várias expressões algébricas como produto de polinômios de 
grau menor, geralmente, 1º ou 2º graus. Essa ideia comparativa pode ser utilizada pelo 
professor no início do trabalho pedagógico para facilitar a assimilação do conteúdo pelo 
aluno. 
 
Para fatorarmos uma expressão algébrica representada por um polinômio de uma ou 
duas variáveis, utilizamos algumas técnicas (ou tipos) de fatoração. A mais simples é a 
fatoração por evidência, identificando fatores comuns aos termos algébricos e os colocando 
em evidência, contudo, essa fatoração não resolve todos os casos. Outra técnica de 
fatoração, e a mais comum neste nível de ensino, é a fatoração pelo uso dos produtos 
notáveis. 
 
A simplificação de expressões algébricas é mais fácil de ser ensinada. Geralmente, 
para simplificarmos expressões algébricas, aplicamos a propriedade de potência e a 
propriedade distributiva dos números reais. Já na divisão de expressões algébricas, 
transformamos potência em fatores e cancelamos os fatores comuns ao denominador e 
numerador. 
 
 
 
 
01 - Observe a expressão algébrica na variável x abaixo. 
 
x³ - x 
 
 
Uma forma fatorada desta expressão pode ser representada por 
 
a) (x +1) . (x – 1) 
b) (x + 1)².(x - 1) 
c) x . (x +1) . (x – 1) 
d) x² . (x + 1). (x – 1) 
 
Resolução: 
 
Passo 1 
Identifique se há fatores comuns aos termos algébricos da expressão x³ - x. 
 
 x³ – x = x. x² – x. 1 
 
Mostre aos alunos que x é fator comum aos termos algébricos. 
 
Passo 2 
Coloque em evidência o fator comum. Escreva no quadro a expressão com o fator x posto em 
evidência: 
 
x³ – x = x. x² – x. 1 = x . (x² – 1) 
 
Passo 3 
 
Noticie aos alunos que na expressão surgiu o fator x² – 1, que é um polinômio de grau 2, e 
que este poderá ser fatorado em dois polinômios de grau 1, desta forma, temos que investigar. 
 
Passo 4 
 
Discuta com eles qual produto notável pode ser utilizado na fatoração da expressão x² – 1. 
Atente para a utilização do produto notável a² – b² = (a + b). (a – b). 
 
Passo 5 
 
Escreva no quadro, x² – 1 = x² – 1². 
Informe que, comparando com o produto notável a² – b² = (a + b). (a – b), x deve “assumir 
o papel” do a e 1 deve “assumir o papel” do b. A partir destas considerações, escreva no 
quadro a fatoração final: 
 
x³ – x = x. x² – x. 1 = x . (x² – 1) = x. (x + 1).(x - 1) 
 
 
Alternativa (c) . 
 
02 - Observe a expressão algébrica na variável x abaixo. 
 
x4 - x2 
 
 
Uma forma fatorada desta expressão pode ser representada por 
 
a) (x +1) . (x – 1) 
b) (x + 1)².(x - 1) 
c) x . (x +1) . (x – 1) 
d) x² . (x + 1). (x – 1) 
 
Resolução: 
 
Passo 1 
Identifique se há fatores comuns aos termos algébricos da expressão x³ - x. 
 
 x4 - x2 = x². x² – x². 1 
 
Mostre aos alunos que x² é fator comum aos termos algébricos. 
 
Passo 2 
Escreva no quadro a expressão com o fator x² posto em evidência: 
 
x4 - x2 = x². x² – x². 1 = x² . (x² – 1) 
 
Passo 3 
 
Noticie aos alunos que no desenvolvimento da expressão surgiu o fator x² – 1, polinômio de 
grau 2, e que este poderá ser fatorado em dois polinômios de grau 1, desta forma, temos 
que investigar. 
 
Passo 4 
 
Discuta com eles qual produto notável deve ser utilizado na fatoração da expressão x² – 1. 
Atente para a utilização do produto notável a² – b² = (a + b). (a – b). 
 
Passo 5 
 
Escreva no quadro, x² – 1 = x² – 1². 
Informe que, comparando com o produto notável a² – b² = (a + b). (a – b), x deve “assumir 
o papel” do a e 1 deve “assumir o papel” do b. A partir destas considerações, escreva no 
quadro a fatoração final: 
 
x4 - x2 = x². x² – x². 1 = x² . (x² – 1) = x². (x + 1).(x - 1) 
 
 
Alternativa (d) . 
 
03 - Note a expressão algébrica na variável x abaixo. 
 
 x4 - 4.x² 
 
Uma forma fatorada desta expressão pode ser representada por 
 
a) x² . (x +1) . (x – 1) 
b) x² . (x + 2). (x – 2) 
c) x4 . (x + 2) . (x – 2) 
d) x4 . (x + 4). (x – 4) 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Passo 1 
Identifique se há fatores comuns aos termos algébricos da expressão x4 - 4.x². 
 
 x4 - 4.x² = x². x² – 4.x² 
 
Mostre aos alunos que x² é fator comum aos termos algébricos. 
 
Passo 2 
Escreva no quadro a expressão com o fator x² posto em evidência: 
 
x4 - 4.x² = x². x² – 4.x² = x². (x² - 4) 
 
Passo 3 
 
Noticie aos alunos que na expressão surgiu o fator x² – 4, que é um polinômio de grau 2, e 
que este poderá ser fatorado em dois polinômios de grau 1. 
 
Passo 4 
 
Discuta com eles qual produto notável deve ser utilizado na fatoração da expressão x² – 4. 
Atente para a utilização do produto notável a² – b² = (a + b). (a – b). 
 
Passo 5 
 
Escreva no quadro, x² – 4 = x² – 2². 
Informe que, comparando com o produto notável a² – b² = (a + b). (a – b), x deve “assumir 
o papel” do a e 2 deve “assumir o papel” do b. A partir destas considerações, escreva no 
quadro a fatoração final: 
 
x4 - 4.x² = x². x² – 4.x² = x². (x² - 4) = x². (x + 2).(x - 2) 
 
 
Alternativa (b) . 
 
 
04 - Note a expressão algébrica na variável x abaixo. 
 
 
 x³ - 2.x² + x 
 
Uma forma fatorada desta expressão pode ser representada por 
 
a) x . (x - 1) 
b) x . (x - 1)² 
c) x² . (x - 1) 
d) x . (x - 1)³ 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Passo 1 
Identifique se há fatores comuns aos termos algébricos da expressão x³ - 2.x² + x. 
 
 x³ - 2.x² + x = x . x² – 2. x.x + x . 1 
 
Mostre aos alunos que x é fator comum aos termos algébricos. 
 
Passo 2 
Coloque em evidência o fator comum. Escreva no quadro a expressão com o fator x posto em 
evidência: 
 
 x³ - 2.x² + x = x . x² – 2. x . x + x . 1 = x . ( x² – 2. x + 1) 
 
Passo 3 
 
Informe aos alunos que na expressão surgiu o fator x² – 2. x + 1, polinômio de grau 2, e que 
este poderá ser fatorado em dois polinômios de grau 1, desta forma, temos que investigar 
fazendo uso dos produtos notáveis. 
 
 
Passo 4 
 
Relembre aos alunos os produtos notáveis e discuta qual deve ser utilizado na fatoração do 
polinômio x² – 2. x + 1. Neste caso, atente para a utilização do produto notável (a – b)² = 
a² – 2. a. b + b² e faça as devidas comparações ao fator x² – 2. x + 1. 
 
 
Passo 5 
 
Escreva no quadro, x² – 2. x + 1 = x² – 2. x . 1+ 1² . 
Informe que, comparando com o produto notável (a – b)² = a² – 2. a. b + b², x deve “assumir 
o papel” do a e 1 deve “assumir o papel” do b. Assim, escreva no quadro a fatoração final: 
 
x³ + 2.x² + x = x . x² – 2. x . x + x . 1 = x . ( x² – 2. x + 1) = x . (x² – 2. x. 1 + 1²) = x. (x - 1)² 
 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
05 - Note a expressão algébrica na variável x abaixo. 
 
 x³ + 4.x² + 4.x 
 
Uma forma fatorada desta expressão pode ser representada por 
 
a) (x + 4)² 
b) x . (x + 4) 
c) x² . (x + 2) 
d) x . (x + 2)² 
 
 
 
Resolução: 
 
 
Passo 1 
Identifique se há fatores comuns aos termos algébricos da expressão x³ + 4.x² + 4.x . 
 
 x³ + 4.x² + 4.x = x . x² + 4. x.x + x . 4 
 
Mostre aos alunos que x é fator comum aos termos algébricos. 
 
Passo 2 
Escreva no quadro a expressão com o fator x posto em evidência: 
 
 x³ + 4.x² + 4.x = x . x² + 4. x.x + x . 4 = x . ( x² + 4. x + 4)

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