O conjunto dos números racionais é formado por todos os elementos que podem ser escritos na forma de fração. Assim, se o número pode ser representado por uma fração, então ele é um número racional. Show Para compreender bem a definição de números racionais e todas as possibilidades que essa definição e esse conjunto numérico envolvem, é preciso lembrar da definição de fração, que será discutida a seguir. Tópicos deste artigo
O que é fração?Uma fração é uma divisão entre números inteiros, representada da seguinte maneira: a Assim, para que seja uma fração, os números “a” e “b” precisam ser inteiros e o número “b” sempre será diferente de zero. Definição formal de número racionalA partir da definição de frações, o conjunto dos números racionais pode ser representado da seguinte maneira: Nessa definição, dizemos que o conjunto dos números racionais é composto por todas as frações de “a” por “b”, em que “a” é um número inteiro e “b” é um número inteiro diferente de zero. Números que podem ser escritos na forma de fraçãoSabendo que o conjunto dos racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração, para mostrar que um número é racional, basta mostrar que existe uma maneira de escrevê-lo nessa forma. Podem ser escritos como uma fração os seguintes números: 1 – As próprias frações Qualquer fração é um número racional, pois naturalmente já está escrita na forma necessária para isso. 2 – Os números inteiros Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de fração. Para tanto, basta dividi-lo por 1, pois todo número dividido por 1 é igual a si mesmo. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) O número – 7, por exemplo, é inteiro. Para escrevê-lo na forma de fração, basta fazer: – 7 Note que todas as frações equivalentes a essa são outra forma de escrever – 7 na forma de fração. 3 – Decimais finitos Qualquer decimal finito, ou seja, que possui um número limitado de casas decimais, pode ser escrito na forma de fração. Para isso, basta lembrar que todo decimal finito é resultado de uma divisão por alguma potência de base 10. Exemplo: 2,455 é um decimal finito que possui três casas decimais. Isso significa que uma das frações equivalentes a ele possui denominador igual a 103. Essa fração é: 2,455 = 2455 Dessa maneira, elimina-se a vírgula e divide-se esse número por uma potência de base 10 e expoente igual ao número de casas decimais. 4 – Dízimas periódicas Uma dízima periódica é um decimal infinito em que existe um período, ou seja, uma repetição dentro dos decimais. Exemplo: 1,3333…. é uma dízima periódica de período 3. 1,454545… é uma dízima periódica de período 45. 0,4562626262… é uma dízima periódica de período 62 e antiperíodo 45. Uma dízima periódica sempre pode ser escrita na forma de fração. Para isso, tome o exemplo da dízima 2,565656… Perceba que o período dessa dízima é 56, ou seja, existem dois algarismos no seu período. Iguale essa dízima a x e multiplique essa equação por 102. Note que o expoente da potência de base 10 sempre será igual ao número de algarismos no período. x = 2,565656… 100x = 256,5656… Agora, subtraia a primeira equação da segunda: 100x – x = 256,5656… – 2,565656… Observe que a parte decimal a ser subtraída é igual, portanto, as partes decimais terão resultado zero nessa subtração. Logo: 99x = 256 – 2 99x = 254 Resolvendo a equação, encontraremos a fração geratriz: 99x = 254 x = 254
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