O total de anagramas da palavra certificado que começam e terminam com vogal e

Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoante?

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Princípio Fundamental da Contagem
Permutação simples e permutação com repetição
Como calcular anagrama da palavra?
Quantos são os anagramas que começam com a vogal?
Qual o número de anagramas da palavra banheiro que começam e terminam por vogal?
Quantos são os anagramas que começam por consoante e terminam por vogal?

Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso em 6 teclas (escolhidas entre as 26 existentes) num teclado de letras do computador? Entre eles consta o anagrama TECTEC?

resposta: $\,26^{\large 6}\,=\,308915776\,$, SIM.
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Com relação à palavra TEORIA:

Quantos anagramas existem?

Quantos anagramas começam por T?

Quantos anagramas começam por T e terminam com A?

Quantos anagramas começam por vogal?

Quantos anagramas têm as vogais juntas?

resposta: Resolução:
a) Cada anagrama é uma permutação das letras T, E, O, R, I, A. O número procurado é $\,P_{\large 6}\,=\,6!\,=\,720\,$
b) T _ _ _ _ _
Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I, A. O número procurado é $\,P_{\large 5}\,=\,5!\,=\,120\,$
c) T _ _ _ _ A
Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I. O número procurado é $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,=\,24\,$
d) Temos as possibilidades:

A _ _ _ _ _

$\,5!\,=\,120\,$ anagramas

E _ _ _ _ _

$\,5!\,=\,120\,$ anagramas

I _ _ _ _ _

$\,5!\,=\,120\,$ anagramas

O _ _ _ _ _

$\,5!\,=\,120\,$ anagramas

Logo, ao todo teremos 120 + 120 + 120 + 120 = 480 anagramas
e) Se as vogais A, E, I, O devem estar juntas, então elas funcionam como "uma letra" que deve ser permutada com T e R.
Logo o número de permutações é: $\,P_{\large 3}\,=\,3!\,=\,6\,$.
Mas em cada uma dessas permutações as vogais podem permutar-se (entre elas mesmas) de $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,=\,24\,$ formas. Então o número de anagramas nas condições é: $\,6\,\centerdot\,24\,=\,144\,$

Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoante?

(FEI - 1971) O número de anagramas formados com as letras da palavra república nas quais as vogais se mantém nas respectivas posições é:

Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra ORIGEM ?

Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM que começam com O ?

Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra ORIGEM que começam com vogal?

Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra ORIGEM que começam com vogal e terminam com consoante?

Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM que começam e terminam com vogal?

Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM que começam com vogal ou terminam com consoante?

Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM que possuem as letras ORI juntas, porém em qualquer ordem?

Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM em que nunca aparecem juntas duas vogais nem duas consoantes?

Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra PERERECA ?

Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra PERERECA que começam com as três letras ERE , nessa ordem.

Chama-se anagrama de uma palavra toda ordenação possível de suas letras, ainda que a “palavra” obtida não tenha sentido.

Para calcular o número de anagramas de uma palavra vamos utilizar o princípio multiplicativo e os conceitos de permutação simples e de permutação com repetição.

Princípio Fundamental da Contagem

O Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, que é um método algébrico para determinar o número total de possibilidades.

Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do experimento.

Permutação simples e permutação com repetição

Permutação simples:

A permutação é um arranjo de ordem máxima, ou seja, faz uso de todos os elementos do conjunto (p=n).

Permutação com repetição:

Assim como na permutação simples, a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, a repetição de elementos são permitidas. Podemos estabelecer, entre o número de elementos n e as vezes que um mesmo elemento aparece, na fórmula.

Exemplos:

1) Para a palavra VESTIBULAR, determine:

a) o total de anagramas.

b) o número de anagramas que começam por vogais e terminam por consoantes.

Aplicando o princípio multiplicativo, obtemos:

c) Considerar que o grupo (EST) e as demais letras (V, I, B, U, L, A, R) permutam entre si. (EST será considerada apenas uma letra)

d) Nos 40.320 anagramas do item c, as letras E, S, T podem permutar entre si. Logo, teremos:

2) Quantos anagramas podemos escrever com a palavra ACREDITO , começados com a letra A?

3) Quantos anagramas podemos escrever com a palavra MATEMÁTICA?

A palavra MATEMÁTICA possui 10 letras no total, sendo 3 letras “A”, duas letras “T” e duas letras “M”.

4) Determine quantos anagramas podemos escrever com a palavra MISSISSIPPI.

5) Quantos anagramas da palavra ARARAQUARA começam e terminam com A?

Referências bibliográficas:

1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 1. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.

2. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1989.

3. COLEÇÃO do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Vários autores. 12 volumes, 2006.

4. LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2006. 3v.

5. HAZAM, Samuel. Fundamentos de matemática elementar, 5: combinatória, probabilidade. – 8.ed. – São Paulo: Atual, 2013.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/anagramas/

Como calcular anagrama da palavra?

É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema. A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos o valor de 6! (seis fatorial).