O numero de vértices de um poliedro convexo que possui 5 faces triangulares e 1 face pentagonal e

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva

Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

(FAAP-SP)

Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

(PUC-MG)

Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

(UF-AM)

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

respostas

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

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V: vértice
A: arestas
F: faces

F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
 

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O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12 

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* F + V = A + 2
* A = V + 6

F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8

O poliedro possui 8 faces.

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P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)

F = 3*P + x*T
A = 4*x

Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3

O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
 

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Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)

Pela relação de Euler, temos:

F + V = A + 2

No problema sugerido temos que F = V, portanto:

V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12

Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
 

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A relação de Euler é uma igualdade que relaciona o número de vértices, arestas e faces em poliedros convexos. Ela diz que o número de faces mais o de vértices é igual ao número de arestas mais dois.

A relação de Euler é dada por:

Onde,
F é o número de faces,
V o número de vértices,
A o número de arestas.

Podemos utilizar a relação de Euler para determinar ou confirmar valores desconhecidos de V, F ou A, sempre que o poliedro for convexo.

Exemplo
Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices. Determine o número de arestas.

Utilizando a relação de Euler e isolando A:

Substituindo os valores de F e V:

Faces, vértices e arestas

Os poliedros são sólidos, formas geométricas de três dimensões sem lados arredondados. Estes lados são as faces (F) do poliedro.

Ao encontro das faces, damos o nome de arestas (A).

Os vértices são os pontos em que três ou mais arestas se encontram.

Poliedros convexos

Os poliedros convexos são sólidos geométricos que não apresentam concavidade, por isso, em nenhuma de suas faces há ângulos internos maiores que 180º.

Neste poliedro o ângulo interno marcado em azul possui mais de 180º, de forma que não é um poliedro convexo.

Veja mais sobre poliedros.

Exercícios sobre relação de Euler

Exercício 1

Determine o número de faces em um poliedro com 9 arestas e 6 vértices.

Ver Resposta

Resposta correta: 5 faces.

Utilizando a relação de Euler:

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5

Exercício 2

Um dodecaedro é um sólido platônico com 12 faces. Sabendo que ele possui 20 vértices, determine seu número de arestas.

Ver Resposta

Resposta correta:

Utilizando a relação de Euler:

F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A

Exercício 3

Qual o nome do poliedro com 4 vértices e 6 arestas em relação ao seu número de faces, onde as faces são triângulos?

Ver Resposta

Resposta: Tetraedro.

Precisamos determinar o seu número de faces.

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4

O poliedro que possui 4 faces na forma de triângulos se chama Tetraedro.

Quem foi Leonhard Paul Euler?

Leonhard Paul Euler (1707-1783) foi um dos mais proficientes matemáticos e físicos da história, além de contribuir com estudos sobre Astronomia. Suíço de língua alemã, foi professor de Física da Academia de Ciências de São Petersburgo e, posteriormente, de Academia de Berlim. Publicou diversos estudos sobre Matemática.

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Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Como calcular o número de vértices de um poliedro convexo?

Quantas vértices tem um poliedro convexo tem?

Quantas arestas e vértices tem um poliedro convexo?

Qual o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares uma face quadrangular uma face pentagonal e duas faces hexagonais?