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Resposta Questão 1 Primeiramente, vamos descobrir o número total de possibilidades, pois ele será usado para descobrirmos a probabilidade de obter soma 8: São dois dados com seis resultados possíveis cada. As combinações entre esses resultados podem ser calculadas multiplicando-se o número de resultados do primeiro pelo do segundo: 6·6 = 36 Também poderíamos ter escrito todas as possibilidades e contado-as, mas esse procedimento gasta mais tempo. Portanto, o número total de possibilidades de resultados é 36. Para calcular a probabilidade de sair soma 8, devemos procurar as possibilidades de obter tal soma. São elas: 2,6; 3,5; 4,4; 5,3 e 6,2 Sendo 5 o número de possibilidades de obter soma 8, divida esse número pelo número total de possibilidades de resultados: 5 = 0,14 Para transformar isso em porcentagem, basta multiplicar por 100: 0,14·100 = 14% A probabilidade de sair soma 8 é 14%. Gabarito: Letra B. Resposta Questão 2 Primeiramente, é necessário encontrar o número total de possibilidades de resultados: 2·2·2·2 = 16 Posteriormente, devemos encontrar o número de possibilidades de obter cara em todos os resultados. Na realidade, só existe uma possibilidade de que isso aconteça. Por fim, basta dividir o segundo pelo primeiro: 1 = 0,0625 Multiplicando 6,25 por 100, para obter um percentual, teremos: 6,25% Gabarito: Letra C. Resposta Questão 3 Para calcular o número de possibilidades de resultados de um experimento nesses moldes, multiplique o número de resultados possíveis de cada objeto em observação. No caso de cada moeda, 2 resultados, e de cada dado, 6 resultados: 2·2·6·6 = 4·36 = 144 Gabarito: Letra D. Resposta Questão 4 O número total de resultados que pode ser obtido no lançamento de duas moedas é encontrado multiplicando-se a quantidade de resultados da primeira moeda pela quantidade da segunda e assim por diante. Observe: 2·2·2·2·2 = 32 Portanto, são 32 possibilidades diferentes. Gabarito: Letra E. A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer. Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a medida da chance de algo acontecer. Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência. Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos. Experimento AleatórioUm experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de realizá-lo. Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso. Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará voltada para cima. Fórmula da ProbabilidadeEm um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis. Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis: Sendo: P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A. O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica. Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100. Exemplo 1 Resolução Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos: Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%. Exemplo 2 Solução Neste caso, temos 13 cartas de paus que representam o número de casos favoráveis. Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade, temos: Ou, multiplicando o resultado por 100: Ponto AmostralPonto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório. Exemplo Espaço AmostralRepresentado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos amostrais, ou , resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório. Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem este baralho. Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do símbolo do conjunto entre parênteses. Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω)=6. Espaço Amostral EquiprovávelEquiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral possui a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplo Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas. Tipos de EventosEvento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Evento certoO conjunto do evento é igual ao espaço amostral. Exemplo Evento impossívelO conjunto do evento é vazio. Exemplo O evento "tirar uma bola vermelha" é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o evento "tirar um número maior que 30", é impossível, visto que o maior número na caixa é 20. Evento complementarOs conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro. Exemplo Seja o evento A sair cara, A={cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. Juntos formam o próprio espaço amostral. Evento mutuamente exclusivoOs conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é vazia. Exemplo A: ocorrer um número menor que 5, A={1, 2, 3, 4} Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B. A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por: Onde o evento B não pode ser vazio. Exemplo de caso de probabilidade condicional Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher (evento A) dado que seja francesa (evento B). Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B). Saiba mais sobre probabilidade condicional. Análise CombinatóriaEm muitas situações, é possível descobrir de forma direta o número de eventos possíveis e favoráveis de um experimento aleatório. Entretanto, em alguns problemas, será necessário calcular esses valores. Neste caso, podemos utilizar as fórmulas de permutação, arranjo e combinação conforme a situação proposta na questão. Para saber mais sobre o tema, acesse:
Exemplo Solução Como, neste caso, a ordem dos algarismos formam números diferentes, iremos usar a fórmula de permutação. Sendo assim, temos: Eventos possíveis: Portanto, com 5 algarismos podemos encontrar 120 números diferentes. Para calcular a probabilidade, temos ainda que encontrar o número de eventos favoráveis que, neste caso, é encontrar um número divisível por 2, o que irá acontecer quando o último algarismo do número for 2 ou 4. Considerando que para a última posição temos apenas essas duas possibilidades, então teremos que permutar as outras 4 posições que formam o número, assim: Eventos favoráveis: A probabilidade será encontrada fazendo: Leia também:
Vídeo sobre ProbabilidadeExercícios ResolvidosExercício 1(PUC/RJ - 2013) Se a = 2n + 1 com n ∈ {1, 2, 3, 4}, então a probabilidade de o número a ser par é a) 1 Ver Resposta Ao substituirmos cada valor possível de n na expressão do número a, notamos que o resultado será sempre um número ímpar. Portanto, "ser um número par" é um evento impossível. Neste caso, a probabilidade é igual a zero. Alternativa: e) 0 Exercício 2(UPE - 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para a entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é Ver Resposta Primeiro, vamos encontrar o número de situações possíveis. Como a escolha das 2 pessoas não depende da ordem, iremos usar a fórmula de combinação para determinar o número de casos possíveis, ou seja: Assim, existem 45 maneiras de escolher as 2 pessoas em um grupo de 10 pessoas. Agora, precisamos calcular o número de eventos favoráveis, ou seja, as duas pessoas sorteadas quererem fazer o intercâmbio no Chile. Novamente iremos usar a fórmula de combinação: Portanto, existem 3 modos de escolher 2 pessoas entre as três que pretendem estudar no Chile. Com os valores encontrados, podemos calcular a probabilidade pedida substituindo na fórmula: Alternativa: b) Mais exercícios sobre probabilidade:
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais. Qual a probabilidade de lançar um dado duas vezes?Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6. O resultado do primeiro lance não afeta o resultado do segundo. Os dois lances – esses dois eventos – são independentes.
Qual a probabilidade de no lançamento de dois dados a soma ser 6 ou sair a mesma face nos dois lados?No lançamento dos dois dados as possibilidades de parceria entre as faces para que a soma seja 6, será: (1 e 5), (5 e 1), (2 e 4), (4 e 2), (3 e 3). No lançamento de dois dados a probabilidade de obtermos soma das faces voltadas para cima igual a 6 será de aproximadamente 13,9%.
Qual a probabilidade de se obter a soma 5 no lançamento de dois dados?Resposta verificada por especialistas
A probabilidade dá soma de os dados dar cinco é de apenas quatro em trinta e seis variáveis, em porcentagem é aproximadamente igual a 11%, isso por que as únicas combinações que dariam como soma cinco são quatro mais um e três mais dois, e elas podem se repetir duas vezes cada.
Qual a probabilidade de obtermos um número menor ou igual a 3 no lançamento de um dado?Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade. Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
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