A e b tem mesma paridade

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• O que significa ter a mesma paridade?
• Como determinar a paridade?
• O que é a paridade na matemática?
• Qual é a paridade do produto dos números naturais de 1 a 10?

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– 3y) e se a | (4x – 5y), então a | y.
 
Solução:   
Se a | (2x – 3y) então, existe o inteiro q, tal que (2x – 3y) = aq ⇒ 2(2x – 3y) = 2aq ⇒ 4x – 6y = 2aq. (I) 
Da mesma forma, se a | (4x – 5y), existe o inteiro q’, tal que (4x – 5y) = aq’. (II) 
Fazendo (II) – (I), resulta  (4x – 5y) – (4x – 6y) = aq’ – 2aq ⇒ 4x – 5y – 4y + 6y = a(q’ – 2q) ⇒ y = a(q’ – 2q). 
Como q’ e 2q são inteiros, (q’ – 2q) é inteiro. Portanto existe um inteiro, tal que y = ak ⇒ a | y.
 
12 – Sendo a e b dois inteiros quaisquer, mostrar que os inteiros a e a + 2b têm sempre a mesma paridade.
 
Solução: Se a é par, então a = 2q, q inteiro e a + 2b = 2q + 2b = 2(q + b) = 2k, k inteiro (soma de dois inteiros). Portanto:
a + 2b é par pois 2 | (a + 2b). Assim, a e a + 2b são ambos pares, isto é têm a mesma paridade. 
Se a é impar, então a = 2q + 1, q inteiro e a + 2b = 2q + 1 + 2b = 2(q + b) + 1 = 2k + 1 è a + 2b é ímpar. Portanto, a e a +
2b são ambos ímpares. Têm a mesma paridade. 
De acordo com as duas únicas situações possíveis para “a”,  a e a + 2b sempre terão a mesma paridade. Cqd.
 
13 – Sendo m e n dois inteiros quaisquer, mostrar que os inteiros m + n e m – n têm sempre a mesma paridade.
 
Solução: Três são as possíveis situações para m e n: (1) ambos pares; (b) ambos ímpares e (3) um par e um ímpar. 
(1) Ambos pares m = 2k e n = 2k’. 
     Temos então: 
         m + n = 2k + 2k’ = 2(k + k’) ⇒ m + n é par  
         m – n = 2k – 2k’ = 2(k – k’) ⇒ m – n é par
(2) Ambos ímpares m = 2k + 1 e n = 2k’ + 1 
     Temos:    
        m + n = 2k + 1 + 2k’ + 1 = 2(k + k’ + 1) ⇒ m + n é par 
        m – n = 2k – 1 + 2k’ – 1 = 2 ( k + k’ – 2) ⇒ m – n é par
(3) Um ímpar e outro par; m = 2k + 1 e n = 2k’ 
     Temos:  
        m + n = 2k + 1 + 2k’ = 2(k + k’) + 1 ⇒ m + n é ímpar. 
        m – n = 2k + 1 – 2k’ = 2(k – k’) + 1 ⇒ m – n é ímpar. 
Assim, nas três únicas situações possíveis, m + n e m – n têm a mesma paridade.Cqd.
 
14 – Determinar os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao quadrado do quociente.
 
Solução: Seja N o inteiro positivo. Pelo algoritmo da divisão e pelas condições dadas, temos: 
N = 17q + q2.  Como o resto é um quadrado perfeito e deve ser menor que 17, “q” só pode assumir um dos valores: 1,
2, 3 ou 4 pois seus quadrados são 1, 4, 9 e 16. 
Portanto, N = 17.1 + 1 = 18,   ou N = 17.2 + 4 = 38, ou N = 17.3 + 9 = 60, ou N = 17.4 + 16 = 84. 
Resposta: Os inteiros positivos são: 18, 38, 60 e 84.
 
15 – Achar inteiros “a”, “b”  e “c”  tais que a | bc mas a b  e a c.
 
Solução: Basta escolher números b e c que não sejam múltiplos de a, mas que na decomposição dos apareçam 
fatores que multiplicados resultam no valor de a. 
Eis alguns: 
6 = 2.3 . Como 6 ~|8   e 6 ~|15  , mas  em 8 aparece o fator 2 (8 = 23) e em 15 aparece o fator 3 (15 = 3.5) ,  
6 | 8.15.  Portando: a = 6, b = 8 e c = 15 satisfaz as condições. Resposta: (6, 8, 15) 
10 = 2.5.   Como  10 12  e 10 15, mas em 12 aparece o fator 2 (12 = 22.3) e em 15 tem o fator 5 (15 = 3.5), 10 |
12.15. Portando a = 10, b = 12 e c = 15, satisfaz as condições. Resposta: (10, 12, 15) 
Existem infinitas soluções.
 
16 – Verdadeiro ou falso: se a | c   e se b | c, então a | b.
 
Solução: A afirmativa é falsa pois 2 | 6  e 3 | 6  pois 2 ~|  3.
 
17 – Demonstrar:
 
(a)  Se  “a “ é um inteiro ímpar, então  24 | a(a2 – 1).
 
Solução:  Sendo a um inteiro ímpar, podemos escrever a = 2k + 1, com k inteiro. 
Assim,  a(a2 – 1) = (2k + 1)[(2k + 1)2 – 1)] = (2k + 1)[(2k + 1) + 1][(2k + 1) – 1] =  
= (2k + 1)(2k + 2)(2k) = 4k(k + 1)(2k + 1). 
Conforme foi provado no exercício 10,  k(k + 1)(2k + 1) /6 é um inteiro, então  k(k + 1)(2k + 1) = 6q. 
Portanto, a(a2 – 1) = 4.6q ⇔ a(a2 – 1) = 24q ⇔  24 | a(a2 – 1). Cqd.
(b) Se “a”  e “b”  são inteiros ímpares, então 8 | a2 – b2.
Solução:- Se “a”  e  “b”   são inteiros ímpares, então  pode-se escrever a = 2k + 1 e b = 2k’ + 1. 
Assim, a2 – b2 = (2k + 1) 2  - (2k’ + 1) 2 = (2k + 1 + 2k’ + 1)(2k + 1 – 2k’ – 1) =  
= (2k + 2k’ + 2)(2k – 2k’) = 2(k + k’ + 1).2(k – k’) = 4(k + k’ + 1)(k – k’). 
Se k – k’ é par , teremos:  a2 – b2 = 4(k + k’ + 1)2.q = 8q(k + k’ + 1) Û  8 | a2 – b2. 
Se k – k’ é ímpar, então k + k’ também é ímpar, conforme foi demonstrado no exercício 13.
Se k + k’ é ímpar, k + k’ + 1 é par.  Em conseqüência:  a2 – b2 =4.2q(k – k’) ⇔ a2 – b2 = 8q(k – k’) ⇔  8 | (a2 – b2).
 
19 – Na divisão do inteiro a = 427 por um inteiro positivo “b”, o quociente é 12 e o resto é r. Achar o divisor “b” e o
resto “r”.
 
Solução: Pelo algoritmo da divisão temos:  427 = 12b + r . 
Dividindo 427 por 12 resulta:  427 = 12.35 + 7 è uma das soluções é b = 35 e r = 7. 
Outros valores para q são inferiores a 35, pois 12 x 36 = 432. 
Assim, 427 = 12.34 + 19, com b = 34 e r = 19 
         427 = 12.33 + 31, com b = 33 e r = 31 
Como 427 : 32 é maior que 12, as únicas soluções são b = 35 e r = 7; b = 34 e r = 19; b = 33 e r = 31 .
 
20 – Na divisão do inteiro 525 por um inteiro positivo o resto é 27. Achar os inteiros que podem ser o divisor e o
quociente.
 
Solução: Como o resto é 27, 525 – 27 = 498 é múltiplo do quociente e do divisor, sendo que o divisor é maior 27. 
Os divisores de 498 são: 1, 2,  3, 6, 83, 166, 249 e 498. Portanto, os possíveis valores do divisor são: 498, 249, 166 e
83. Nestes casos, os quocientes são, respectivamente: 1, 2, 3, e 6. 
Resposta: (divisor, quociente) = (498, 1), (249, 2), (166, 3), (83, 6).
 
21 – Na divisão de dois inteiros positivos o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Achar os dois inteiros,
sabendo-se que sua soma é 341.
 
Solução: Sejam A, o dividendo e B o quociente. Como o resto é o maior possível, esse resto é B – 1. 
Pelo algoritmo da divisão, temos: A = 16B + B – 1 è A = 17B – 1. 
Como A + B = 341,  podemos escrever 17B – 1 + B = 341 è 18 B = 342 è B = 19. 
O valor de A, é então:  341 – B = 341 – 19 = 322. 
Resposta: os dois números são 322 e 19.
 
22 – Achar os inteiros positivos menores que 150 e que divididos por 39 deixam um resto igual ao quociente.
 
Solução: Pelo algoritmo da divisão:  A = 39q + q è A = 40q è A é múltiplo de 40. Como deve ser menor que 150,  os
possíveis valores desses inteiros positivos são: 40, 80 e 120. 
Resposta: 40, 80 e 120.
 
23 – Seja d um divisor de n  (d | n). Mostrar que cd | n se e somente se c | (n/d).
 
Solução: 
Como d | n  então existe q, tal que n = qd  ou n/d = q. (1) 
Se cd | n è n = cdq’ .  Usando a condição ( 1), conclui-se que   qd = cdq’ è  q = cq’  è n/d = cq’ è c | (n/d). 
De outro lado se c |(n/d) então n/d = cq è n = dcq è n = dc(q) è cd | n. 
Como de cd | n  è c | (n/d) e   c | (n/d) è cd | n, podemos concluir  cd | n    Û  c | (n/d)  ou cd | n se e somente se c |
(n/d). Cqd.
 
24 – Sejam n, r e s inteiros tais que 0 < r < n  e 0 < s < n. Mostrar que se n | (r – s) então r = s.
 
Solução: 
Se   n > r e s > 0 então n + r > s è n > s - r 
Se   n > s e r > 0 então n + s > r è n > r – s. 
Como s – r = - (r – s), temos |(s – r)| = s – r ou r – s. 
Como n | (r – s) è n | |r – s| è nq = |r – s| è existe “q”  positivo ou nulo tal que nq  = |r – s| (1) 
Mas, nq = |r – s| < n è nq < n è q é negativo ou nulo (2). 
Como que não pode ser negativo e positivo, q somente pode ser nulo è |r – s| = nq = 0 è r – s = 0 è r = s. Cqd.
 
25 – Mostrar que o produto de dois inteiros ímpares é um inteiro ímpar.
 
Solução: 
Se a e b são ímpares, então a = 2k + 1 e b = 2k’ + 1. 
Assim,  a . b = (2k + 1)(2k’ + 1) = 4kk’ + 2k’ + 2k + 1 è a . b = 2(2kk’ + k’ + k) + 1 ou seja, a . b = 2q + 1 è a . b é ímpar.
Cqd.
 
26 – Demonstrar que se m e n são inteiros ímpares, então 8 | (m4 + n4 – 2).
 
Solução: se m e n são ímpares, podemos escrever:  m = 2k + 1 e n = 2k’ + 1. 
Temos então: 
m4 + n4  - 2 = (2k + 1)4 + (2k’ + 1)4 – 2 = [(2k)4 + 4(2k)3 + 6(2k)2 + 4(2k) + 1] + [(2k’)4 + 4(2k')3 + 6(2k’)2 + 4(2k’)+1] –
2 = 16(k4 + k’4) + 32(k3 – k’3) + 24(k2 + k’2) + 8(k + k’) + 2 – 2 = 8[2(k4 + k’4) + 4(k3 – k’3) + 3(k2 + k’2) + (k + k’)]. 
Como 2(k4 + k’4)

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