A balança esta equilbrada cada garrafas tem o mesmo peso

Desenvolvendo nosso pensamento investigativo e matemático através de desafios matemáticos.

Você conhece o mecanismo de pesagem que era utilizado antes de inventarem a balança controlada por pesos e a balança digital? Trata-se de uma balança constituída por dois pratos, de modo que você pode comparar o peso de dois objetos, um em cada prato.

O mecanismo dessa balança funciona da seguinte forma: caso você ponha um objeto no prato da esquerda que seja mais pesado que o objeto do prato da direita, o lado esquerdo ficará mais baixo que o lado da direita. Caso os objetos sejam de pesos iguais, a balança ficará em equilíbrio, ou seja, não haverá nenhum movimento dos pratos.

Sabendo disso, resolva o desafio que Pedrinho enfrentou.

Pedrinho estava passeando no shopping quando avistou uma promoção que dizia “Resolva o desafio da balança e ganhe um videogame novinho.” Pedrinho, que era um aluno muito esperto e dedicado, logo decidiu ver qual era o desafio para tentar ganhar o videogame.

A única informação que temos é que uma destas bolas é mais leve que as demais. O grande desafio está em conseguir descobrir qual bola é a mais leve, pesando-as apenas duas vezes.

Tente resolver esse desafio sem ter medo de errar, pois você só irá entender como ele é resolvido, tentando.

Como são dois pratos, vamos separar as bolinhas em dois grupos: o primeiro com seis bolas, e o segundo com duas.

Grupo 1:

Grupo 2:

Para prosseguir o desafio, deveremos trabalhar com hipóteses, afinal não estamos de fato testando as bolinhas na balança, por isso, use toda a sua imaginação.

Pese o primeiro grupo.

Ao pesar o primeiro grupo, duas situações poderão acontecer:

1) Todas as bolas terão o mesmo peso;

2) Um dos pratos ficará mais alto, ou seja, os objetos daquele prato são mais leves do que os do outro prato.

Então devemos estudar cada caso, lembrando que podemos pesá-las somente mais uma vez.

1º Caso: As bolas do Primeiro Grupo são todas de mesmo peso.

Se isso acontecer, nos restam duas bolas, as bolas do segundo grupo. Com toda certeza uma destas bolas será a mais leve, afinal, a única informação que temos é a de que existe uma bola mais leve.

Como ainda temos o direito de pesar mais uma vez, colocaremos cada uma das bolas nos pratos e pesaremos, com certeza um dos pratos ficará mais alto e esta será a bola mais leve.

2º Caso: Um dos pratos fica mais alto

Caso um dos pratos fique mais leve, sabemos que uma das três bolinhas daquele prato é a que nós queremos encontrar. Podemos pesar somente mais uma vez, então pegaremos duas destas três bolas e compararemos o peso delas. Novamente podem acontecer duas coisas.

1) As bolas têm pesos iguais.

Se isso acontecer quer dizer que a bolinha que ficou de fora é a bola mais leve. Afinal, uma das três bolinhas é a mais leve.

2) Um dos pratos fica mais alto.

O prato que ficar mais alto demonstra que a bolinha mais leve é a bola que está neste prato.

Veja que só pesamos duas vezes, a única coisa que tivemos que fazer foi separar os possíveis acontecimentos.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Escola Kids

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

Observe a figura a seguir e leia atentamente as informações dadas.

• Uma garrafa e um copo têm o mesmo peso de uma jarra (a).
• Uma garrafa tem o peso equivalente ao de um prato e um copo (b).
• Três pratos têm o mesmo peso de duas jarras (c).

Com essas informações, quantos copos têm o peso equivalente ao de uma garrafa?
Observação: Ao mencionar um objeto no plural, copos, por exemplo, fica implícito que são objetos idênticos e de mesmo peso.

Solução 1

A partir da figura, podemos elaborar três equações:

(a) garrafa+copo= jarra
(b) garrafa= prato + copo
(c) 3 pratos=2 jarras

Inicialmente, se multiplicarmos a equação (b) por 3, podemos substituir a incógnita “prato” da equação (c). Assim

• 3 garrafas = 3 pratos + 3 copos.

Substituindo 3 pratos por 2 jarras, temos:

• 3 garrafas = 2 jarras + 3 copos.

Se multiplicarmos a equação (a) por 2, temos

• 2 jarras = 2 garrafas + 2 copos.

Logo

• 3 garrafas = 2 garrafas + 2 copos + 3 copos.

Portanto, uma garrafa equivale a cinco copos.

Solução elaborada pelo COM Provoc, com contribuições dos Moderadores do Blog.

Solução 2

Da informação (b), uma garrafa tem o mesmo peso de um prato e um copo. Assim, se adicionarmos um copo em cada prato da balança o equilíbrio continua e, portanto,

• uma garrafa e um copo equivalem, em peso, a dois copos e um prato.       (d).

Comparando (a) e (d) podemos concluir que

• uma jarra tem o peso de um prato e dois copos.

Como duas jarras equivalem a três pratos (c), então

• três pratos pesam o mesmo que dois pratos e quatro copos       (e).

Se de (e) removermos dois pratos de cada lado da balança, teremos

• um prato pesando o mesmo que quatro copos.       (f)

Se de (b) temos que uma garrafa pesa o mesmo que um copo e um prato e de (f) que um prato pesa o mesmo que quatro copos, então concluímos que uma garrafa pesa o mesmo que cinco copos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube Provoc.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-quanto-pesa-a-garrafa/

Quando a balança está equilibrada?

Qual equação determina o peso de cada melancia?