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Ped ro He nri que Xa vier 1- A sequência 2x-1, x+4, 4x-3 é uma p.a, Qual é valor de x? a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 6 2- Dada a p.a(-10,-8,-6,...), diga a/ razão e o sétimo termo: a) 5 e 5 b) 8 e 8 c) 3 e 3 d) 2 e 2 e) 4 e 4 3- (UNICAMP-2015) Se (a1, a2,...,a13) é uma progressão aritmética (p.a), cuja soma dos termos é igual a 78, então a7 é igual a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 4- Dada a p.a(2,6,10,...), Qual é a razão, o 5• termo e o 10• termo? a) 4, 18 e 38 b) 5, 19 e 39 c) 8, 22 e 36 d) 2, 10 e 28 e) 1, 5 e 54 5- Dada a p.a(-5,-3,-1,...), determine o 7• termo e o 9• termo: a) 7 e 10 b) 12 e 6 c) 7 e 12 d) 6 e 10 e) 7 e 11 6- A soma dos 10 primeiros termos de uma p.a de termo inicial igual a 4, e razão igual a 3? Qual é o valor da soma dos 10 primeiros termos? a) 120 b) 150 c) 155 d) 175 e) 180 Q U E S T Õ E S R E S O L V I D A S S O B R E P R O G R E S S Ã O A R I T M É T I C A 10- Em uma fábrica de motocicletas, tem sua produção organizadas de modo que, no primeiro dia do mês, fabricou 15 motos, no segundo dia 32, no terceiro 49 e assim até o 15• dia do mês. O número de motocicletas produzidas nesses 15 dias, foram? a) 2000 motocicletas b) 2010 motocicletas c) 2015 motocicletas d) 2020 motocicletas e) 1999 motocicletas 7- Dada a p.a(-12,-8,...), a soma de seus quatros primeiros termos é? a) -24 b) 24 c) 32 d) -32 e) 36 8- Um auditório tem suas cadeiras organizadas de modo que, na primeira fila são dispostas 8 cadeiras, na segunda fila 10, na terceira 12, na quarta 14 e assim, seguindo até a 20• fila. O número de cadeiras dispostas nesse auditório é? a) 540 cadeiras b) 520 cadeiras c) 500 cadeiras d) 480 cadeiras e) 460 cadeiras
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63 UNIDADE IX “São todas as sequencias numéricas cujo cada ter- mo a partir do segundo (a2) é igual ao anterior soma- do à uma constante (r)” Ex.: Seja um digitador que monta uma meta para um de seus trabalhos. No primeiro dia ele irá digitar 20 linhas e em cada dia ele vai aumentando 5 linhas com relação ao dia anterior, quantas linhas ele escreveu so- mente no 8º dia? 1º dia 2º dia 3º dia 4º dia 5º dia 6º dia 7º dia 8º dia 20 l 25 l 30 l 35 l 40 l 45 l 50 l 55l Podemos afirmar que a constante que é somada a cada termo é 5, ou seja, r = 5 1º dia 2º dia 3º dia 4º dia 5º dia 6º dia 7º dia 8º dia a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 Repare que: a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r a5 = a4 + r, a6 = a5 + r, a7 = a6 + r a8 = a7 + r Escrevendo os termos em função de a1, temos: a2 = a1 + r, a3 = a1 + 2r, a4 = a1 + 3r a5 = a1 + 4r, a6 = a1 + 5r, a7 = a1 + 6r a8 = a1 + 7r Ou seja, se quisermos escrever um termo qualquer de uma progressão aritmética em função de a1, temos: an = a1 + (n – 1) . r Tipos de PA: (i) Crescente: r > 0 (ii) Decrescente: r < 0 (iii) Constante: r = 0 Questão Resolvida: Seja a PA (1, 6, 11, ...), dessa forma, a posição do termo 96 ocupa a ____ posição: a) 9ª b) 8ª c) 11ª d) 13ª e) 20ª RESOLUÇÃO: an = a1 + (n – 1) . r 96 = 1 + (n – 1) . 5 95 = (n – 1) . 5 (n – 1) - 19 ∴ n = 20 Gabarito: e) Questão 1: Seja a sequência (2, 5, 8, ...). Determi- ne o termo de posição 500 da progressão: a) 1.500 b) 1.499 c) 1.400 d) 1.399 e) 1.300 Questão 2: Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é – 6, a posição ocupada pelo elemento – 13 é: a) 8a d) 5a b) 7a e) 4a c) 6a Questão 3: Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000? a) 99 b) 100 c) 108 d) 154 e) 999 Progressão Aritmética (PA) UNIDADE IX | PrOgrESSãO AritmétiCA (PA) MATEMÁTICA64 Questão 4: O gráfico, obtido a partir de dados do ministério do meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaça- das de extinção. Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a: a) 465 b) 493 c) 498 d) 538 e) 699 Exercício Resolvido: Seja uma progressão aritmé- tica cujo terceiro termo é igual a 9 e razão igual a 2, determine o valor do 10º termo. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 RESOLUÇÃO: 1ª: a3 = a1 + (3 – 1)r 9 = a1 + 2.2 ∴ a1 = 5 a10 = a1 + (10 – 1)r a10 = 5 + 9.2 = 23 2ª: termo genérico da P.A. Seja um termo de posição “k” tal que k ≠ 1, se quisermos descobrir um termo de posição “n” basta fazermos o seguinte: an = ak + (n – k)r Aplicando na questão: a10 = a3 + (10 – 3)r a10 = 9 + 7.2 = 23 Gabarito: d) Questão 5: Seja uma PA cujo quinto termo vale – 10 e a razão vale 4, então, podemos afirmar que seu 9º termo é igual a: a) 3 b) 6 c) – 3 d) – 6 e) 1 Obs.: Notação especial para PA de quantidade ím- par de elementos. Sempre colocamos os demais termos em função do termo central: 3 termos: (a1, a2, a3) = (a2 – r, a2, a2 + r) 5 termos: (a1, a2, a3, a4, a5) = (a3 – 2r, a3 – r, a3, a3 + r, a3 + 2r) Questão 6: Seja uma PA de 5 termos cuja soma de seus termos é igual a 60, podemos afirmar que seu terceiro termo é igual a: a) 20 d) 6 b) 18 e) 4 c) 12 Questão 7: Seja uma progressão aritmética de 9 termos, se a soma desses é igual a 45 e a sua razão é igual a 3, determine o valor do sétimo termo: a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e) 17 PrOgrESSãO AritmétiCA (PA) | UNIDADE IX MATEMÁTICA 65 Termo central “Seja um termo qualquer de uma PA, ele será igual a média aritmética dos termos extremos a ele.” Ex.: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... 10 = 14 = ⫶ Exercício Resolvido: Seja uma PA cujo a5 = 7 e a9 = 13, dessa forma, o valor de a7 é igual a: a) 7/3 b) 10 c) 15 d) 22 e) 30 RESOLUÇÃO: repare que a7 é equidistante de a5 e a9, já que a5 = a7–2 e a9 = a7+2 Logo: Gabarito: b) Questão 8: A razão da PA (x, 2x + 5, 31) é igual a: a) 7 d) 12 b) 9 e) 15 c) 11 Questão 9: Se (a1, a2 ,..., a13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é igual a 78, então a7 é igual a a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8 Soma dos Termos de uma PA: Exercício Resolvido: Qual a soma dos 200 pri- meiros números pares não nulos? a) 40200 b) 80400 c) 60300 d) 50500 e) 70700 RESOLUÇÃO: a1 = 2, r = 2 a200 = 2 + 199.2 = 400 = Gabarito: a) Questão 10: temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a: a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 Questão 11: Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1 – a , – a , . O quarto termo desta P.A. é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Questão 12: A soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 pri- meiros é 258, então, o 1º termo e a razão são respec- tivamente: UNIDADE IX | PrOgrESSãO AritmétiCA (PA) MATEMÁTICA66 a) 3 e 5. b) 5 e 3. c) 3 e – 5. d) – 5 e 3. e) 6 e 5. Questão 13: Numa progressão aritmética de pri- meiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. O valor de n é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Questão 14: Numa progressão Aritmética de nove termos, a soma dos dois primeiros termos é igual a 20 e a soma do sétimo e oitavo termos é 140. A soma de todos os termos desta PA é: a) 405 b) 435 c) 320 d) 395 e) 370 Questão 15: Na PA decrescente (18, 15, 12, 9, …), o termo igual a -51 ocupa a posição: a) 30 b) 26 c) 24 d) 18 e) 15 Questão 16: A soma dos 10 primeiros termos de uma PA, cujo termo geral é dado pela expressão ak = 3k – 16, a) 5 b) 14 c) 18 d) – 6 e) 7 Questão 17: O número mínimo de termos que deve ter a PA (73, 69, 65, …) para que a soma de seus termos seja negativa é a) 18 b) 19 c) 20 d) 37 e) 38 Questão 18: Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a a) 15. b) 21. c) 25. d) 29. e) 35. Questão 19: Em um treinamento de condicio- namento físico, um soldado inicia seu primeiro dia correu 800 m. No dia seguinte correu 850 m. No terceiro 900 m e assim sucessivamente até atingir a meta diária de 2.200 m. Ao final de quantos dias, ele terá alcançado a meta? a) 31 b) 29 c) 27 d) 25 e) 23 Questão 20: inscrevendo-se nove meios aritméti- cos entre 15 e 45, obtém-se uma PA cujo sexto termo é: a) 25 b) 30 c) 33 d) 42 e) 48 Questão 21: Os números que expressam as me- didas, em cm ou em cm², do lado, da superfície e do perímetro de um quadrado, dados nessa ordem, for- mam uma PA. O lado desse quadrado, em cm, mede: PrOgrESSãO AritmétiCA (PA) | UNIDADE IX MATEMÁTICA 67 a) 5/2 b) 5/3 c) ¾ d) 3/2 e) 5/7 Questão 22: Em uma PA a8 + a19 + a24 = 97 e a3 + a10 + a15 =-18, então a razão dessa progressão é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Questão 23: As somas dos n primeiros termos das sequências aritméticas (8,12,...) e (17,19,...) são iguais. Então, n vale: a) 18 b) 16 c) 14 d) 10 e) 12 Questão 24 Em uma PA cuja razão é igual ao seu primeiro termo, tem-se a3 + a7 = 5. Assim, a razão dessa PA é: a) 0,5. b) 2,5. c) 2. d) 1. Questão 25: Quantos meios aritméticos devemos inserir entre 8 e 89 de modo que a sequência obtida tenha razão 3? a) 16 b) 44 c) 26 d) 51 e) 68 GABARITO 1: b) 2: b) 3: b) 4: c) 5: b) 6: c) 7: c) 8: d) 9: a) 10: d) 11: b) 12: b) 13: a) 14: a) 15: c) 16: a) 17: e) 18: c) 19: b) 20: b) 21: a) 22: e) 23: d) 24: a) 25: c)