Há dois tipos de fenômenos que são objeto de estudo científico: os fenômenos determinísticos e os fenômenos aleatórios. Show
Em um experimento determinístico, os resultados possíveis são previsíveis antecipadamente. Conhecemos as leis que os governam a ponto de afirmarmos que que tais experimentos, repetidos nas mesmas condições, apresentam sempre os mesmos resultados. Podemos citar, como exemplo, a queda livre, que é um movimento no qual os corpos quando abandonados de certa altura são acelerados pela força da gravidade em direção ao solo. Já em um fenômeno aleatório, os experimentos correspondentes, repetidos nas mesmas condições, não necessariamente produzem os mesmos resultados. Apesar de não conseguirmos prever antecipadamente qual resultado será obtido, em geral, somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis para esses experimentos. Conteúdo deste artigo
Conceitos básicosVamos começar apresentando alguns experimentos:
O que os experimentos acima têm em comum?
Experimento aleatórioÉ qualquer experimento cujo resultado não se consegue prever. Foto: Joannii / Shutterstock.com Ainda que repetido em condições iguais ou muito semelhantes, um mesmo experimento aleatório pode apresentar resultados diferentes. Espaço amostralEspaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em geral utilizamos a letra grega maiúscula Ω (lê-se ômega) para representar o espaço amostral de um experimento aleatório. 1. Lançamento de uma moeda Ω = {cara, coroa} = {c, k} 2. Lançamento de um dado (cubo) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3. Sorteio de uma carta de baralho Ω = {copas, paus, ouros, espadas} EventoEvento é um subconjunto qualquer do espaço amostral. Exemplo: Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e se observa o número indicado. Descrever os seguintes conjuntos:
Solução:
União e interseção de eventosA união de dois eventos A e B, denotada por A ∪ B, representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. A interseção do evento A com B, denotada por A ∩ B, é a ocorrência simultânea de A e B. Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A ∩ B = Ø. Exemplo: Em uma cidade onde se publicaram três jornais, A, B e C, constatou-se que, entre 1.000 famílias, assinam A: 470; B: 420; C: 315; A e B: 110; A e C: 220; B e C: 140; e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela:
Solução: De acordo com o diagrama ao lado, temos: a) 190 famílias → 190/1000 = 19% de probabilidade b) 215 + 245 + 30 = 490 → 490/1000 = 49% de probabilidade c) 145 + 35 + 65 + 75 = 320 → 320/1000 = 32% de probabilidade Eventos complementaresDizemos que A e B são complementares se sua união é o espaço amostral e sua interseção é vazia. O complementar de A será representado por AC e temos A ∪ AC = Ω e A ∩ AC = Ø. Exemplo: Em certo teste da loteria esportiva, temos que a probabilidade de ocorrer a coluna 1 é de 39% e de ocorrer a coluna 3 é 23%. Calcular a probabilidade de, nesse mesmo jogo, ocorrer a coluna 2, sabendo que só há 3 colunas. Resolução: O experimento consiste em três eventos:
Temos que P(A) + P(B) + P(C) = 100% Logo: 39% + P(B) + 23% = 100% P(B) = 100% - 62% = 38% Eventos independentes e eventos dependentesDois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Dois eventos são dependentes quando a ocorrência ou não ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento. Eventos com reposição e eventos sem reposiçãoCom reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de origem. É isso que mantém a probabilidade de sorteio constante, portanto, não se altera a probabilidade de sorteio de evento seguinte. Sem reposição significa o não retorno do evento sorteado ou do seu conjunto de origem, alterando a probabilidade de sorteio do evento. Definição clássica para probabilidadeQuando todos os elementos do espaço amostral têm a mesma probabilidade de ocorrer, a definição clássica de probabilidade e um evento A ocorrer é dada por: Exercícios resolvidos1) Qual a probabilidade de, ao lançarmos um dado, obtermos o número 2? Resolução: O espaço amostral é S={1,2,3,4,5,6} Logo, o número de casos possíveis é 6. Já o evento considerado é formado apenas pelo número 2, ou seja, E={2}, então, o número de casos favoráveis é 1. Portanto: Probabilidade condicionalSe a probabilidade de ocorrência de um evento B interfere na probabilidade de ocorrência de um evento A, então dizemos que a probabilidade de A está condicionada à probabilidade de B e representamos por P(A/B). Lê-se: probabilidade de A dado B. A/B significa a ocorrência do evento A sabendo que o evento B já ocorreu ou que a ocorrência de B esteja garantida (os eventos A e B são dependentes). Exercícios resolvidos1) Foi feita uma pesquisa de mercado sobre o uso de dois perfumes cujas marcas representaremos por A e B.O quadro a seguir mostra os resultados dessa pesquisa, indicando quantos homens (M) e quantas mulheres (F) usam cada perfume. A) Qual probabilidade a escolhendo-se uma dessas pessoas ao acaso, ela ser usuário do perfume B? B) Escolhendo-se uma dessas pessoas ao acaso, qual a probabilidade de ela ser mulher, sabendo-se que se trata de uma usuária do perfume A? C) Qual a probabilidade de essa pessoa ser usuária do perfume A, sabendo-se que é uma mulher? Resolução: A) Temos, no total, 120 pessoas e, dessas pessoas, 70 são usuárias do perfume B. Logo ou . B) Queremos calcular P(F/A). Nosso novo espaço amostral reduzido é A, e ele tem 50 elementos. Nesse novo espaço, temos 20 mulheres. Logo: ou ou 40%. C) Queremos calcular P(A/F). O novo espaço amostral é F e tem 80 elementos. Nesse espaço o número de pessoas que usam o perfume A é 20. Portanto: ou ou 25%. 2) Em certa linha de montagem, três máquinas B1, B2 e B3 produzem 30%, 45% e 25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiências anteriores, que 2%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada máquina são, respectivamente, defeituosos. Agora, suponha que um produto, já acabado, seja selecionado aleatoriamente. A) Qual a probabilidade do produto selecionado seja defeituoso? B) Sabendo-se que o produto é defeituoso, qual é a probabilidade de que tal produto tenha sido fabricado pela máquina B1? Probabilidade de eventos independentesDois eventos, A e B, são chamados independentes quando a probabilidade de ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro, ou seja: P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A) Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A e B será: P(A ∩ B) = P(A) x P(B) Exemplo: um grupo de pessoas é formado por 7 mulheres e 12 homens. Escolhe-se, ao acaso, duas dessas pessoas, uma após a outra. Calcular a probabilidade de: A) A primeira pessoa ser uma mulher e a segunda um homem. B) As duas pessoas serem homens. Resolução: A) Seja A o evento A={a primeira pessoa escolhida é mulher} e B={a segunda pessoa escolhida é homem}. Queremos calcular P(A ∩ B). Como P(A ∩ B) = P(A) . P(A/B), temos P(A ∩ B) = . B) A probabilidade da primeira pessoa escolhida ser homem é 12/19. Já a probabilidade de a segunda pessoa escolhida ser homem, dado que a primeira foi homem, é 11/18. Logo, a resposta final será . Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/probabilidade/ Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menosuma dessas Universidades é de: Qual a probabilidade de obter um número ímpar voltado para cima?Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima? Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances. Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.
Qual a probabilidade de jogar um dado é cair um número ímpar?Número ímpar: 1, 3, 5. Nas duas situações temos a chance igual de 3 em 6, isto é, 50% de chance de sair um número par e 50% de chance de sair um número ímpar. Várias outras situações podem ser propostas com uso de dados, como o lançamento de dois dados ou mais.
Qual é a probabilidade de no lançamento de um dado sair um número ímpar ou um número menor que 3?Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade. Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
Qual é a probabilidade de sair um número par no dado?50% de probabilidade de obter um número par em cada jogada.
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