Qual é a probabilidade de tirarmos uma bola branca em uma urna com 10 bolas brancas é 20 bolas vermelhas?

Na igualdade anterior, se dividirmos numerador e denominador por , teremos: 

,

Assim, podemos também calcular a probabilidade condicional através da fórmula:

, desde que .

Concluímos então, que temos duas maneiras de calcular a probabilidade condicional  P(A/B).

É importante salientar que, em geral, resolveremos os problemas de probabilidade condicional sem preocupação com fórmulas novas, e sim usando o conceito inicial de probabilidade, com o devido cuidado em designar o conjunto que cumprirá o papel de espaço amostral.

Exercícios Resolvidos

1) Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo com a tabela abaixo:

Uma pessoa é escolhida ao acaso, calcule a probabilidade de que ela seja solteira, sabendo que ela é do sexo masculino.

Resolução:

Considere os seguintes eventos:

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S = conjunto das pessoas solteiras

M = conjuntos das pessoas do sexo masculino

Estamos interessados em calcular a probabilidade do evento S ocorrer, sabendo que o evento M já aconteceu. Isto é, escolhendo-se um homem ao acaso, qual a probabilidade de ele ser solteiro?

Nesse caso, o conjunto das pessoas do sexo masculino passa a ser nosso novo espaço amostral. Pela tabela temos .

Estamos interessados no evento, homem e solteiro. Como existem 10 homens solteiros, .

Assim, a probabilidade pedida será

2) Um grupo de 30 pessoas é classificado de acordo com o sexo e a cor dos olhos, de acordo com a tabela.

Uma pessoa é escolhida ao acaso, calcule a probabilidade de:

A) ser do sexo masculino;

B) ser do sexo masculino, sabendo que tem olhos azuis.

Resolução:

M = conjunto das pessoas do sexo masculino

A = conjuntos das pessoas com olhos azuis

A) a probabilidade de ser do sexo masculino é imediata,

B) Estamos interessados em calcular a probabilidade do evento M ocorrer, sabendo que o evento A já aconteceu. Isto é, escolhendo-se uma pessoa de olhos azuis ao acaso, qual a probabilidade de ser homem?

Nesse caso, o conjunto das pessoas de olhos azuis passa a ser nosso novo espaço amostral. Pela tabela temos .

Estamos interessados no evento, homem com olhos azuis. Como existe apenas 1 homem com olhos azuis, .

Assim, a probabilidade pedida será .

EVENTOS INDEPENDENTES

Sejam   e    dois eventos de um espaço amostral finito e não vazio. Dizemos que  e  são eventos independentes quando a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro.

Nesse caso, . Além disso, teremos também que .

Observação:

Quando a ocorrência do evento B, influenciar na ocorrência do evento A, diremos que A  depende do B. Em símbolos, se A depende do B, teremos .

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Uma importante ferramenta que surge como consequência imediata da probabilidade condicional é a multiplicação de probabilidades.

Considere A e B dois eventos não vazios, de um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio. Temos que:

Dessa forma, a probabilidade de dois eventos e ocorrerem simultaneamente, é produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que o primeiro já ocorreu.

Com base nisso, podemos provar que:

A e B são eventos independentes se, e somente se, .

Demonstração:

De fato, suponha e  são eventos independentes. Então .

Aplicando na multiplicação de probabilidades, temos:

, em que 

Concluímos assim que, se   e   são eventos independentes, então 

Por outro lado, suponha agora que  

Da multiplicação de probabilidades, sabemos que 

Logo, de e temos que , o que equivale a dizer que , sendo assim    e    são eventos independentes.

Como queríamos demonstrar.

Observação

Quando P(A  B) ≠ P(A) . P(B) diremos que os eventos são dependentes.

Exercício resolvido

1) Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, determine a probabilidade das duas serem brancas, se as bolas tiverem sido retiradas com reposição.

Resolução:

A probabilidade da 1a bola ser branca é . Como houve reposição da bola, a probabilidade da 2a bola ser branca também vale . Para calcularmos a probabilidade da 1a branca e 2a branca, pela multiplicação de probabilidades, teremos:

Repare que o 1o evento não influenciou a probabilidade do 2o evento, logo, são eventos independentes.

2) Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, determine a probabilidade das duas serem brancas, se as bolas tiverem sido retiradas sem reposição.

Resolução:

A probabilidade da 1a bola ser branca é . Neste caso, não ocorre reposição. Como já retiramos uma bola da urna, agora ela só tem 6 bolas na urna. Como a 1a bola retirada era branca, agora só temos 3 bolas brancas na urna, logo, a probabilidade da 2a ser branca é .

3) Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, sucessivamente e sem reposição, calcule a probabilidade de as bolas possuírem cores diferentes.

Resolução:

Se as duas bolas terão cores diferentes, então uma será branca e a outra será preta. Como iremos retirar duas bolas sucessivamente e sem reposição, temos dois casos a considerar:

1a bola branca e a 2ª bola preta:  

1a bola preta e a 2ª bola branca:  

Assim, a probabilidade pedida é  

Qual a probabilidade de tirarmos ao acaso uma bola branca em uma urna com 10 bolas brancas 20 bolas vermelhas 5 bolas amarelas é 15 bolas pretas?

Qual é a probabilidade de tirar uma bola vermelha?

Qual é a probabilidade de sorteio de uma bola que não seja branca em uma urna que contém seis bolas brancas duas azuis é quatro amarelas?

Qual é a probabilidade da segunda bola ser branca?