Qual a relação em um triângulo entre a medida do ângulo externo é os dois ângulos internos não adjacentes à ele?

Os triângulos são polígonos formados por três lados. Dentro do conjunto de todos os polígonos, os triângulos são os mais simples, por apresentarem menos lados, mas possuem propriedades e características complexas. Uma delas se refere à soma de seus ângulos internos, que é sempre igual a 180º, independentemente do formato do triângulo, de seu tamanho ou de qualquer outra característica.

Sendo assim, um triângulo ABC, com ângulos internos a, b e c, possui a seguinte propriedade:

a + b + c = 180

Essa propriedade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, mas é usada para descobrir a medida de um dos ângulos do triângulo quando se conhece as medidas dos outros dois.

Exemplos

1º exemplo – Qual é a medida do ângulo α na figura a seguir?

Solução:

Sabendo que os ângulos internos de um triângulo totalizam 180°, podemos escrever:

α + 50 + 50 = 180

α = 180 – 50 – 50

α = 80°

2º exemplo – Calcule o valor de x no triângulo a seguir.

Solução:

Como já sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, podemos escrever:

2x + 3x + 4x = 180

9x = 180

x = 180
     9

x = 20

Demonstração

O procedimento usado para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180° será feito a seguir em etapas e baseia-se em outro conhecimento: dos ângulos formados em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Para compreender bem a demonstração, lembre-se: ângulos alternos internos são congruentes. Além disso, lembre-se também de que as semirretas que definem um ânguloraso (de 180°) formam uma reta. Isso significa que qualquer ângulo observado sobre uma reta terá essa medida.

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Etapa 1: Desenhar um triângulo ABC cuja base é BC. Observe apenas que esse triângulo é aleatório, pode ser qualquer triângulo, e que a base também pode ser AC ou BA que o resultado obtido será o mesmo.

Etapa 2: Sobre o vértice A, trace a reta paralela ao lado BC, como mostra o exemplo a seguir:

Etapa 3: Colocar sobre esse desenho os ângulos internos α, β e γ do triângulo e os ângulos θ e λ que foram formados no processo:

Etapa 4: Observe que os ângulos θ e β são alternos internos. Isso significa que são congruentes. O mesmo acontece com γ e λ, que também são alternos internos. Logo, podemos trocar θ por β e λ por γ na imagem. Assim, obteremos o esquema ilustrado pela imagem a seguir.

Etapa 5: Observar que a soma dos ângulos realmente é 180°. Para isso, note que os ângulos na figura a seguir, que foram circulados, ao mesmo tempo, têm a mesma medida dos ângulos internos do triângulo e os três juntos formam um ângulo raso, portanto:

α + β + γ = 180°

Nesta sala, vamos obter uma importante relação entre ângulos externos e ângulos internos de um triângulo: O teorema do ângulo externo. Vamos lá!

Se necessário, veja algumas definições aqui, para que você entenda tudo bem direitinho….

Teorema do ângulo externo

Com esta primeira planilha dinâmica, podemos observar duas relações entre um ângulo externo e os ângulos internos de um triângulo. Vamos lá!

Observando . . .

Na planilha dinâmica abaixo, você poderá obter vários triângulos.
Em cada triângulo destacamos a medida de um de seus ângulos externos e, também, as medidas dos três ângulos internos; assim, observe e anote as medidas dos ângulos destacados.
Depois de observar alguns exemplos, tente estabelecer uma relação genérica entre a medida de um ângulo externo e a medida do seu interno adjacente.
Tente também estabelecer uma relação genérica entre a medida de um ângulo externo e as medidas dos seus internos não adjacentes.

E então, o que você conseguiu concluir? Vamos por etapas. Veja a próxima planilha e observe atentamente a variação das medidas do ângulo externo e do seu interno adjacente.

Um primeiro resultado

No gif animado abaixo, podemos ver alguns triângulos e, para cada um, as respectivas medidas de um ângulo externo e do seu interno adjacente.
A medidas são apresentadas com valores aproximados.

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra

Vale a pena registrar essa primeira observação, para depois tentarmos justificá-la.

E agora o nosso resultado principal! Veja o próximo gif e observe atentamente a variação das medidas do ângulo externo e dos seus internos não adjacentes.

O teorema do ângulo externo

No gif animado abaixo, podemos ver alguns triângulos e as respectivas medidas de alguns ângulos externos e de seus internos não adjacentes.
Aqui, também, as medidas são apresentadas com valores aproximados.

Vamos registrar o resultado observado. Na próxima sala vamos fazer a demonstração desse importante resultado da geometria que é o Teorema do Ângulo Externo.

E aí, disposto a fazer alguns problemas? Então clique aqui .

Equipe COM – OBMEP

Se for conveniente, você pode utilizar a primeira planilha dinâmica off-line. Para isso, copie o arquivo abaixo e abra-o no GeoGebra do seu computador ou tablet. Mas não se esqueça de visitar este site e fazer a instalação da versão do GeoGebra adequada ao dispositivo utilizado.

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