Existem alguns procedimentos que podem ser usados para descobrir se dois triângulos são semelhantes sem ter de analisar a proporcionalidade de todos os lados e, ao mesmo tempo, as medidas de todos os ângulos desses triângulos. A respeito desses casos, assinale a alternativa correta: Show
a) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham três ângulos correspondentes congruentes. b) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham dois lados proporcionais e um ângulo congruente, em qualquer ordem. c) Para que dois triângulos sejam congruentes, basta que eles tenham os três lados correspondentes com medidas proporcionais. d) Dois triângulos que possuem dois lados correspondentes proporcionais não serão semelhantes em qualquer hipótese. e) Dois triângulos que possuem apenas dois ângulos correspondentes congruentes não podem ser considerados semelhantes. Qual o valor de x nos triângulos a seguir?  a) 48 cm b) 49 cm c) 50 cm d) 24 cm e) 20 cm Na imagem a seguir, é possível perceber dois triângulos que compartilham parte de dois lados. Sabendo que os segmentos BA e DE são paralelos, qual a medida de x? a) 210 m b) 220 m c) 230 m d) 240 m e) 250 m Para descobrir a altura de um prédio, Luiz mediu a sombra do edifício e, em seguida, mediu sua própria sombra. A sombra do prédio media 7 metros, e a de Luiz, que tem 1,6 metros de altura, media 0,2 metros. Qual a altura desse prédio? a) 50 metros b) 56 metros c) 60 metros d) 66 metros e) 70 metros a) Incorreta! b) Incorreta! c) Correta! d) Incorreta! e) Incorreta! Gabarito: Letra C. Observe que os dois triângulos são semelhantes pelo caso AA. Entretanto, x é a medida do lado EF do triângulo maior, que, por sua vez, é correspondente ao lado CB do triângulo menor. Para descobrir a medida desse lado, podemos usar o teorema de Pitágoras: 302 = 182 + y2 900 = 324 + y2 y2 = 900 – 324 y2 = 576 y = √576 y = 24 cm Como os lados dos triângulos são proporcionais, para descobrir a medida de x, basta usar a proporção entre os lados: 18 = 24 18x = 36·24 18x = 864 x = 864 x = 48 cm. Gabarito: Letra A. Quando um triângulo é cortado por um segmento de reta paralelo a um de seus lados, esse segmento forma um segundo triângulo menor e semelhante ao primeiro. É o caso desse exercício. Para resolver essa questão, usaremos apenas a proporção: 400 = 160 160x = 400·100 160x = 40000 x = 40000 x = 250 m Gabarito: Letra E. Em problemas desse tipo, a sombra e a altura do prédio, assim como a sombra e a altura da pessoa – ou qualquer outro objeto usado para comparação –, formam triângulos retângulos, que são semelhantes, pois a sombra e a altura dos objetos são lados proporcionais e, entre eles, há um ângulo de 90°. Assim, para resolver esse problema, basta calcular a proporção entre altura e comprimento da sombra: 7 = 0,2 0,2x = 7·1,6 0,2x = 11,2 x = 11,2 x = 56 metros Gabarito: Letra B. A semelhança de triângulos consiste, de modo geral, na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais se, e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais ao outro triângulo. Convenhamos que verificar todos esses elementos um a um gera um pouco de trabalho. A fim de facilitar o processo, vamos estudar os casos de semelhança nos quais é necessário verificar somente três desses elementos. Leia também: Propriedades do triângulo equilátero Triângulos semelhantesDados dois triângulos ABC e A’B’C’, vamos dizer que eles são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes na mesma ordem, ou seja, se os ângulos são iguais e se os lados correspondentes são ordenadamente proporcionais. Veja: Ângulos correspondentes congruentes: A = A' B = A' C = A' Lados correspondentes proporcionais: A'B' = B'C' = A'C' = k O número k nas razões entre os lados é chamado de constante de proporcionalidade, e as razões são chamadas de razões de proporcionalidade. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Exemplo Vamos verificar se os triângulos a seguir são proporcionais. Observe que a correspondência entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho é dada por: A = 65° = B’ B = 45° = A’ C = 70° = C’ Veja também que o lado A’B’ está para o lado AB, que o lado B’C’ está para o lado AC e que o lado A’C’ está para o lado BC, ou seja: Note que, nessa ordem, podemos encontrar uma proporção entre os lados em que a constante de proporcionalidade é igual a 1/3, ou seja, para construir o triângulo A’B’C’, basta multiplicar cada lado do triângulo ABC por 1/3. Assim, temos que os triângulos são semelhantes na seguinte ordem: ABC ~ B’A’C’ Veja também: Condição de existência de um triângulo Teorema fundamental da semelhança de triângulosConsidere inicialmente um triângulo DEF e considere uma reta paralela GH ao lado.
No triângulo acima, vamos ter a seguinte semelhança: DFE ~ GFH Exemplo No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo ao lado BC. Sabe-se também que AB = 8 cm, AC = 10 cm e AD = 2 cm. Determine o comprimento dos segmentos AE e EC. Como o segmento DE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo seus lados, de modo ordenado, são proporcionais, então: Veja também que o lado AC é dado pela soma AE + EC. Substituindo os valores de cada lado, temos: AC = AE + EC 10 = 2,5 + EC 10 – 2,5 = EC EC = 7,5 cm Portanto, AE = 2,5 cm e EC = 7,5 cm. Saiba também: Relações no triângulo retângulo Casos de semelhança de triângulosVimos que, para verificar se dois triângulos são, de fato, semelhantes ,é necessário que todos os ângulos correspondentes sejam iguais e que os lados correspondentes sejam proporcionais, entretanto não é necessário verificar as seis condições. Veremos a seguir casos de semelhança que facilitam tal verificação.
Vamos dizer que dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro triângulo. Se dois ângulos são congruentes, os triângulos são semelhantes e a volta também é verdadeira, isto é, caso dois triângulos sejam semelhantes, então podemos afirmar que dois ângulos correspondentes são iguais.
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se dois lados são proporcionais e os ângulos entre esses lados são congruentes, isto é, iguais. A condição para que esses dois triângulos sejam semelhantes é que a razão entre AB e A’B’ seja igual à razão entre os lados AC e A’C’, ou seja, que os lados sejam proporcionais. Além disso, o ângulo compreendido entre esses lados deve ser igual: Â = Â. Nesse caso, também vale a volta da afirmação, ou seja, se dois triângulos são semelhantes, então podemos afirmar que dois de seus lados são proporcionais e que os ângulos entre esses lados são iguais.
Dois triângulos são ditos semelhantes se os três lados do primeiro triângulo são ordenadamente proporcionais aos lados do segundo triângulo. Nesse caso, para que os triângulos sejam semelhantes, os lados correspondentes devem ser iguais. Exemplo Considere os triângulos a seguir. Sabendo que eles são semelhantes, determine os valores de a, b e c. O perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm. Por hipótese, os triângulos são semelhantes. Podemos dizer ainda que a semelhança é pelo caso LLL, ou seja, ABC ~ A’B’C’, portanto: Como o perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm, temos que: a + b + c = 84 7k + 9k + 5k = 84 21k = 84 k =4 Substituindo os valores de k nas igualdades, temos: a = 7 · (4) → a = 28 cm b = 9 · (4) → b = 36 cm c = 5 · (4) → c = 20 cm Exercícios resolvidosQuestão 1 – (PUC-Campinas) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo os ângulos D e C congruentes. Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é: a) 32,6 b) 36,4 c) 40,8 d) 42,6 e) 44,4 Solução Alternativa e. Os triângulos ABC e AED são semelhantes, logo seus lados, nessa ordem, formam uma proporção. Das propriedades de proporção, temos: Multiplicando cruzado as duas primeiras frações, temos: 20 · DE = 10 · 16 20 · DE = 160 DE = 8 cm Agora, multiplicando cruzado a primeira fração com a terceira, temos: 20 · 10,4 = 10 · (10 + BD) 208 = 100 + 10 · BD 10 ·BD = 208 – 100 10 · BD = 108 BD = 10,8 cm Note que o lado AC é dado por AE + CE. Substituindo os valores conhecidos, temos: AC = AE + CE 20 = 10,4 + CE CE = 20 – 10,4 CE = 9,6 cm E portanto o perímetro do quadrilátero BCED é: BC + CE + DE + DB 16 + 9,6 + 8 + 10,8 44,4 cm Quais desses triângulos são semelhantes Ie II Ie IV III e IV?Resposta verificada por especialistas. Os triângulos semelhantes entre si são IV e V. Alternativa E.
Quais desses triângulos são semelhantes entre si Ie III II e III II e IV III e IV anterior revisar próximo?É) IV e V.
Quais desses triângulos são semelhantes entre si Ie III II e III II e V III e?Explicação: Os triângulos II e V apresentam os mesmos ângulos (50° e 80°), por isso são semelhantes.
Qual quais desses triângulos são semelhantes entre si?Dois triângulos são ditos semelhantes se os três lados do primeiro triângulo são ordenadamente proporcionais aos lados do segundo triângulo. Nesse caso, para que os triângulos sejam semelhantes, os lados correspondentes devem ser iguais.
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Quais desses triângulos são semelhantes entre si Ie III II e III II e IV?
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