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(a) A equação ax2 + bx + c = O tem raízes reais se e só se .ó. ~ O. Nesse caso, suas raízes são dadas por -b-../E e -b+../E 2a 2a · (b) Se .ó. ~ O, então a soma Se o produto P das raízes da equação do item (a) são dados por S = ---:-~ e P = ~· Prova. (a) Segue de (2.8) que (2.9) Como (x + 2:) 2 ~ O para todo x E IR, se a equação tiver raízes reais, então deve ser .ó. ~ O. Nesse caso, é evidente de (2.9) (veja também o problema 1, página 56) que x + ;ª =±~,donde segue o item (a). (b) Basta observar que -b - vE -b + vE b ----+ =-- 2a 2a a e (-b;aJK) (-b;aJK) (-b)2 - .ó. c • 4a2 a Observações 2.14. 1. Quando .ó. ~ O, a fórmula -b~~ para as raízes da equação de segundo grau ax2 + bx + c = O é conhecida como a fórmula de Bhaskara. 1 1.·,. t' ' 11 1 ! li' :li .· 1 ,1 1: 54 Produtos Notáveis e Equações 11. As fórmulas do item (b) da proposição acima são também co- nhecidas como fórmulas de Viete. m. Nas notações do item (a) da proposição acima, se~= O diremos que a equação ax2 + bx + e = O tem duas raízes iguais. O exemplo a seguir ilustra como podemos reduzir uma equação aparentemente complicada numa mais simples por meio de uma subs- tituição de variável conveniente. Exemplo 2.15 (OBM). Encontre todos os reais x tais que x 2+x+l = 156 x 2+x· Prova. Fazendo a substituição de variável y = x 2 + x, obtemos a equação y + 1 = 1~6 , ou ainda y2 + y - 156 = O. Como para tal equação temos~= 12 -4(-156) = 625 = 252 , segue que y = - 1~ 25 =·-13 ou 12. Mas desde que y = x2 + x, reduzimos nossa· equação original às equações de segundo grau x 2 + x = -13 ou x 2 + x = 12. Na primeira equação, temos ~ = -51 < O e, portanto, não há raízes reais. Na segunda, ~ = 49, de maneira que x = - 12± 7 = -4 ou 3. • O exemplo a seguir mostra que é por vezes mais útil manipular algebricamente uma equação de segundo grau do que resolvê-la expli- citamente. Exemplo 2.16. Encontre o valor de (3+v2)5+(3-v2)5 sem expandir as potências envolvidas. Prova. Sendo 'u = 3 + v2 e v = 3 - v2, temos u + v = 6 e uv = 7, donde segue que u e v são as raízes da equação x 2 - 6x + 7 = O. Por- tanto, a substituição de x por u ou v nessa equação gera as igualdades verdadeiras u2 - 6u + 7 = O e v2 - 6v + 7 = O, ou, equivalentemente, u2 = 6u - 7 e v2 = 6v - 7. Multiplicando a primeira dessas igualdades por uk e a segunda por vk, onde k ~ O é inteiro, obtemos as igualdades 2.3 Equações de segundo grau 55 somando membro a membro as relações acima, obtemos finalmente Escrevendo a relação acima respectivamente para k = O, 1, 2 e 3, obtemos sucessivamente u2 + v2 = 6(u + v) - 7 · 2 = 6 · 6 - 14 = 22 u3 + v3 = 6(u2 + v2 ) - 7(u + v) = 6 · 22 - 7 · 6 = 90 u4 + v4 = 6( u3 + v3 ) - 7( u2 + v2 ) = 6 · 90 - 7 · 22 = 386 u5 + v5 = 6( u4 + v4 ) - 7( u3 + v3 ) = 6 · 386 - 7 · 90 = 1686. • Para o próximo exemplo, veja que se a soma e o produto de dois números reais forem positivos, então ambos os números são positivos. Exemplo 2.17 (OCM). Sejam p e q reais dados. Se as raízes da equação x 2 + px + q = O são reais, positivas e distintas, mostre que o mesmo ocorre com as raízes da equação qx2 + (p- 2q)x + (1- p) = O. Prova. Note inicialmente que q =I- O, pois do contrário a equação x 2 + px + q = O se reduziria a x 2 + px = O, e daí teria uma raiz igual a O, contradizendo nossas hipóteses. Sejam agora ~ e ~' respectivamente os discriminantes dos trinô- mios x 2 + px + q = O e qx2 + (p- 2q)x + (1- p). Mostremos primeiro que ~' > O, o que garantirá que as raízes da segunda equação são reais e distintas. Como a equação x 2 + px + q = O tem raízes reais e distintas, temos~= p2 - 4q > O. Logo, ~/ (p - 2q) 2 - 4q(l - p) p2 - 4q + 4q2 ~ + 492 > O. Agora, de acordo com o parágrafo imediatamente anterior a este e- xemplo, para mostrar que as raízes de qx2 + (p - 2q)x + (1 - p) = O '!!!111'1 Ili!::.: ' 'f 1 ill, !,1, ,'I,, i,··; '' '·'1 ,11, 1 1, ! :1·, ,i!! 1'1,11 'I,.'' 11,,, 56 Produtos Notáveis e Equações são positivas, basta mostrarmos que a soma S' e o produto P' das mesmas são ambos positivos. Ora, desde que as raízes da equação x2 + px + q = O são positivas, temos -p > O e q > O. Portanto, pelas fórmulas de Viete, temos S' = 2q - P = 2 + -p > O q q e l -p 1 -p P' = -- = - + - > O. • q q q Terminemos nossa discussão sobre equações de segundo grau com a seguinte observação: se a=/=- O e ax2 + bx +e= O tiver raízes reais a e f3 (não necessariamente a=/=- (3), então teremos a fatoração ax2 + bx +e= a(x - a)(x - (3). (2.10) De fato, segue do item (b) da proposição 2.13 que, para todo x real, a(x - a)(x - /3) a[x2 - (a+ f3)x + a/3] a [ x 2 - ( - ~) x + ~] ax2 + bx + e. É instrutivo comparar o resultado de (2.10) com (2.2). O segundo membro de (2.10) é denominado a forma fatorada do trinômio ax2 + bx+c. Problemas - Seção 2.3 1. * Dado um real a =/=- O, encontre todos os x E ~ tais que x2 = a2 , sem recorrer à fórmula para as raízes de uma equação de segundo grau. 2.3 Equações de segundo grau 57 2. Sejam a, b e e reais dados. Se ac < O, mostre que a equação ax2 + bx +e= O tem duas raízes reais distintas. 3. Se as soluções da equação x2 - lxl - 6 = O são raízes da equação x2 - ax + b = O, calcule os valores de a e b. 4. Sejam b, e números reais dados, tais que a equação x2 +blxl +e= O tenha raízes reais. Prove que a soma de tais raízes é sempre igual a O. 5. Resolva, para x E ~' as seguintes equações: (a) X+ y'x+2 = 10. (b) Jx+l0-J2x+3=Jl-3x. (c) (OCM.) x2 + l8x + 30 = 2Jx2 + l8x + 45. 6. (IMO.) Em cada um dos casos (a) A = J2, (b) A = 1 e (c) A= 2, encontre os valores reais de x para os quais tenhamos V x + J2x - 1 + V x - J2x - 1 = A. 7. Um professor elaborou três modelos de prova. No primeiro mo- delo, colocou uma equação do segundo grau; no segundo mo- delo, colocou a mesma equação, trocando apenas o coeficiente do monômio de grau dois; no terceiro modelo, colocou a mesma equação do primeiro modelo, trocando apenas o coeficiente in- dependente de x. Sabendo que as raízes da equação do segundo modelo são 2 e 3 e que as raízes do terceiro modelo são 2 e - 7, decida se a equação do primeiro modelo tem raízes reais e, se esse for o caso, calcule tais raízes. 8. Sejam a e breais não nulos e distintos. Se a equação x 2 +ax+b = O tem raízes a e b, encontre os possíveis valores de a - b. .'li':, l''ill '·1·. ( 58 Produtos Notáveis e Equações 9. Se as raízes da equação x2 - l3x + 9 = O são. a e (3, e a e b são reais tais que a equação x2 + ax + b = O tem raízes a 2 e (32, calcule o valor de a + b. 10. A equação x2 + x- l = O tem raízes u e v. Encontre uma equação de segundo grau que tenha raízes u3 e v3 . 11. (OCM.) As raízes da equação x2 - Sx + P = O são a e (3. En- contre um trinômio de segundo grau cujos coeficientes envolvam somente Sou P e cujas raízes sejam os números aS+P e (3S+P. 12. Use a teoria de equações de segundo grau desenvolvida nesta . seção para calcular o valor da soma (7 + 4v'3)5 + (7 - 4v'3)5 . 13. Sejam a e (3 as raízes da equação x2 - 5x + 1 = O. Calcule ak + (3k, para 1 :'.S; k :'.S; 5 inteiro. 14. Se a é uma raiz da equação x2 - x - 1 = O, calcule os possíveis valores de a 5 - 5a. 15. 16. Para quais valores inteiros de m a equação x2 + mx + 5 = O tem raízes inteiras? Mostre que, para todos a, b, e E JR, sendo a # O, a equação 1 1 1 --+--=- X - b x - e a2 possui exatamente duas raízes reais e distintas. 17. Resolva a equação x = A+ A no conjunto dos nú- meros reais. 2.4 Equações polinomiais 59 2.4 Equações polinomiais Neste ponto é natural nos perguntarmos sobre como resolver a equação resultante da generalização natural das equações ax + b = O e ax2 + bx + e = O, qual seja, a equação polinomial de grau n (2.11) onde n ~ 1 é inteiro e ao, a1 , ... , an são reais dados4, com an # O. Observe que, quando n = 1 ou n = 2, voltamos respectivamente às equações de primeiro e segundo graus