Para quê valores de A a equação x2 AX a2 0 possui duas raízes reais distintas?

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(a) A equação ax2 + bx + c = O tem raízes reais se e só se .ó. ~ O. 
Nesse caso, suas raízes são dadas por -b-../E e -b+../E 
2a 2a · 
(b) Se .ó. ~ O, então a soma Se o produto P das raízes da equação 
do item (a) são dados por S = ---:-~ e P = ~· 
Prova. 
(a) Segue de (2.8) que 
(2.9) 
Como (x + 2:) 2 ~ O para todo x E IR, se a equação tiver raízes reais, 
então deve ser .ó. ~ O. Nesse caso, é evidente de (2.9) (veja também o 
problema 1, página 56) que x + ;ª =±~,donde segue o item (a). 
(b) Basta observar que 
-b - vE -b + vE b ----+ =--
2a 2a a 
e 
(-b;aJK) (-b;aJK) (-b)2 - .ó. c • 4a2 a 
Observações 2.14. 
1. Quando .ó. ~ O, a fórmula -b~~ para as raízes da equação de 
segundo grau ax2 + bx + c = O é conhecida como a fórmula de 
Bhaskara. 
1
1.·,. 
t' 
' 
11 
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1 
,1 
1: 
54 Produtos Notáveis e Equações 
11. As fórmulas do item (b) da proposição acima são também co-
nhecidas como fórmulas de Viete. 
m. Nas notações do item (a) da proposição acima, se~= O diremos 
que a equação ax2 + bx + e = O tem duas raízes iguais. 
O exemplo a seguir ilustra como podemos reduzir uma equação 
aparentemente complicada numa mais simples por meio de uma subs-
tituição de variável conveniente. 
Exemplo 2.15 (OBM). Encontre todos os reais x tais que x 2+x+l = 
156 
x 2+x· 
Prova. Fazendo a substituição de variável y = x 2 + x, obtemos a 
equação y + 1 = 1~6 , ou ainda y2 + y - 156 = O. Como para tal equação 
temos~= 12 -4(-156) = 625 = 252 , segue que y = - 1~ 25 =·-13 ou 
12. Mas desde que y = x2 + x, reduzimos nossa· equação original às 
equações de segundo grau x 2 + x = -13 ou x 2 + x = 12. Na primeira 
equação, temos ~ = -51 < O e, portanto, não há raízes reais. Na 
segunda, ~ = 49, de maneira que x = - 12± 7 = -4 ou 3. • 
O exemplo a seguir mostra que é por vezes mais útil manipular 
algebricamente uma equação de segundo grau do que resolvê-la expli-
citamente. 
Exemplo 2.16. Encontre o valor de (3+v2)5+(3-v2)5 sem expandir 
as potências envolvidas. 
Prova. Sendo 'u = 3 + v2 e v = 3 - v2, temos u + v = 6 e uv = 7, 
donde segue que u e v são as raízes da equação x 2 - 6x + 7 = O. Por-
tanto, a substituição de x por u ou v nessa equação gera as igualdades 
verdadeiras u2 - 6u + 7 = O e v2 - 6v + 7 = O, ou, equivalentemente, 
u2 = 6u - 7 e v2 = 6v - 7. Multiplicando a primeira dessas igualdades 
por uk e a segunda por vk, onde k ~ O é inteiro, obtemos as igualdades 
2.3 Equações de segundo grau 55 
somando membro a membro as relações acima, obtemos finalmente 
Escrevendo a relação acima respectivamente para k = O, 1, 2 e 3, 
obtemos sucessivamente 
u2 + v2 = 6(u + v) - 7 · 2 = 6 · 6 - 14 = 22 
u3 + v3 = 6(u2 + v2 ) - 7(u + v) = 6 · 22 - 7 · 6 = 90 
u4 + v4 = 6( u3 + v3 ) - 7( u2 + v2 ) = 6 · 90 - 7 · 22 = 386 
u5 + v5 = 6( u4 + v4 ) - 7( u3 + v3 ) = 6 · 386 - 7 · 90 = 1686. • 
Para o próximo exemplo, veja que se a soma e o produto de dois 
números reais forem positivos, então ambos os números são positivos. 
Exemplo 2.17 (OCM). Sejam p e q reais dados. Se as raízes da 
equação x 2 + px + q = O são reais, positivas e distintas, mostre que o 
mesmo ocorre com as raízes da equação qx2 + (p- 2q)x + (1- p) = O. 
Prova. Note inicialmente que q =I- O, pois do contrário a equação 
x 2 + px + q = O se reduziria a x 2 + px = O, e daí teria uma raiz igual 
a O, contradizendo nossas hipóteses. 
Sejam agora ~ e ~' respectivamente os discriminantes dos trinô-
mios x 2 + px + q = O e qx2 + (p- 2q)x + (1- p). Mostremos primeiro 
que ~' > O, o que garantirá que as raízes da segunda equação são 
reais e distintas. Como a equação x 2 + px + q = O tem raízes reais e 
distintas, temos~= p2 - 4q > O. Logo, 
~/ (p - 2q) 2 - 4q(l - p) 
p2 - 4q + 4q2 
~ + 492 > O. 
Agora, de acordo com o parágrafo imediatamente anterior a este e-
xemplo, para mostrar que as raízes de qx2 + (p - 2q)x + (1 - p) = O 
'!!!111'1 
Ili!::.: 
' 'f 
1 
ill, 
!,1, 
,'I,, i,··; 
'' 
'·'1 
,11, 
1 1, ! 
:1·, 
,i!! 
1'1,11 
'I,.'' 11,,, 
56 Produtos Notáveis e Equações 
são positivas, basta mostrarmos que a soma S' e o produto P' das 
mesmas são ambos positivos. Ora, desde que as raízes da equação 
x2 + px + q = O são positivas, temos -p > O e q > O. Portanto, pelas 
fórmulas de Viete, temos 
S' = 2q - P = 2 + -p > O 
q q 
e 
l -p 1 -p 
P' = -- = - + - > O. • q q q 
Terminemos nossa discussão sobre equações de segundo grau com 
a seguinte observação: se a=/=- O e ax2 + bx +e= O tiver raízes reais a 
e f3 (não necessariamente a=/=- (3), então teremos a fatoração 
ax2 + bx +e= a(x - a)(x - (3). (2.10) 
De fato, segue do item (b) da proposição 2.13 que, para todo x real, 
a(x - a)(x - /3) a[x2 - (a+ f3)x + a/3] 
a [ x 2 - ( - ~) x + ~] 
ax2 + bx + e. 
É instrutivo comparar o resultado de (2.10) com (2.2). O segundo 
membro de (2.10) é denominado a forma fatorada do trinômio ax2 + 
bx+c. 
Problemas - Seção 2.3 
1. * Dado um real a =/=- O, encontre todos os x E ~ tais que x2 = a2 , 
sem recorrer à fórmula para as raízes de uma equação de segundo 
grau. 
2.3 Equações de segundo grau 57 
2. Sejam a, b e e reais dados. Se ac < O, mostre que a equação 
ax2 + bx +e= O tem duas raízes reais distintas. 
3. Se as soluções da equação x2 - lxl - 6 = O são raízes da equação 
x2 - ax + b = O, calcule os valores de a e b. 
4. Sejam b, e números reais dados, tais que a equação x2 +blxl +e= 
O tenha raízes reais. Prove que a soma de tais raízes é sempre 
igual a O. 
5. Resolva, para x E ~' as seguintes equações: 
(a) X+ y'x+2 = 10. 
(b) Jx+l0-J2x+3=Jl-3x. 
(c) (OCM.) x2 + l8x + 30 = 2Jx2 + l8x + 45. 
6. (IMO.) Em cada um dos casos (a) A = J2, (b) A = 1 e (c) 
A= 2, encontre os valores reais de x para os quais tenhamos 
V x + J2x - 1 + V x - J2x - 1 = A. 
7. Um professor elaborou três modelos de prova. No primeiro mo-
delo, colocou uma equação do segundo grau; no segundo mo-
delo, colocou a mesma equação, trocando apenas o coeficiente 
do monômio de grau dois; no terceiro modelo, colocou a mesma 
equação do primeiro modelo, trocando apenas o coeficiente in-
dependente de x. Sabendo que as raízes da equação do segundo 
modelo são 2 e 3 e que as raízes do terceiro modelo são 2 e - 7, 
decida se a equação do primeiro modelo tem raízes reais e, se 
esse for o caso, calcule tais raízes. 
8. Sejam a e breais não nulos e distintos. Se a equação x 2 +ax+b = 
O tem raízes a e b, encontre os possíveis valores de a - b. 
.'li':, 
l''ill 
'·1·. ( 
58 Produtos Notáveis e Equações 
9. Se as raízes da equação x2 - l3x + 9 = O são. a e (3, e a e b 
são reais tais que a equação x2 + ax + b = O tem raízes a 2 e (32, 
calcule o valor de a + b. 
10. A equação x2 + x- l = O tem raízes u e v. Encontre uma equação 
de segundo grau que tenha raízes u3 e v3 . 
11. (OCM.) As raízes da equação x2 - Sx + P = O são a e (3. En-
contre um trinômio de segundo grau cujos coeficientes envolvam 
somente Sou P e cujas raízes sejam os números aS+P e (3S+P. 
12. Use a teoria de equações de segundo grau desenvolvida nesta . 
seção para calcular o valor da soma (7 + 4v'3)5 + (7 - 4v'3)5 . 
13. Sejam a e (3 as raízes da equação x2 - 5x + 1 = O. Calcule 
ak + (3k, para 1 :'.S; k :'.S; 5 inteiro. 
14. Se a é uma raiz da equação x2 - x - 1 = O, calcule os possíveis 
valores de a 5 - 5a. 
15. 
16. 
Para quais valores inteiros de m a equação x2 + mx + 5 = O tem 
raízes inteiras? 
Mostre que, para todos a, b, e E JR, sendo a # O, a equação 
1 1 1 
--+--=-
X - b x - e a2 
possui exatamente duas raízes reais e distintas. 
17. Resolva a equação x = A+ A no conjunto dos nú-
meros reais. 
2.4 Equações polinomiais 59 
2.4 Equações polinomiais 
Neste ponto é natural nos perguntarmos sobre como resolver a 
equação resultante da generalização natural das equações ax + b = O 
e ax2 + bx + e = O, qual seja, a equação polinomial de grau n 
(2.11) 
onde n ~ 1 é inteiro e ao, a1 , ... , an são reais dados4, com an # O. 
Observe que, quando n = 1 ou n = 2, voltamos respectivamente às 
equações de primeiro e segundo graus