Obter o número de anagramas formados com as letras da palavra república

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• Qual é o número de anagramas da palavra república?
• Como se calcula anagrama de uma palavra?
• Quais são os anagramas da palavra?

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x - 1)  
 x ( x – 1) (x –2) - 3x ( x – 1) =0 
 x( x – 1)[ x – 2 – 3 ] = 0 
 
x = 0 (não convém) 
ou 
x = 1 ( não convém) 
ou 
x = 5 (convém) 
 S = 5 
 
3) Quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8 e 9? 
 
Solução: 
Essa mesma aplicação já foi feita, usando-se o prin-
cipio fundamental da contagem. Utilizando-se a fórmula, 
o número de arranjos simples é: 
A 9, 3 =9 . 8 . 7 = 504 números 
 
Observação: Podemos resolver os problemas sobre 
arranjos simples usando apenas o principio fundamental 
da contagem. 
 
Exercícios 
1) Calcule: 
a) A8,1 
b) A8,2 
c ) A8,3 
d) A8,4 
 
2) Efetue: 
a) A7,1 + 7A5,2 – 2A4,3 – A 10,2 
b) 
1,102,5
4,72,8
AA
AA


 
 
3) Resolva as equações: 
a) A x,2 = A x,3 b) A x,2 = 12 c) A x,3 = 3x(x – 1) 
 
FATORIAL 
Definição: 
 Chama-se fatorial de um número natural n, n  2, ao 
produto de todos os números naturais de 1 até n. 
Assim : 
 n ! = n( n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1, n  2 (lê-se: n 
fatorial) 
 1! = 1 
 0! = 1 
 
 
A n ,p = n . (n -1) . (n –2) . . . (n – (p – 1)), 
  IN n p, e  np 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 22
Fórmula de arranjos simples com o auxílio de fatorial: 
 
 
 
 
 
Aplicações 
1) Calcular: 
a) 5! c) 
! 6
! 8
 e) 
2)! - (n
! n
 
b) 
! 4
! 5
 d) 
! 10
! 10 ! 11 
 
 
Solução: 
a) 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
b) 5
! 4
! 4 5 
! 4
! 5


 
c) 56
! 6
! 6 7 8
! 6
! 8


 
d)   12
! 10
111! 10
!10
! 10 ! 10 11
! 10
! 10 ! 11





 
e) 
  
  nn
n


 2
! 2 -n 
! 2 -n 1 -n 
2)! -(n 
!n 
 
 
2) Obter n, de modo que A n,2 = 30. 
 
Solução: 
Utilizando a fórmula, vem : 
 30
2)! - (n
! 2) - n ( 1) - n ( n30
2)! - (n
! n
 
 n = 6 
 n2 – n – 30 = 0 ou 
n = –5 ( não convém) 
 
3) Obter n, tal que: 4 . A n-1,3 = 3 . A n,3. 
 
Solução: 
 
   
 
    



! 1 - n 
! n3
! 4 - n 
! 3 - n 4
! 3 - n 
! n3
! 4 - n 
! 1 - n 4 
 
  
 
 
 
21n n312n4
! 1 - n 
! 1 - n n3
! 4 - n 
! 4 - n 3 - n 4



 
 
4) Obter n, tal que : 4
! n
! ) 1n ( - ! ) 2 n (

 
 
Solução: 
 


4
! 
! n ) 1 n ( - !n ) 1n ( ) 2 n (
n
 
 
 
  4
! 
 1- 2 n ) 1 n ( !n 
n
 
 
n + 1 = 2 n =1 
 (n + 1 )2 = 4 
n + 1 = –2  n = –3 
(não convém ) 
 
Exercícios 
1) Assinale a alternativa correta: 
a) 10 ! = 5! + 5 ! d) 
! 2 
! 10
 = 5 
b) 10 ! = 2! . 5 ! e) 10 ! =10. 9. 8. 7! 
c) 10 ! = 11! -1! 
 
2) Assinale a alternativa falsa; 
a) n! = n ( n-1)! d) ( n –1)! = (n- 1)(n-
2)! 
b) n! = n(n - 1) (n - 2)! e) (n - 1)! = n(n -1) 
c) n! = n(n – 1) (n - 2) (n - 3)! 
 
3) Calcule: 
a) 
! 10
! 12
 c) 
! 4 ! 3
! 7
 
b) 
! 5
! 5 ! 7 
 d) 
! 5
! 6 - ! 8
 
 
4) Simplifique: 
a) 
! 1) - n ( 
! n
 d) 
! 1) - n ( n 
! n
 
 
b) 
 
  2 ! 1 n 
! n ! 2 n 


 e) 
! M
! ) 1 - M ( 2 - ! 5M
 
c) 
! n
! ) 1 n ( ! n 
 
5) Obtenha n, em: 
a) 10
! n
1)!(n


 b) n!+( n - 1)! = 6 ( n - 1)! 
c) 6
2)! - (n
1)! - (n n
 d) (n - 1)! = 120 
 
6) Efetuando 
1)! (n
n 
! n
1

 , obtém-se: 
a) 
 ! 1)(n
1

 d) 
 ! 1)(n
1 2n


 
b) 
! n
1
 e) 0 
c) 
1 - n
! 1) n ( ! n 
 
 
7) Resolva as equações: 
a) A x,3 = 8A x,2 b) A x,3 = 3 . ( x - 1) 
 
8) Obtenha n, que verifique 8n ! = 
1 n
! 1) (n ! 2) (n


 
    lN np, e n p ,! pn 
! nA P,N 
 
Pn = n ! 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 23
 
9) O número n está para o número de seus arranjos 
3 a 3 como 1 está para 240, obtenha n. 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
Introdução: 
Consideremos os números de três algarismos 
distintos formados com os algarismos 1, 2 e 3. Esses 
números são : 
123 132 213 231 312 321 
 
A quantidade desses números é dada por A3,3= 6. 
 
Esses números diferem entre si somente pela posi-
ção de seus elementos. Cada número é chamado de 
permutação simples, obtida com os algarismos 1, 2 e 3. 
 
Definição: 
Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se per-
mutação simples dos n elementos de l a toda a seqüên-
cia dos n elementos. 
 
O número de permutações simples de n elementos é 
indicado por Pn. 
 
OBSERVAÇÃO: Pn = A n,n . 
 
Aplicações 
1) Considere a palavra ATREVIDO. 
a) quantos anagramas (permutações simples) 
podemos formar? 
b) quantos anagramas começam por A? 
c) quantos anagramas começam pela sílaba TRE? 
d) quantos anagramas possuem a sílaba TRE? 
e) quantos anagramas possuem as letras T, R e E 
juntas? 
f) quantos anagramas começam por vogal e 
terminam em consoante? 
 
Solução: 
a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições 
disponíveis. 
Assim: 
 
Ou então, P8 = 8 ! = 40.320 anagramas 
 
b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; 
assim, devemos distribuir as 7 letras restantes em 7 
posições, Então: 
 
c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas pe-
la sílaba TRE, devemos distribuir as 5 letras restantes 
em 5 posições. Então: 
 
d) considerando a sílaba TRE como um único 
elemento, devemos permutar entre si 6 elementos, 
 
e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo 
considerado as letras T, R, E como um único elemento: 
 
 
Devemos também permutar as letras T, R, E, pois 
não foi especificada a ordem : 
 
Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E 
podem ser dispostas de P3 maneiras. Assim, para P6 
agrupamentos, temos 
P6 . P3 anagramas. Então: 
P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas 
f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 
consoantes. Assim: 
 
 
Exercícios 
1) Considere a palavra CAPITULO: 
a) quantos anagramas podemos formar? 
b) quantos anagramas começam por C? 
c) quantos anagramas começam pelas letras C, A e 
P juntas e nesta ordem? 
d) quantos anagramas possuem as letras C, A e P 
juntas e nesta ordem? 
e) quantos anagramas possuem as letras C, A e P 
juntas? 
f) quantos anagramas começam por vogal e termi-
nam em consoante? 
2) Quantos anagramas da palavra MOLEZA 
começam e terminam por vogal? 
3) Quantos anagramas da palavra ESCOLA 
possuem as vogais e consoantes alternadas? 
4) De quantos modos diferentes podemos dispor as 
letras da palavra ESPANTO, de modo que as 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 24
 . . . ! ! 
! n) . . . , ,(p
r1
r21n 
 
 
vogais e consoantes apareçam juntas, em 
qualquer ordem? 
5) obtenha o número de anagramas formados com 
as letras da palavra REPÚBLICA nas quais as 
vogais se mantenham nas respectivas posições. 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS REPE-
TIDOS 
 
Dados n elementos, dos quais : 
1 são iguais a 
 
2 são iguais a 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 r são iguais a 
 
 sendo ainda que: r2 1 . . .   = n, e indicando-
se por ) . . . , ,(p r21n  o número das permutações 
simples dos n elementos, tem-se que: 
 
 
 
 
Aplicações 
1) Obter a quantidade de números de 4 algarismos 
formados pelos algarismos 2 e 3 de maneira que 
cada um apareça duas vezes na formação do 
número. 
Solução: 
os números são 



3223 3232 3322
2332 2323 2233
 
 
A quantidade desses números pode ser obtida por: 
   números 6
1 2 ! 2
! 2 3 4
! 2 ! 2
! 4P 2,24 

 
 
2) Quantos anagramas podemos formar com as 
letras da palavra AMADA? 
solução: 
Temos: 
 
 Assim: 
 
 
  anagramas 20 
! 3
! 3 4 5 
! 1 ! 1 ! 3
! 5 p 1,1,35 

 
 
3) Quantos anagramas da palavra GARRAFA 
começam pela sílaba RA? 
 
Solução: 
Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 5 
letras para serem permutadas, sendo que: 
 
 
Assim, temos: 
 
 
  anagramas 60 
! 2
! 2 3 4 5 p 1,1,25 

 
 
Exercícios 
1) O número de anagramas que podemos formar 
com as letras da palavra ARARA é: 
a) 120 
b) 60 
c) 20

Qual é o número de anagramas da palavra república?

Como se calcula anagrama de uma palavra?

Quais são os anagramas da palavra?