O que são numeros multiplos

M�ltiplos e divisores

Dado um certo n�mero natural, os seus m�ltiplos (no conjunto dos n�meros naturais) s�o todos os n�meros que se obt�m multiplicando esse n�mero por \(1, 2, 3, 4, 5, �\) , ou seja, por cada um dos n�meros naturais. Dizer que um n�mero � m�ltiplo de outro � equivalente a dizer que o segundo � divisor do primeiro. Com o mesmo sentido, tamb�m se diz que o primeiro � divis�vel pelo segundo.

O conjunto dos múltiplos de um número é, portanto, um conjunto infinito.

Por exemplo, os múltiplos de \(12\) obtêm-se multiplicando \(12\) por \(1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , k, ...\) (\(k\) natural qualquer).

Podemos representar o conjunto dos múltiplos de \(12\) como se segue: \[M_{12} = \{12, 24, 36, 48, 60, 72, � , 12 \times k, ... \}\;\;(k\mbox{ natural qualquer}).\]

Assim, podemos, por exemplo, afirmar que \(48\) é múltiplo de \(12\), porque há um inteiro — \(4\) — que multiplicado por \(12\) dá \(48\). A afirmação "\(48\) é múltiplo de \(12\)" equivale a \(48\) é divisível por \(12\) ou, ainda, a \(12\) é um divisor de \(48\). Os múltiplos de \(2\) são os também chamados números pares \(2, 4, 6, 8, 10, 12, ...\).

Note-se que se um número é múltiplo de outro e este último é múltiplo de um terceiro, então o primeiro também é múltiplo do terceiro. Isto equivale a dizer que se um número é divisível por outro e este último é divisível por um terceiro, então o primeiro também é divisível pelo terceiro. Esta propriedade pode também ser enunciada usando o termo "divisor" em vez de "divisível" ou "múltiplo". Tente fazê-lo.

Por exemplo, um múltiplo de um múltiplo de \(10\) também é múltiplo de \(10\). Analogamente para os múltiplos de um múltiplo de \(3\) (ou de \( 2\)). Em particular, qualquer múltiplo de um par é par: \(14\) é par (porque \(14 =7 \times 2\)), portanto \(5 \times 14\) também é par (porque é \(= 5 \times (7 \times 2) = (5 \times 7) \times 2\) ).

Repare-se que a propriedade anterior garante que se um número não é divisível por outro, então não poderá ser divisível por nenhum múltiplo deste. Por exemplo, se um número não for divisível por \(3\), então não poderá ser divisível por nenhum múltiplo de \(3\), porque, de acordo com a que acabámos de ver, se um número fosse divisível por um qualquer múltiplo de \(3\), também teria de ser divisível por \(3\).

Note-se que um número natural é divisor de outro quando e só quando o resto da divisão inteira do segundo número pelo primeiro for igual a zero. Repare-se que se isto acontecer, a divisão inteira do segundo número pelo quociente que se obtém na divisão anterior tem necessariamente resto igual a zero e portanto esse quociente também é divisor do número. Por exemplo, \(5\) é divisor de \(40\) porque \(40:5=8\) (resto \(0\)), o que significa que \(40=5 \times 8\) e, portanto, \(8\) é também divisor de \(40\), tendo-se \(40:8=5\) (resto \(0\)).

Ao contrário do conjunto dos múltiplos, o conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito, pois nenhum divisor pode exceder o número.

É importante notar que o \(1\) é divisor de todos os números, pois qualquer número dividido por \(1\) dá o próprio número (e resto zero). Pelo mesmo motivo, qualquer número é divisor de si próprio.

Vejamos, a partir de exemplos, como determinar o conjunto dos divisores de um número natural.

O conhecimento dos múltiplos de um número é muito importante em todo o desenvolvimento da matemática. Os múltiplos de um número inteiro n são dados pela multiplicação de n por todos os números inteiros, ou seja, o resultado dessa multiplicação são os múltiplos de n.

Leia também: Multiplicação de polinômios: saiba como fazer

Como encontrar o múltiplo de um número

Para determinar os múltiplos de um número inteiro n, devemos multiplicar esse número por outros números inteiros, os resultados dessa operação são os múltiplos de n. Podemos escrevê-los utilizando uma fórmula geral, veja:

Na fórmula M, os múltiplos dos números n e k são os inteiros que multiplicamos por n. Veja alguns exemplos.

• Exemplos

Para determinar os múltiplos do número 2, devemos multiplicá-lo por números inteiros, nesse exemplo vamos encontrar os 11 primeiros múltiplos de 2.

A fim de facilitar, estabeleceremos uma notação para os múltiplos de um número, em vez de montar uma tabuada. Vamos escrevê-los assim:

M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...}

Perceba que a listagem dos múltiplos é infinita, uma vez que o conjunto dos inteiros no qual multiplicamos o número fixo é infinito.

Os múltiplos do número 3 são:

M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

Os múltiplos do número 9 são:

M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, ...} 

Saiba mais: Propriedade distributiva da multiplicação

Propriedade dos múltiplos

Podemos observar algumas propriedades nos múltiplos.

• Propriedade 1: O número zero é múltiplo de todo número inteiro.
• Propriedade 2: Ao considerar-se dois ou mais números inteiros, eles podem possuir múltiplos em comum, isto é, múltiplos que aparecem ao mesmo tempo na listagem.
• Propriedade 3: O menor múltiplo comum entre dois números é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC).

O que são número múltiplos?

Qual é o número múltiplo de 5?

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