Como achar o MMC de uma fração algébrica?

A adição e a subtração de fração algébrica são possíveis porque essas frações são compostas apenas por números, sendo alguns conhecidos e outros não.

Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. Incógnitas são números desconhecidos de uma expressão algébrica. Dessa maneira, essas expressões são formadas apenas por números – conhecidos ou desconhecidos – e por operações. Por essa razão, valem todas as operações matemáticas básicas para as frações algébricas e suas propriedades.

São exemplos de frações algébricas:

a)

1
x

b)

2x4y2
3kh

Adição e subtração de frações algébricas

A adição e a subtração de frações algébricas ocorrem da mesma maneira que a adição e subtração de frações numéricas.

1º caso: Denominadores iguais

Quando os denominadores de uma adição ou subtração de frações algébricas são iguais, conserve o denominador no resultado e realize a soma ou subtração apenas nos numeradores. Por exemplo:

28x + 15x = 28x + 15x = 43x
yx2     yx2         yx2         yx2

2º caso: Denominadores diferentes

Quando os denominadores das frações algébricas forem diferentes, a adição ou subtração seguirá os mesmos princípios da adição ou subtração de frações numéricas: primeiramente, faz-se o MMC dos denominadores; depois, encontram-se frações equivalentes com denominadores iguais ao MMC e, por fim, faz-se a soma/subtração. Veja o exemplo abaixo:

1 + x +    4x2    – 1 – x
1 – x      1 – x2    1 + x

Etapa 1: Calcule o mínimo múltiplo comum entre os denominadores.

Para isso, é necessário saber fatorar polinômios, especialmente pelos casos da diferença de dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e fator comum em evidência. No exemplo, a fração central apresenta um denominador que pode ser fatorado pela diferença de dois quadrados. Os outros dois não podem ser fatorados.

Dessa maneira, trocando o denominador da fração central por sua forma fatorada teremos:

1 + x +         4x2       – 1 – x
1 – x    (1 – x)(1 + x)    1 + x

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Assim, o mínimo múltiplo comum entre os denominadores será (1 – x)(1 + x). Para saber como realizar esse cálculo, clique aqui.

Etapa 2: Encontrar frações equivalentes.

Com o MMC em mãos, divida-o pelo denominador de cada fração do exemplo e multiplique o resultado pelo respectivo numerador. Isso gerará as frações equivalentes com denominadores iguais – o próprio MMC –, que devem ser somadas/subtraídas. No exemplo, os resultados serão:

1 + x +         4x2          – 1 – x =     (1 + x)2     +         4x2       –      (1 – x)2     
1 – x     (1 – x)(1 + x)    1 + x    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)

Observe que, dividindo o MMC por 1 – x, que é o denominador da primeira fração, o resultado será 1 + x. Multiplicando isso por 1 + x, que é o numerador da primeira fração, teremos o numerador da respectiva fração equivalente. Repete-se o processo para todas as frações até obter o resultado acima.

Etapa 3: Somar/subtrair os numeradores.

Encontradas as frações equivalentes, basta somar ou subtrair os numeradores e simplificar o resultado. Observe:

     (1 + x)2     +        4x2        –     (1 – x)2     
(1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)

1 + 2x + x2 + 4x2 – (1 – 2x + x2)
(1 – x)(1 + x)

1 + 2x + x2 + 4x2 – 1 + 2x – x2
(1 – x)(1 + x)

     4x + 4x2    
(1 – x)(1 + x)

     4x(1 + x)    
(1 – x)(1 + x)

    4x    
(1 – x)

Em Matemática, a palavra “algébrico” é reservada para expressões e operações numéricas que possuem pelo menos um número desconhecido, chamado de incógnita. As expressões algébricas que possuem uma incógnita no denominador são chamadas de frações algébricas.

Desse modo, qualquer expressão algébrica que, expressa na forma de fração, possua uma letra no denominador é uma fração algébrica. Como ela é formada por números (alguns conhecidos, outros não), valem as propriedades das operações de números reais para elas. Veja:

Multiplicação de fração algébrica

A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da multiplicação de frações: multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. De forma prática, multiplique primeiramente os coeficientes, coloque o resultado numérico e parta para a multiplicação das incógnitas. Elas devem ser multiplicadas por meio das propriedades de potência.

4xy·8xz = 32x2yz
 8k  2xk    16k2x 

Observe que incógnitas diferentes, que aparecem apenas uma vez em um fator, não devem ser multiplicadas entre si, mas apenas repetidas.

Observe também que existe uma multiplicação implícita entre números e incógnitas nas frações acima, portanto: 4xy = 4·x·y.

Divisão de fração algébrica

Essa operação é exatamente igual à divisão de frações. Portanto, para realizá-la, multiplique a primeira fração algébrica pelo inverso da segunda. Observe:

4xy:8xz = 4xy·2xk = 8x2yk
 8k  2xk    8k   8xz   64kxz

Adição e subtração de fração algébrica

De agora em diante utilizaremos apenas a palavra “adição” para representar as operações de soma e subtração, pois elas são realizadas da mesma maneira, levando em conta as regras de sinais para números inteiros, que também valem para os números reais.

A adição de frações algébricas é dividida em dois casos e deve ser realizada do mesmo modo que a adição de frações numéricas.

1º caso: Quando os denominadores são iguais

Se os denominadores forem iguais, realize a operação indicada (soma ou subtração) apenas com os numeradores e repita o denominador no resultado:

7xy – 4xy = 7xy – 4xy = 3xy
  x       x            x            x

2º caso: Quando os denominadores são diferentes

Nesse caso, é necessário igualá-los antes. Para tanto, o procedimento é igual ao da soma de frações com denominadores diferentes:

• 1 – Encontre o MMC dos denominadores. No caso das frações algébricas, eles podem ser monômios ou polinômios. Clique aqui para aprender a calcular o MMC dessas expressões;

• 2 – Reescrever o mínimo múltiplo comum encontrado como denominador das frações e encontrar os respectivos numeradores da seguinte maneira:

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  → Dividir o MMC pelo denominador da fração original e multiplicar o resultado por seu numerador;

  → Repetir o último procedimento para todas as frações.

Observe o exemplo de adição de frações algébricas com denominadores diferentes a seguir

2x2  – 4x
 3y     2y2

O MMC entre 3y e 2y2 é 6y2, logo:

       –       
6y2     6y2

Para preencher as lacunas, basta dividir 6y2 pelo denominador da primeira fração e multiplicar o resultado pelo seu numerador. Isso dará o numerador para a primeira lacuna. Para a segunda, repita o procedimento com a segunda fração.

4x2y – 12x
 6y2     6y2

Potenciação de fração algébrica

A potenciação de frações é uma extensão da multiplicação de frações. A solução do problema é dada da mesma maneira, contudo, com fatores iguais sempre. Como a multiplicação é feita de numerador para numerador e de denominador para denominador, as potências de frações algébricas são calculadas para numerador e depois para denominador separadamente. Observe:

Radiciação de fração algébrica

A radiciação segue o mesmo padrão da potenciação. Quando houver raiz de uma fração algébrica, calcule a raiz do numerador e do denominador separadamente. Veja:

Simplificação de fração algébrica

A simplificação de fração algébrica é feita pela eliminação de fatores iguais no numerador e no denominador. Muitas vezes, esses fatores não estão explícitos e precisam de algum cálculo para evidenciá-los. Observe o exemplo a seguir:

8x2yk
64kxz

Observe que os fatores x e k aparecem no numerador e no denominador. Entretanto, x está elevado ao quadrado (isso é o mesmo que x·x) e, no denominador, existe apenas um x. Pois bem, é possível simplificar apenas um x do numerador e um x do denominador. O mesmo ocorre com k, resultando em:

8xxyk = 8xy
64kxz    64z

A parte das incógnitas já foi finalizada, entretanto, ainda podemos simplificar a fração formada apenas pelos coeficientes por 8. O resultado final será:

8xy = xy
64z    8z

Sempre que frações algébricas forem operadas (multiplicação, divisão, adição, subtração, potenciação e radiciação), será necessário simplificá-las, se for possível.

Basicamente, a simplificação de frações algébricas segue esse padrão. Quando envolve polinômios no numerador ou denominador, é necessário partir para um processo de fatoração antes de simplificá-las. Para mais detalhes e exemplos sobre simplificação de frações algébricas, confira o texto específico clicando aqui.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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