Polígonos são regiões limitadas por segmentos de reta. O encontro dos segmentos de reta formam os vértices e os ângulos da figura. O polígono mais simples é o triângulo, que possui três lados, três vértices e três ângulos.
Veja a tabela com os dados de alguns polígonos regulares.
A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão:
S = (n – 2 )*180º, onde n = número de lados.
Para calcular o valor de cada ângulo é preciso dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.
Exemplo 1
Qual é a soma dos ângulos internos de um heptágono regular?
O heptágono possui 7 lados.
S = (n – 2) * 180º
S = (7 – 2) * 180º
S = 5 * 180º
S = 900º
A soma dos ângulos internos de um heptágono é 900º.
Exemplo 2
Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono (20 lados)?
Aplicando a fórmula:
S = (n – 2) * 180º
S = (20 – 2) * 180º
S = 18 *
180º
S = 3240º
A soma dos ângulos internos de um icoságono é 3240º.
Podemos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos para calcular o número de lados de qualquer polígono, desde que a soma dos ângulos internos seja dada.
Exemplo 3
Quantos lados possui um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 2340º?
S = (n – 2) * 180º
2340º = (n – 2) * 180º
2340º = 180n – 360º
2340 + 360 = 180n
2700 =
180n
180n = 2700
n = 2700/180
n = 15
O polígono possui 15 lados.
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono regular é 360º.
Para calcular a medida do ângulo externo de um polígono é preciso dividir 360º pelo número de lados da figura poligonal.
Exemplo 4
Quanto mede o ângulo externo do hexágono?
O hexágono possui seis lados, então:
ai = 360º / 6
ai = 60º
Cada ângulo externo de um hexágono mede 60º.
Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.
Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:
Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.
Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.
Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.
Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º
Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.
Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:
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n = 3
Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°
n = 4
Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°
n = 5
Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°
n = 6
Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°
n = n
Si = (n – 2)·180°
Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:
Si = (n – 2)·180°
Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.
ai = Si
n
Soma dos ângulos externos de um polígono regular
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.
Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
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Um polígono é uma figura fechada cujos lados são formados por linhas retas. Em cada vértice de um polígono, existe um ângulo interno e externo, ou seja, os ângulos de dentro e fora da figura fechada. Compreender a relação desses ângulos é bastante útil em diversos problemas de geometria. Também é muito importante saber como calcular a soma dos ângulos internos. Isso pode ser feito por meio de uma simples fórmula, ou então pela divisão do polígono em triângulos.
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1
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2
Conte o número de lados do polígono. Lembre-se que um polígono deve ter ao menos três lados retos.
- Por exemplo, se quiser saber a soma dos ângulos internos de um hexágono, conte os seis lados.
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3
Substitua o valor de
na fórmula. Lembre-se que equivale ao número de lados do polígono. -
4
Encontre o valor de . Para fazê-lo, subtraia 2 do número de lados, e multiplique a diferença por 180. O resultado vai ser, em graus e será a soma dos ângulos internos do polígono.
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1
Desenhe o polígono cujos ângulos você precisa somar. O polígono pode ter qualquer número de lados, e ser regular ou irregular.
- Por exemplo, se quiser saber a soma dos ângulos internos de um hexágono, desenha uma figura de seis lados.
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2
Escolha um vértice. Identifique o vértice A.
- Um vértice é um ponto no qual dois lados de um polígono se encontram.
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3
Desenhe uma linha reta do ponta A até cada outro vértice do polígono. As linhas não devem se cruzar. Ao traçar as linhas, você deverá criar um certo número de triângulos.
- Não é preciso desenhar linhas nos vértices adjacentes, já que eles já são conectados por um lado.
- Por exemplo: em um hexágono, você deve desenhar três linhas, dividindo a figura em quatro triângulos.
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4
Multiplique o número de triângulos criados por 180. Como há 180 graus em cada triângulo, multiplicar a quantidade deles dentro do polígono por 180 resulta na soma dos ângulos internos do polígono.
- Por exemplo, como o hexágono foi dividido em quatro triângulos, calcule para obter 720 graus, ou seja, a soma dos ângulos internos do polígono.
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Dicas
- Confira o resultado usando um transferidor para somar os ângulos internos manualmente. Ao fazê-lo, preste atenção ao desenhar os lados do polígono, pois eles devem ser lineares.
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Materiais Necessários
- Lápis
- Papel
- Transferidor (opcional)
- Caneta
- Borracha
- Régua
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