Represente no plano cartesiano as equações a seguir, usando uma folha de papel quadriculado

Solução gráfica

Abstract

Solução gráfica de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas Dada uma equação do 1º grau com duas incógnitas, existem infinitos pares ordenados que são soluções dessa equação. Vamos considerar o seguinte sistema de equação: { í µí±¥ + í µí±¦ = 7 2í µí±¥ − í µí±¦ = 2. Para determinar alguns desses pares, atribuímos a í µí±¥ qualquer valor e encontramos o valor de í µí±¦. Vamos determinar alguns pares ordenados, que são algumas soluções de sua equação:

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poderiam validar suas respostas. Socialize as estratégias utilizadas por eles. 1.2 O 8º ano D é uma turma com 37 estudantes. Qual poderia ser o número de meninos? Organize todas as possibilidades em uma tabela. Depois, escreva uma expressão algébrica que traduza esse problema e explique o procedimento para resolvê-lo. O número de meninos poderia ser um número entre 1 e 37, inclusive 37. Tabela de possibilidades: Número de meninas (n) 0 1 2 3 (...) 34 35 36 37 Número de meninos (p) 37 36 35 34 (...) 3 2 1 0 p = 37 - n, sendo n a quantidade de meninas e p a quantidade de meninos. 1.3 Elabore um problema envolvendo equações com duas incógnitas. Depois, troque o seu problema com um colega para que confiram as resoluções um do outro. A descrição da resposta será pessoal. Socialize alguns problemas com a turma. CADERNO DO PROFESSOR – VOLUME 3 - MATEMÁTICA ATIVIDADE 2 – PARES ORDENADOS E SUA LOCALIZAÇÃO NO PLANO CARTESIANO Objetivo: Associar pontos e equações lineares de 1º grau com duas variáveis no plano cartesiano. Conversa inicial: Essa atividade tem como foco retomar e explorar o plano cartesiano a partir dos conhecimentos que os estudantes têm sobre o assunto. Essa conversa pode ser ampliada conforme a devolutiva deles. Compreender a localização dos pontos, vai auxiliar na construção dos valores obtidos e representados geometricamente para a equação linear. O uso de softwares de geometria dinâmica, quando for possível utilizar, é uma ferramenta que poderá auxiliar os estudantes a explorar o plano cartesiano e as construções. 2.1 Construa, em uma folha de papel quadriculado, o plano cartesiano e localize os seguintes pares ordenados: A(-1, 2) ; B( 0,3); C(2, -1); D(3,0); E(4,5); F(0,0); G (5,4) 2.2 Analise os pontos que foram marcados no plano cartesiano. Analise os pontos A e C: a localização foi a mesma? Justifique. A localização não foi a mesma, observa-se que a abscissa da coordenada do ponto A (-1, 2) é igual a ordenada do ponto C (2,-1) e a ordenada do ponto A é igual a abscissa do ponto C. 2.3 Explique como localizou os pontos B e D. A descrição da resposta será pessoal. CADERNO DO PROFESSOR – VOLUME 3 - MATEMÁTICA ATIVIDADE 3 – RESULTADOS DE UMA EQUAÇÃO DE 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS Objetivos: Localizar no plano cartesiano pontos pertencentes a uma reta dada. Construir o gráfico de uma equação do 1º grau com duas variáveis. Conversa inicial: Vamos explorar os pontos pertencentes a uma reta, localizando suas coordenadas. Utilizando malhas quadriculadas, oriente os estudantes a construírem o gráfico das equações dadas. 3.1 Observe o plano cartesiano abaixo, onde estão destacados alguns pontos pertencentes à reta que representa uma equação com duas variáveis. Analise e registre na tabela abaixo quais são esses pontos: 3.2 Para cada expressão algébrica a seguir, construa o gráfico atribuindo valores para a variável x. Em seguida, una todos os pontos. Quais expressões geraram uma reta? a) y = 2x – 3 b) y = -3x -1 c) y = x² -1 d) y = x² a) b) Ponto A B C D Par ordenado (9,2) (-1,-3) (-3,-4) (-7,-6) CADERNO DO PROFESSOR – VOLUME 3 - MATEMÁTICA c) d) As expressões cujos gráficos geraram reta foram “a” e “b”. ATIVIDADE 4 – SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS Objetivos: Analisar as possíveis soluções de uma equação do 1º grau com duas variáveis a partir dos pares ordenados e de expressão algébrica. Conversa inicial: a partir dos pares ordenados, o estudante deve reconhecer quais deles, atendem a uma regra que pode ser escrita por uma expressão algébrica. Apresentar diferentes formas para encontrar as possíveis soluções de uma equação linear poderá ampliar o repertório das estratégias utilizadas pelos estudantes. 4.1 Analise a tabela a seguir e identifique os pares ordenados que atendam à regra “o valor do y é o dobro do valor de x”. Em seguida represente-os num plano cartesiano. (0, 0) (1, 2) (-2, -4) (1, -2) (0, 1) (-1, 2) (2, 4) (-2, 4) (2, -4) (-3, 6) (3, -6) (-3, -6) (4, -8) (4, 8) (-4, 8) (5, -10) (-5, -10) (-5, 10) (3,5) (3,2) (5, -2) 4.2 Encontre uma expressão algébrica que descreva esta regra: “o valor do y é o dobro do valor de x”. y = 2x CADERNO DO PROFESSOR – VOLUME 3 - MATEMÁTICA SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 Conversa com o professor: Explorar as principais características do sistema de coordenadas. Recordar o princípio de equivalência, lembrando que, podemos somar ou subtrair duas equações sem comprometer esse princípio. Apresentar alguns exemplos aplicando o princípio de equivalência. A construção do gráfico das equações de um sistema, leva à solução e à identificação se o sistema é possível e determinado ou indeterminado e impossível, fazendo uso ou não de softwares de geometria dinâmica. A representação no plano cartesiano poderá ser com números determinados na própria atividade, para que o estudante identifique os pares e traçando as retas, usando régua ou colando barbante para unir os pontos. ATIVIDADE 1 – SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS Objetivos: Elaborar e resolver sistemas de equação lineares. Conversa inicial: Uma abordagem do assunto pode ser a partir de problemas do cotidiano em que envolvem duas variáveis. Os sistemas de equações lineares podem ser resolvidos a partir de algumas estratégias. Os estudantes podem ser desafiados a resolverem um problema que envolvem essas equações e depois o professor poderá apresentar as maneiras de resolução. 1.1 Para resolver sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas, o professor do 8º ano explicou que existem três maneiras de serem resolvidos: utilizando o método da substituição, método da adição, ou ainda, é possível resolver geometricamente. O professor registrou as duas formas de resolução e distribuiu uma malha quadriculada com a resolução geométrica, conforme as imagens a seguir: CADERNO DO PROFESSOR – VOLUME 3 - MATEMÁTICA Imagine que agora, você tem a missão de explicar para seu colega como resolver esse sistema pelos três métodos. Como você faria essa explicação? Registre os procedimentos. A descrição da resposta será pessoal. Após a conclusão, socialize algumas respostas dos estudantes para compartilhar as diferentes maneiras de se explicar os métodos de resolução. CADERNO DO PROFESSOR – VOLUME 3 - MATEMÁTICA 1.2 Após observar a resolução do exemplo acima, resolva os próximos sistemas escolhendo um dos dois métodos apresentados: substituição ou adição. Nessa atividade, o estudante deve escolher o método que compreendeu para resolver os sistemas. 1.3 Para cada sistema de equações acima, faça a resolução geométrica. Analise o resultado, comparando com a resolução algébrica, registre suas conclusões. a) b) c) Fonte: Elaborado pelos autores Explore com os estudantes que o ponto de intersecção entre as retas é o mesmo ponto das coordenadas encontradas na resolução do sistema de equações do 1º grau com duas variáveis. a) { 𝑥 + 𝑦 = 7 2𝑥 + 𝑦 = 5 x = -2 e y = 9 S= {-2, 9} 𝑏) { 𝑥 + 3𝑦 = 5 −𝑥 + 2𝑦 = 0 x = 2 e y