Grátis 55 pág.
- Denunciar
Pré-visualização | Página 6 de 15
7, 8, 9. Como são 5 valores possíveis para a (ou seja, 5, 6, 7, 8 e 9), no total, existem ( ) 8,2 8! 8! 5× = 5× = 5× = 5×8×7 = 8 – 2 ! 6! A 280 números com algarismos distintos, entre 500 e 1000. E. 42. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) existem? Solução: Os algarismos podem ser iguais ou distintos. Portanto, é elementar ver que há repetições de algarismos, como, por exemplo, nos números 100, 313, 776 e 999. Então, se trata de um arranjo, não simples, mas com repetição. Desta feita, calculamos que existe 35,3 = 5 =A 125 números de 3 algarismos iguais ou distintos. E. 43. Com os algarismos 1, 2, 3, ..., 9 quantos números de quatro algarismos existem, onde pelo menos dois algarismos são iguais? Solução: O arranjo simples n!/(n – p)! nos fornece apenas números com algarismos distintos. Por outro lado, np calcula a quantidade de números com algarismos iguais ou distintos. Desse modo, se Q é a quantidade de números de p algarismos, com pelo menos dois algarismos iguais (então 2 ≤ p ≤ n), que podemos formar com n algarismos, excluindo-se o algarismo zero, então ( ) ! = ! p n,p n Q n – n – p Portanto, com os algarismos 1, 2, 3, ..., 9, podemos formar, nessas condições, ( ) 4 6 9! 9 – = – = 9 65 1 302 4 ! 4 – 3537 números. E. 44. Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8, 9 contém o 2 e não contém o 6? (Lembre-se que o 2 pode ocupar a 1ª, 2ª ou a 3ª posição). Solução: Os algarismos dos números em questão formam triplas da forma (P1, P2, P3), onde (2, P2, P3), (P1, 2, P3) e (P1, P2, 2). Note que devemos fixar o algarismo 2 em uma das três posições P1, P2 ou P3. Precisamos ainda excluir o algarismo 6. Assim, dos algarismos 2, 4, 6, 8, 9 restam apenas arranjos com 4, 8 e 9, dispostos dois a dois. Portanto, há 18 Soluções criadas por Murillo Cabral Silva Fonseca ( ) 3,2 3! 3! 3× = 3× = 3× = 3×3×2×1 = 3 – 2 ! 1! A 18 números com 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8, 9 que contém o 2 e não contém o 6. A ocorrência do numeral 3 como fator no produto 3 × A3,2 se deve ao fato de que o 2 pode ocupar três (1ª, 2ª ou 3ª) posições distintas. E. 45. Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4? Solução: Os arranjos aqui formam quádruplas (1, 4, --, --), (--, 1, 4, --), (--, --, 1, 4), (1, --, 4, --), (--, 1, --, 4) e (1, --, --, 4), totalizando 6 possibilidades para a disposição dos dígitos 1 e 4, com o 1 antes do 4. Assim, o que antes somava um total de 6 dígitos (1, 2, 3, 4, 5, 6), agora engloba apenas 4 (2, 3, 5, 6), pois os dígitos 1 e 4 estão prefixados. Esses quatro dígitos serão tomados dois a dois, pois, fixados os dígitos 1 e 4, restam apenas duas posições em cada quádrupla. Logo, nas condições impostas pelo problema, há ( ) 4,2 4! 4! 6× = 6× = 6× = 6×4×3 = 4 – 2 ! 2! A 72 arranjos. E. 46. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar? Solução: Os números formados devem ser pares. Logo, as triplas devem assumir uma das três formas: (*, *, 2), (*, *, 4) ou (*, *, 6). Das três posições, restam apenas duas, para 5 dos 6 algarismos originais (1, 2, 3, 4, 5, 6). Isto é, fixando-se o 2 na 3ª posição, restam apenas os algarismos 1, 3, 4, 5, 6 para a 1ª e 2ª posições. Por outro lado, fixado o algarismo 4 na 3ª posição, sobram 1, 2, 3, 5, 6. Contudo, caso a última posição fique para o algarismo 6, então ficarão os algarismos 1, 2, 3, 4, 5. Em todo caso, 5 algarismos restantes, dispostos dois a dois. Então, concluímos que com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, podemos formar ( ) 5,2 5! 5! 3× = 3× = 3× = 3×5×4 = 5 – 2 ! 3! A 60 números pares de 3 algarismos distintos. E. 47. Com os algarismos 2, 5, 6, 7, quantos números formados por 3 dígitos distintos ou não são divisíveis por 5? Solução: Um número é divisível por 5 apenas quando é terminado em 0 ou 5. Como o algarismo zero não está na lista 2, 5, 6, 7, então consideraremos apenas o 5. As triplas, portanto, são da forma (#, #, 5). Por serem dígitos iguais ou não, então temos o arranjo 19 Soluções criadas por Murillo Cabral Silva Fonseca com repetição dos quatro algarismos (2, 5, 6, 7) dispostos dois a dois. Assim, podem ser formados 2 4,2 = 4 =A 16 números. ⁂⁂⁂⁂⁂⁂ PERMUTAÇÃO SIMPLES ⁂⁂⁂⁂⁂⁂ E. 48. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1, 2, 4, 6, 8, que lugar ocupa o número 68 412? Solução: Em ordem crescente, são: (1, 2, #, #, #) → 3! = 3 × 2 × 1 = 6 números; (1, 4, #, #, #) → 3! = 6 números; (1, 6, #, #, #) → 3! = 6 números; (1, 8, #, #, #) → 3! = 6 números; (2, 1, #, #, #) → 3! = 6 números; (2, 4, #, #, #) → 3! = 6 números; (2, 6, #, #, #) → 3! = 6 números; (2, 8, #, #, #) → 3! = 6 números; (4, 1, #, #, #) → 3! = 6 números; (4, 2, #, #, #) → 3! = 6 números; (4, 6, #, #, #) → 3! = 6 números; (4, 8, #, #, #) → 3! = 6 números; (6, 1, #, #, #) → 3! = 6 números; (6, 2, #, #, #) → 3! = 6 números; (6, 4, #, #, #) → 3! = 6 números; (6, 8, 1, #, #) → 2! = 2 × 1 = 2 números; (6, 8, 2, #, #) → 2! = 2 números; (6, 8, 4, 1, 2) → 0! = 1 número. Portanto, 15 × 6 + 2 × 2 + 1 = 95 é a posição do número 68 412. A sequência continua com (6, 8, 4, 2, 1) e com as permutações simples para (8, 1, #, #, #), (8, 2, #, #, #), (8, 4, #, #, #) e (8, 6, #, #, #), totalizando 120 números, sendo 12 468 o menor e 86 421 o maior. E. 49. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43 892? Solução: Em ordem crescente, são: (2, 3, #, #, #) → 3! = 6 números; (2, 4, #, #, #) → 3! = 6 números; (2, 8, #, #, #) → 3! = 6 números; (2, 9, #, #, #) → 3! = 6 números; (3, 2, #, #, #) → 3! = 6 números; (3, 4, #, #, #) → 3! = 6 números; (3, 8, #, #, #) → 3! = 6 números; (3, 9, #, #, #) → 3! = 6 números; (4, 2, #, #, #) → 3! = 6 números; (4, 3, 2, #, #) → 2! = 2 números; (4, 3, 8, 2, 9) → 0! = 1 número; 20 Soluções criadas por Murillo Cabral Silva Fonseca (4, 3, 8, 9, 2) → 0! = 1 número. Portanto, 9 × 6 + 1 × 2 + 2 × 1 = 58 é a posição do número 43 892. A sequência continua com (4, 3, 9, 2, 8), (4, 3, 9, 8, 2) e com as permutações simples para (8, 2, #, #, #), (8, 3, #, #, #), (8, 4, #, #, #), (8, 9, #, #, #), (9, 2, #, #, #), (9, 3, #, #, #), (9, 4, #, #, #) e (9, 8, #, #, #), totalizando 108 números, sendo 23 489 o menor e 98 432 o maior. E. 50. De quantas formas podemos preencher um cartão de loteria esportiva, com um único prognóstico duplo e todos os outros, simples? Solução: Antes de mostrar a solução deste problema, iremos entender como funcionava a extinta loteria esportiva, atual loteca. Ao contrário dessa última, onde se deve marcar possíveis resultados para 14 jogos, na loteria esportiva o jogador marcava palpites para apenas 13 jogos. Então, usaremos n = 13, e não 14, pois o problema não trata da loteca, mas da loteria esportiva. Nela, o apostador marcava o seu palpite para cada um dos 13 jogos do concurso, assinalando uma das três colunas, duas delas (duplo) ou três (triplo). Para saber mais, pesquise! Pois bem, em palpites duplos o jogador pode escolher vitória para o time 1 ou empate, ou vitória para o time 2 ou empate, ou vitória para o time 1 ou vitória para o time 2. No caso de aposta dupla, portanto, temos essas 3 possibilidades. Para n jogos, teremos 3n. Por outro lado, tendo realizado a aposta dupla, restam n – 1 jogos com apostas simples. Nelas, o apostador pode marcar vitória para o time 1, ou empate, ou vitória para o time 2, totalizando 3 possibilidades. Para n jogos, teremos 3n – 1. Assim,