Porcentagens
Os números fracionários (ou decimais) têm uma ligação direta com o cálculo da porcentagem.
A porcentagem nada mais é do que uma multiplicação por uma fração de denominador cem, como veremos nos exemplos a seguir.
Antes, devemos portanto recordar essa transformação:
SITUAÇÃO 1:
O salário de uma pessoa é de R$ 800,00 qual a quantia que ele receberá se o salário aumentar 15%?
Solução:
de
Logo, o salário após o aumento será de (800 + 120) R$ 920,00.
SITUAÇÃO 2:
Em um grupo de 75 pessoas, verificou-se que 8% usavam óculos. Quantas pessoas desse grupo não usavam óculos?
Solução:
de
Logo, 69 pessoas não usavam óculos.
Noções de matemática financeira
Terminologia básica
Quando você deposita uma quantia monetária (Capital: C) em uma caderneta de poupança, você está fornecendo um crédito à empresa. A compensação recebida por esse crédito é o juro (J).
a. Taxa de juros (i) – é o valor do juro numa unidade de tempo (mês, trimestre, semestre, ano, etc), expresso como uma porcentagem do capital (i = 5% ao mês: significa que a cada mês, você recebe 5 de juro para cada 100 de capital aplicado).
b. Taxas de juros proporcionais – duas taxas i1 e i2, relativas respectivamente aos períodos de tempos n1 e n2, são proporcionais se, supondo n1 e n2 expressos na mesma unidade, se tem: .
Assim, por exemplo, a taxa semestral de 12% é proporcional à taxa mensal de 2%, pois: .
c. Taxas de juros equivalentes – duas taxas i1 e i2 são equivalentes se, a despeito de estarem referidas a períodos de tempos diferentes, produzem montantes iguais, quando aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo prazo.
d. Montante (M) – É a soma do capital com os juros auferidos: M = C + J
Regime de capitalização simples
No regime simples, os juros gerados em cada unidade de tempo são sempre constantes e iguais ao produto do capital pela taxa de juros: J = C.i
Como J = C.i, em cada unidade de tempo; após um período de n unidades de tempo, o total dos juros auferidos será dado por: J = C.i.n
A expressão do montante será:
No regime de capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Com efeito, por exemplo, o montante M1, gerado por R$100,00, quando aplicado à taxa de 12% ao semestre pelo prazo de 1 ano é igual ao montante M2, gerado pelo mesmo capital, quando aplicado à taxa de 2% ao mês pelo mesmo prazo.
De fato, .
Exemplos:
a. O capital de R$530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual será o valor do montante, após 5 meses?
Solução:
Capital (C): 530,00
Taxa (i): 3% ao mês
Período (n): 5 meses
O montante após 5 meses será de R$ 609,50.
b. Um capital de R$ 600,00 aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1.080,00 após um certo tempo. Qual foi esse tempo?
Solução:
Capital (C): 600,00
Taxa (i): 20% ao ano
Montante (M): 1080,00
anos.
O tempo necessário será de 4 anos.
c. Que capital, aplicado em regime simples de capitalização, à taxa de 1,5% ao mês, renderá juros de R$ 90,00 em um trimestre?
Solução:
Taxa (i): 1,5% ano mês
Tempo (n): 1 trimestre (3 meses)
Juros (J): 90,00
O capital aplicado deverá ser de R$ 2000,00.
d. A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4.500,00, no regime de capitalização simples, para que após 4 meses, o montante seja de R$ 5.040,00?
Solução:
Capital (C): 4500,00
Tempo (n): 4 meses
Montante (M): 5040,00
ao mês
A taxa deverá ser de 3% ao mês.
e. Quanto renderá de juros a quantia de R$ 600,00, aplicada no regime de capitalização simples, com taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses?
Solução:
Capital (C): 600,00
Taxa (i): 2,5% ao mês
Tempo (n): 1 ano e 3 meses (15 meses)
O capital renderá R$ 225,00.
Os juros simples são calculados com base no capital inicial (C), período a período. Por isso o valor dos juros simples é constante em cada período de tempo. Observe o exemplo a seguir:
Carlos aplicou R$ 500,00 a taxa de 3% no regime de juros simples. Qual será o montante no fim de 8 meses de aplicação?
Após 8 meses, Carlos terá um montante de R$ 620,00
Exemplo 2
Fernando aplicou R$ 1.200,00 em uma instituição bancária que paga juros simples de 2,5% ao mês. Qual será o montante no final de 10 meses?
O montante do juro simples e dado pela expressão: M = C + J
Fórmula para o cálculo de juros simples: J = C * i * t , em que:
J = juros
C = capital
i = taxa
t = tempo (período de aplicação)
M = montante
Dados do exercício:
J = ?
C = 1.200
i = 2,5% = 2,5/ 100 = 0,025
(taxa unitária)
t = 10 meses
Desenvolvendo
J = 1200 * 0,025 * 10
J = 300
M = 1200 + 300
M = 1500
O montante ao final de 10 meses será de R$1.500,00.
Exemplo 3
Um capital de R$ 2.000,00, aplicado no sistema de juros simples, produziu um montante de R$ 2.720,00 após 12 meses de aplicação. Qual foi a taxa de juros?
Dados:
C = 2.000
M = 2.720
J = M – C = 2720 – 2000 = 720
t = 12 meses
i = ?
J
= C * i * t
720 = 2000 * 12 * i
720 = 24000 * i
i = 720/24000
i = 0,03 ou 3%
A taxa de juros usada foi de 3%.
Exemplo 4
Um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 1.300,00 após certo tempo. Qual o tempo da aplicação?
C = 1.000
M = 1.300
J = 1300 – 1000 = 300
i = 2% = 2/100 = 0,02
t = ?
J = C * i * t
300 = 1000 * 0,02 * t
300 = 20 *
t
t = 300/20
t = 15 meses
O tempo de aplicação foi de 15 meses.
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