Matemática
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Marcelo Rigonatto
Polígonos
Através de uma demonstração simples, podemos constatar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo equivale a 180o. O mesmo pode ser feito para os demais polígonos convexos. Sabendo o número de lados de um polígono, conseguimos determinar a soma das medidas de seus ângulos internos.
Um quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos, portanto a soma das medidas de seus ângulos internos é:
S = 2∙180O = 360O
Um pentágono pode ser dividido em três triângulos, logo, a soma das medidas de seus ângulos internos é:
S = 3∙180O = 540O
Partindo da mesma ideia, um hexágono pode ser dividido em 4 triângulos. Assim, a soma das medidas de seus ângulos internos é:
S = 4∙180O = 720O
Generalizando, se um polígono convexo possui n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos será dada por:
Exemplo 1. Determine a soma das medidas dos ângulos internos de um icoságono.
Solução: Icoságono é um polígono convexo com 20 lados, logo, n = 20. Assim, teremos:
S = (n - 2)∙180o
S = (20 - 2)∙180o
S = 18∙180o
S = 3240o
Exemplo 2. Quantos lados possui um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1440o?
Solução: Sabemos que S = 1440o e queremos determinar a quantidade de lados que esse polígono possui, ou seja, determinar o valor de n. Vamos resolver o problema utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos.
Portanto, o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1440o é o decágono, que apresenta 10 lados.
Observação: A soma dos ângulos externos de um polígono qualquer é igual a 3600.
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1- Um terreno ideal para fazer sua moradia, deve ser regular. Para qualquer que seja o formato do terreno ele é considerado um Polígono Convexo? Porquê?
Sim, porque um polígono que é convexo pode ser regular se, e somente se, tem todos os lados e ângulos congurentes.
2- Caso uma pessoa compre um terreno plano no formato de um retângulo, onde a frente mede 15 m, mede 8 m de comprimento. Quanto metro de arame essa pessoa gastaria se fosse cercar o terreno, com duas voltas de arame?
Basta fazer 15*8 e temos 120 metros quadrados, logo o metro de arame será 120*2, ou seja, 240 metros de arame a pessoa gastaria para cercar o terreno.
3-quantos metros quadrados de cerâmica a mesma pessoa do exercício anterior gastaria nesse mesmo terreno?
Somente 120 metros quadrados.
4-Qual é a definição de Polígono regular?
Um polígono que possui os lados congruentes é eqüilátero. Se possui os ângulos congruentes é eqüiângulo. Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os lados e ângulos congruentes.
5-Qual é a definição de Polígono convexo?
Um polígono simples é um polígono convexo se, e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina.
6-Qual é o número de diagonais de um polígono regular cuja soma das medidas dos seus ângulos internos é 1440º ?
Temos que a soma dos ângulos internos (Si) de um polígono é Si= (n-2)*180, logo temos que 1440º=(n-2)*180. Portanto, n = 10.
Agora o número de diagonais (d) de um polígono de n lados é dado por d=((n(n-3))/2, ou seja, d=(10*(10-3)/2, logo d=35. Portanto o número de diagonais do polígono regular é 35 diagonais.
7-Observando o polígono abaixo, o valor de X será:
A soma dos ângulos externos (Se) de um polígono convexo é Se=360º. Assim temos que, 2x+11x+25º+3x+46º+15x-3º+9x-8º=360º.
Portanto temos que x = 15/2
8-Calcule a medida da área do pentágono na figura a seguir, considerando as medidas que foram colocadas nela.
Aqui você pode traçar um segmento paralelo ao de 50 cm, partindo do segmento de 30 cm. Em seguida, é possível utilizar as relações métricas para determinar a medida dos outros 2 lados restantes e assim encontrar a área.
9-Calcule o perímetro do polígono:
O perímetro é a soma de todos os lados do polígono, logo basta somar. Temos que o perímetro é 52 cm.
10-Calcule a área de um trapézio de bases medindo 10 cm e 5 cm e altura 6 cm.
Área do trapézio = ((5+10)*6)/2 = 45 cm^2