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TEOREMA MILITAR LISTA 7- GEOMETRIA PLANA- POLÍGONOS PROF. CESAR ANNUNCIATO NÍVEL 1- ESA e EEAR 1.(EEAR – 2017.1) Ao somar o número de diagonais e o número de lados de um dodecágono obtém-se: A) 66 B) 56 C) 44 D) 42 2. (EEAR – 2013) Se 𝐴 é o número de diagonais de um icoságono e 𝐵 o número de diagonais de um decágono, então 𝐴 − 𝐵 é igual a: A) 85 B) 135 C) 165 D) 175 3. (EEAr – 2015) Se um dos ângulos internos de um pentágono mede 100° então a soma dos outros ângulos internos desse polígono é A) 110° B) 220° C) 380° D) 440° 4. (EEAR – 2007) Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso por 𝑛 e por 𝑛 + 3. Sabendo que um polígono tem 18 diagonais a mais que o outro, o valor de 𝑛 é: A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 5. (EEAR – 2006) Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 três polígonos convexos. Se 𝐶 tem 3 lados a mais que 𝐵, e este tem 3 lados a mais que 𝐴, e a soma das medidas dos ângulos internos dos três polígonos é 3240°, então o número de diagonais de 𝐶 é: A) 46 B) 44 C) 42 D) 40 6. (EEAR – 2017.2) O polígono regular cujo ângulo externo mede 24° tem _____ lados. A) 20 B) 15 C) 10 D) 5 7.(EEAR – 2018.1) A metade da medida do ângulo interno de um octógono regular, em graus, é: A) 67,5 B) 78,6 C) 120 D) 85 8.(EEAR – 2008) Em um polígono regular, a medida de um ângulo interno é o triplo da medida de um ângulo externo. Esse polígono é o A) hexágono. B) octógono. C) eneágono. D) decágono. 9.(EsSA – 2007) Se um polígono regular é tal que a medida de um ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo, o número de lados desse polígono é: A) 2 B) 9 C) 6 D) 4 E) 8 10. (EsSA – 2007) Considere um polígono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. .. Sabe-se que as mediatrizes dos lados 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 formam um ângulo de 20° e sua região correspondente contém os vértices 𝐵 e 𝐶 do polígono. Assim sendo, quantas diagonais deste polígono passam pelo centro, dado que o seu número de vértices é maior que seis? A) 17 B) 15 C) 16 D) 18 E) 14 TEOREMA MILITAR LISTA 7- GEOMETRIA PLANA- POLÍGONOS PROF. CESAR ANNUNCIATO NÍVEL 2 1. (G1 - cftmg 2018) Considere um hexágono regular ABCDEF. A partir dos pontos médios dos lados traça- se um novo hexágono A 'B'C'D'E'F'. A medida do ângulo ˆBA'B', em graus, é a) 20. b) 30. c) 40. d) 60. 2. (G1 - ifce 2016) Um hexágono convexo possui três ângulos internos retos e outros três que medem y graus cada. O valor de y é a) 135. b) 150. c) 120. d) 60. e) 30. 3. (G1 - ifpe 2019 - Adaptada) As lutas de UFC acontecem num ringue com formato de um octógono regular, conforme a figura abaixo. Para a montagem das laterais do ringue, o responsável pelo serviço precisaria da medida do ângulo externo formado entre dois lados consecutivos, de modo que pudesse montar sem erros. Consultando o manual do ringue, ele verificou que o ângulo que precisava media a) 45 . b) 60 . c) 120 . d) 135 . e) 150 . 4. (Uece 2019) Considere MXYZW um pentágono regular e XYO um triângulo equilátero em seu interior (o vértice O está no interior do pentágono). Nessas condições, a medida, em graus, do ângulo ˆXOZ é a) 116. b) 96. c) 126. d) 106. 5. (G1 - ifce 2019) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 7 2 do seu ângulo externo é a) octógono. b) dodecágono. c) decágono. d) icoságono. e) eneágono 6. (G1 - utfpr 2016) O valor de x no pentágono abaixo é igual a: a) 25 . b) 40 . c) 250 . d) 540 . e) 1.000 . 7. (Uece 2016) Se a partir de cada um dos vértices de um polígono convexo com n lados podemos traçar tantas diagonais quanto o total das diagonais de um hexágono convexo, então, o valor de n é a) 9. b) 10. c) 11. d) 12. 8. (G1 - utfpr 2016) O número de diagonais de um polígono regular cujo ângulo externo mede 18 é: a) 5. b) 170. c) 14. d) 135. e) 275. TEOREMA MILITAR LISTA 7- GEOMETRIA PLANA- POLÍGONOS PROF. CESAR ANNUNCIATO 9. (G1 - cftmg 2015) Somando-se todos os ângulos internos de três polígonos convexos obtém-se 2160 . Sabe-se que o número de lados desses polígonos é n 2,− n e n 2.+ Dentre eles, o que possui menor número de lados é um a) triângulo. b) quadrilátero. c) pentágono. d) hexágono. 10. (G1 - utfpr 2015) Os ângulos externos de um polígono regular medem 15 . O número de diagonais desse polígono é: a) 56. b) 24. c) 252. d) 128. e) 168. 11. (G1 - ifsul 2015) Sabe-se que a medida de cada ângulo interno de um polígono regular é 144 , então qual é o número de diagonais de tal polígono? a) 10 b) 14 c) 35 d) 72 12. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. GABARITO NÍVEL 1 1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. E 10. D GABARITO NÍVEL 2 Resposta da questão 1: [B] Como um hexágono regular possui como soma dos ângulos internos 720 e cada ângulo mede 120 logo o ângulo B mede 120 e como o novo hexágono é traçado nos pontos médios temos que A'B BB'= e assim o triangulo A'B'B é isósceles. Nesse sentido, sabendo que o ângulo B mede 120 tem-se que os outros dois ângulos possuem a mesma medida e assim: A ' 30 A ' B' 120 180 B' 30 = + + = = Resposta da questão 2: [B] A soma dos ângulos internos de um hexágono é dada por: S 180 (6 2) 720= − = Portanto: 3 90 3 y 720 3y 450 y 150 + = = = Resposta da questão 3: [A] Calculando: 5 360 e 45 8 = = Resposta da questão 4: [C] Considere a figura. Desde que o triângulo XYO é equilátero, temos ZY OY YX XO.= = = Ademais, como cada ângulo interno do pentágono regular MXYZW mede TEOREMA MILITAR LISTA 7- GEOMETRIA PLANA- POLÍGONOS PROF. CESAR ANNUNCIATO 180 (5 2) 108 , 5 − = temos ZYO 108 60 48 .= − = Por outro lado, sendo o triângulo YZO isósceles de base ZO, vem 180 48 ZOY 66 . 2 − = = A resposta é XOZ XOY ZOY 60 66 126 . = + = + = Resposta da questão 5: [E] Observação: Todo polígono regular é convexo. Considerando que e é a medida do ângulo externo do polígono regular de n lados e 7e 2 a medida de seu ângulo interno, temos a seguinte equação: i e 180 7e e 180 2 7e 2e 360 9e 360 e 40 360 40 n 9 n + = + = + = = = = = Portanto, o polígono citado é um eneágono regular. Resposta da questão 6: [B] A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser calculada através da fórmula a seguir, onde n é o número de lados do polígono. Ou seja: i iS 180 (n 2) 180 (5 2) 180 3 S 540= − = − = → = Assim, sabendo que a soma dos ângulos internos é 540 , pode-se escrever: 5 540 2x 30 x 2x 2x 50 4x 40 2 5 540 10x x 40 1000 25x x 40 2 = + + + + + + − = + + → = → = Resposta da questão 7: [D] Um hexágono convexo possui 6 (6 3) 9 2 − = diagonais. Portanto, temos n 3 9,− = o que implica em n 12.= Resposta da questão 8: [B] ( ) ( ) externos n n vértices ou lados S 360 n 18 n 20 vértices ou lados n n 3 20 20 3 Diagonais 170 2 2 = = = → = − − = = = Resposta da questão 9: [B] Calculando a soma dos ângulos internos de cada polígono, temos: 180 (n 2 2) 180 (n 2) 180 (n 2 2) 2160 − − + − + + − = Dividindo os dois membros da igualdade por 180 , temos: n 4 n 2 n 12 3n 18 n 6− + − + = = =
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