Os triângulos são polígonos formados por três lados. Dentro do conjunto de todos os polígonos, os triângulos são os mais simples, por apresentarem menos lados, mas possuem propriedades e características complexas. Uma delas se refere à soma de seus ângulos internos, que é sempre igual a 180º, independentemente do formato do triângulo, de seu tamanho ou de qualquer outra característica.
Sendo assim, um triângulo ABC, com ângulos internos a, b e c, possui a seguinte propriedade:
a + b + c = 180
Essa propriedade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, mas é usada para descobrir a medida de um dos ângulos do triângulo quando se conhece as medidas dos outros dois.
Exemplos
1º exemplo – Qual é a medida do ângulo α na figura a seguir?
Solução:
Sabendo que os ângulos internos de um triângulo totalizam 180°, podemos escrever:
α + 50 + 50 = 180
α = 180 – 50 – 50
α = 80°
2º exemplo – Calcule o valor de x no triângulo a seguir.
Solução:
Como já sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, podemos escrever:
2x + 3x + 4x = 180
9x = 180
x = 180
9
x = 20
Demonstração
O procedimento usado para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180° será feito a seguir em etapas e baseia-se em outro conhecimento: dos ângulos formados em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Para compreender bem a demonstração, lembre-se: ângulos alternos internos são congruentes. Além disso, lembre-se também de que as semirretas que definem um ânguloraso (de 180°) formam uma reta. Isso significa que qualquer ângulo observado sobre uma reta terá essa medida.
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Etapa 1: Desenhar um triângulo ABC cuja base é BC. Observe apenas que esse triângulo é aleatório, pode ser qualquer triângulo, e que a base também pode ser AC ou BA que o resultado obtido será o mesmo.
Etapa 2: Sobre o vértice A, trace a reta paralela ao lado BC, como mostra o exemplo a seguir:
Etapa 3: Colocar sobre esse desenho os ângulos internos α, β e γ do triângulo e os ângulos θ e λ que foram formados no processo:
Etapa 4: Observe que os ângulos θ e β são alternos internos. Isso significa que são congruentes. O mesmo acontece com γ e λ, que também são alternos internos. Logo, podemos trocar θ por β e λ por γ na imagem. Assim, obteremos o esquema ilustrado pela imagem a seguir.
Etapa 5: Observar que a soma dos ângulos realmente é 180°. Para isso, note que os ângulos na figura a seguir, que foram circulados, ao mesmo tempo, têm a mesma medida dos ângulos internos do triângulo e os três juntos formam um ângulo raso, portanto:
α + β + γ = 180°
Nesta sala, vamos obter uma importante relação entre ângulos externos e ângulos internos de um triângulo: O teorema do ângulo externo. |
Se necessário, veja algumas definições aqui, para que você entenda tudo bem direitinho…. |
Teorema do ângulo externo
Com esta primeira planilha dinâmica, podemos observar duas relações entre um ângulo externo e os ângulos internos de um triângulo. |
Observando . . .
Na planilha dinâmica abaixo, você poderá obter vários triângulos.
Em cada triângulo destacamos a medida de um de seus ângulos externos e, também, as medidas dos três ângulos internos; assim, observe e anote as medidas dos ângulos destacados.
Depois de observar alguns exemplos, tente estabelecer uma relação genérica entre a medida de um ângulo externo e a medida do seu interno
adjacente.
Tente também estabelecer uma relação genérica entre a medida de um ângulo externo e as medidas dos seus internos não adjacentes.
E então, o que você conseguiu concluir? |
Um primeiro resultado
No gif animado abaixo, podemos ver alguns triângulos e, para cada um, as respectivas medidas de um ângulo externo e do seu interno adjacente.
A medidas são apresentadas com valores aproximados.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Vale a pena registrar essa primeira observação, para depois tentarmos justificá-la. |
E agora o nosso resultado principal! |
O teorema do ângulo externo
No gif animado abaixo, podemos ver alguns triângulos e as respectivas medidas de alguns ângulos externos e de seus internos não adjacentes.
Aqui, também, as medidas são apresentadas com valores aproximados.
OBMEP_ srdg, criado com o
GeoGebra
Vamos registrar o resultado observado. |
E aí, disposto a fazer alguns problemas? |
Equipe COM – OBMEP
Se for conveniente, você pode utilizar a primeira planilha dinâmica off-line. Para isso, copie o arquivo abaixo e abra-o no GeoGebra do seu computador ou tablet. |
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