O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos. Em outras palavras, todo número que é inteiro e positivo é natural, além disso, como o zero é inteiro, mas não é negativo, ele também é um número natural.
Assim, a lista dos números naturais é a seguinte:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
E assim por diante, seguindo esse mesmo padrão de formação.
Note que essa sequência numérica é a que usamos para contar. Cada um desses símbolos representa uma quantidade, portanto, partindo do nada, uma unidade, duas unidades etc. Uma outra maneira de representar esse conjunto é usando a notação específica para conjuntos, na qual as reticências significam que a sequência continua nessa mesma ordem e padrão de formação:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Nessa notação, N é o símbolo que representa o conjunto dos números naturais.
A ideia de sucessor
O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros e não contém números repetidos, por isso, é possível escolher, entre dois números naturais distintos, aquele que é maior e aquele que é menor. Quando um número natural x é maior do que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é sucessor de y. Assim:
x é sucessor de y se x + 1 = y
Se olharmos na lista dos números naturais, colocada em ordem crescente, o sucessor de um número natural n é sempre o próximo número à sua direita. Logo:
O sucessor de 7 = 8
O sucessor de 20 = 21
etc.
Perceba também que todo número natural possui sucessor, assim, o sucessor do zero é 1, o sucessor de 1 é 2 …
Essa característica garante que, independentemente do número natural escolhido, e por maior que ele seja, sempre existirá um número natural uma unidade maior que ele. Portanto, o conjunto dos números naturais é infinito.
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A ideia de antecessor
Quando um número natural x é menor que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é o antecessor de y. Assim:
x é antecessor de y se x – 1 = y
Olhando a lista de números naturais em ordem crescente, verificamos que o antecessor de um número natural n é o número à sua esquerda. Logo:
O antecessor de 7 = 6
O antecessor de 20 = 19
etc.
Nem todo número natural possui antecessor. Na realidade, apenas o zero não possui, pois ele é o primeiro número natural e também porque 0 – 1 = – 1, que não é um número natural. Assim sendo, concluímos que o conjunto dos números naturais é limitado.
Sim, é possível que um conjunto seja limitado e infinito ao mesmo tempo. O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente pelo zero, mas ilimitado superiormente e, por isso, é infinito.
Subconjuntos dos números naturais
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos muito conhecidos:
1 – Conjunto dos números primos (P): é formado por todos os números que são divisíveis apenas por 1 e por si mesmo.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
2 – Conjunto dos números compostos (C): é formado por todos os números que não são primos.
C = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …}
3 – Conjunto dos quadradosperfeitos (Q): é formado por todos os números que são resultados de uma potência em que o expoente é 2.
Q = (1, 4, 9, 16, 25, 36, …)
A definição de um número real é tão ampla que abrange quase todos os números no universo matemático. Números inteiros e números inteiros são um subconjunto de números reais, assim como números racionais e irracionais. O conjunto de números reais é indicado pelo símbolo ℝ.
Números inteiros e números inteiros
Os números que normalmente usamos para contar são conhecidos nos números naturais (1, 2,
3 ...). Quando você inclui zero, você tem um grupo conhecido como números inteiros (0, 1, 2, 3 ...). Inteiros são o conjunto de números que inclui todos os números inteiros, juntamente com as versões negativas dos números naturais. O conjunto de números inteiros é representado por ℤ.
Números Racionais
Números que normalmente pensamos como frações compõem o conjunto de números racionais. Uma fração é um número representado como uma razão entre dois números inteiros, a
e
b
, no formato a /b
, onde b
não é igual a zero. Uma fração com zero no lado direito de sua razão é indefinida ou indeterminada. Um número racional também pode ser representado na forma decimal. A expansão decimal de um número racional sempre terminará ou terá um padrão de números que se repete à direita do ponto decimal. Todos os números inteiros são números racionais, pois qualquer número inteiro pode ser representado pela razão a /1
. O conjunto racional
de números é representado por ℚ.
Números irracionais
O conjunto de números que não podem ser representados como uma razão entre números inteiros é chamado irracional. Quando representado na forma decimal, um número irracional não termina e possui um padrão não repetitivo de números à direita do ponto decimal. Não há símbolo padrão para o conjunto de números irracionais. O conjunto de números racionais e irracionais é mutuamente exclusivo, o que significa que todos os números reais são
racionais ou irracionais, mas não os dois.
Números reais e a linha numérica
O conjunto de números reais representa um conjunto ordenado de valores que podem ser representados em uma linha numérica desenhada horizontalmente, com valores crescentes para a direita e valores decrescentes para a esquerda. Todo número real corresponde a um ponto discreto nessa linha, conhecido como coordenada. A linha numérica se estende até o infinito nas duas direções, o que significa que o conjunto
de números reais possui um número infinito de membros.
Números complexos
Existem algumas equações matemáticas para as quais a solução não é um número real. Um exemplo é uma fórmula que inclui a raiz quadrada de um número negativo. Como o quadrado de dois números negativos sempre resulta em um número positivo, a solução parece impossível. Um conjunto de números conhecido como números complexos inclui números imaginários, como a raiz quadrada de um número negativo. O conjunto de
números complexos é separado do conjunto de números reais e é representado pelo símbolo padrão ℂ.