Obter o número de anagramas formados com as letras da palavra república

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x - 1)   x ( x – 1) (x –2) - 3x ( x – 1) =0  x( x – 1)[ x – 2 – 3 ] = 0 x = 0 (não convém) ou x = 1 ( não convém) ou x = 5 (convém) S = 5 3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Solução: Essa mesma aplicação já foi feita, usando-se o prin- cipio fundamental da contagem. Utilizando-se a fórmula, o número de arranjos simples é: A 9, 3 =9 . 8 . 7 = 504 números Observação: Podemos resolver os problemas sobre arranjos simples usando apenas o principio fundamental da contagem. Exercícios 1) Calcule: a) A8,1 b) A8,2 c ) A8,3 d) A8,4 2) Efetue: a) A7,1 + 7A5,2 – 2A4,3 – A 10,2 b) 1,102,5 4,72,8 AA AA   3) Resolva as equações: a) A x,2 = A x,3 b) A x,2 = 12 c) A x,3 = 3x(x – 1) FATORIAL Definição:  Chama-se fatorial de um número natural n, n  2, ao produto de todos os números naturais de 1 até n. Assim :  n ! = n( n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1, n  2 (lê-se: n fatorial)  1! = 1  0! = 1 A n ,p = n . (n -1) . (n –2) . . . (n – (p – 1)),   IN n p, e  np Apostilas Exitus Raciocínio Lógico 22 Fórmula de arranjos simples com o auxílio de fatorial: Aplicações 1) Calcular: a) 5! c) ! 6 ! 8 e) 2)! - (n ! n b) ! 4 ! 5 d) ! 10 ! 10 ! 11  Solução: a) 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 b) 5 ! 4 ! 4 5 ! 4 ! 5    c) 56 ! 6 ! 6 7 8 ! 6 ! 8    d)   12 ! 10 111! 10 !10 ! 10 ! 10 11 ! 10 ! 10 ! 11       e)      nn n    2 ! 2 -n ! 2 -n 1 -n 2)! -(n !n 2) Obter n, de modo que A n,2 = 30. Solução: Utilizando a fórmula, vem :  30 2)! - (n ! 2) - n ( 1) - n ( n30 2)! - (n ! n n = 6 n2 – n – 30 = 0 ou n = –5 ( não convém) 3) Obter n, tal que: 4 . A n-1,3 = 3 . A n,3. Solução:                 ! 1 - n ! n3 ! 4 - n ! 3 - n 4 ! 3 - n ! n3 ! 4 - n ! 1 - n 4          21n n312n4 ! 1 - n ! 1 - n n3 ! 4 - n ! 4 - n 3 - n 4    4) Obter n, tal que : 4 ! n ! ) 1n ( - ! ) 2 n (   Solução:   4 ! ! n ) 1 n ( - !n ) 1n ( ) 2 n ( n   4 ! 1- 2 n ) 1 n ( !n  n n + 1 = 2 n =1  (n + 1 )2 = 4 n + 1 = –2  n = –3 (não convém ) Exercícios 1) Assinale a alternativa correta: a) 10 ! = 5! + 5 ! d) ! 2 ! 10 = 5 b) 10 ! = 2! . 5 ! e) 10 ! =10. 9. 8. 7! c) 10 ! = 11! -1! 2) Assinale a alternativa falsa; a) n! = n ( n-1)! d) ( n –1)! = (n- 1)(n- 2)! b) n! = n(n - 1) (n - 2)! e) (n - 1)! = n(n -1) c) n! = n(n – 1) (n - 2) (n - 3)! 3) Calcule: a) ! 10 ! 12 c) ! 4 ! 3 ! 7 b) ! 5 ! 5 ! 7  d) ! 5 ! 6 - ! 8 4) Simplifique: a) ! 1) - n ( ! n d) ! 1) - n ( n ! n b)     2 ! 1 n ! n ! 2 n   e) ! M ! ) 1 - M ( 2 - ! 5M c) ! n ! ) 1 n ( ! n  5) Obtenha n, em: a) 10 ! n 1)!(n   b) n!+( n - 1)! = 6 ( n - 1)! c) 6 2)! - (n 1)! - (n n  d) (n - 1)! = 120 6) Efetuando 1)! (n n ! n 1   , obtém-se: a) ! 1)(n 1  d) ! 1)(n 1 2n   b) ! n 1 e) 0 c) 1 - n ! 1) n ( ! n  7) Resolva as equações: a) A x,3 = 8A x,2 b) A x,3 = 3 . ( x - 1) 8) Obtenha n, que verifique 8n ! = 1 n ! 1) (n ! 2) (n       lN np, e n p ,! pn ! nA P,N   Pn = n ! Apostilas Exitus Raciocínio Lógico 23 9) O número n está para o número de seus arranjos 3 a 3 como 1 está para 240, obtenha n. PERMUTAÇÕES SIMPLES Introdução: Consideremos os números de três algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2 e 3. Esses números são : 123 132 213 231 312 321 A quantidade desses números é dada por A3,3= 6. Esses números diferem entre si somente pela posi- ção de seus elementos. Cada número é chamado de permutação simples, obtida com os algarismos 1, 2 e 3. Definição: Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se per- mutação simples dos n elementos de l a toda a seqüên- cia dos n elementos. O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn. OBSERVAÇÃO: Pn = A n,n . Aplicações 1) Considere a palavra ATREVIDO. a) quantos anagramas (permutações simples) podemos formar? b) quantos anagramas começam por A? c) quantos anagramas começam pela sílaba TRE? d) quantos anagramas possuem a sílaba TRE? e) quantos anagramas possuem as letras T, R e E juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e terminam em consoante? Solução: a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições disponíveis. Assim: Ou então, P8 = 8 ! = 40.320 anagramas b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; assim, devemos distribuir as 7 letras restantes em 7 posições, Então: c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas pe- la sílaba TRE, devemos distribuir as 5 letras restantes em 5 posições. Então: d) considerando a sílaba TRE como um único elemento, devemos permutar entre si 6 elementos, e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo considerado as letras T, R, E como um único elemento: Devemos também permutar as letras T, R, E, pois não foi especificada a ordem : Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E podem ser dispostas de P3 maneiras. Assim, para P6 agrupamentos, temos P6 . P3 anagramas. Então: P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 consoantes. Assim: Exercícios 1) Considere a palavra CAPITULO: a) quantos anagramas podemos formar? b) quantos anagramas começam por C? c) quantos anagramas começam pelas letras C, A e P juntas e nesta ordem? d) quantos anagramas possuem as letras C, A e P juntas e nesta ordem? e) quantos anagramas possuem as letras C, A e P juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e termi- nam em consoante? 2) Quantos anagramas da palavra MOLEZA começam e terminam por vogal? 3) Quantos anagramas da palavra ESCOLA possuem as vogais e consoantes alternadas? 4) De quantos modos diferentes podemos dispor as letras da palavra ESPANTO, de modo que as Apostilas Exitus Raciocínio Lógico 24 . . . ! ! ! n) . . . , ,(p r1 r21n    vogais e consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem? 5) obtenha o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA nas quais as vogais se mantenham nas respectivas posições. PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS REPE- TIDOS Dados n elementos, dos quais : 1 são iguais a 2 são iguais a . . . . . . . . . . . . . . . . . r são iguais a sendo ainda que: r2 1 . . .   = n, e indicando- se por ) . . . , ,(p r21n  o número das permutações simples dos n elementos, tem-se que: Aplicações 1) Obter a quantidade de números de 4 algarismos formados pelos algarismos 2 e 3 de maneira que cada um apareça duas vezes na formação do número. Solução: os números são    3223 3232 3322 2332 2323 2233 A quantidade desses números pode ser obtida por:   números 6 1 2 ! 2 ! 2 3 4 ! 2 ! 2 ! 4P 2,24    2) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMADA? solução: Temos: Assim:   anagramas 20 ! 3 ! 3 4 5 ! 1 ! 1 ! 3 ! 5 p 1,1,35    3) Quantos anagramas da palavra GARRAFA começam pela sílaba RA? Solução: Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 5 letras para serem permutadas, sendo que: Assim, temos:   anagramas 60 ! 2 ! 2 3 4 5 p 1,1,25    Exercícios 1) O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra ARARA é: a) 120 b) 60 c) 20

Qual é o número de anagramas da palavra república?

Como se calcula anagrama de uma palavra?

Quais são os anagramas da palavra?