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* * Plano Cartesiano Contém dois eixos perpendiculares entre si e tem a origem comum no ponto O. Eixo das abscissas: é o eixo horizontal (eixo dos x). Eixo das ordenadas: é o eixo vertical (eixo dos y ). Esses dois eixos dividem o plano cartesiano em quatro quadrantes. * * 1º Quadrante 3º Quadrante 2º Quadrante 4º Quadrante x y 0 * * Localização de um ponto é a distância de P ao eixo dos y. é a distância de P ao eixo dos x. x y 0 . xp yp P(xp, yp) * * 1 Exemplos: x y 0 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 . P(2, 3) . Q(3, 2) . R(-4, 4) . S(-2, 1) T(2, 2) . . . U(-3, -3) V(1, -1) * * Bissetrizes Bissetriz dos quadrantes ímpares: a abscissa é igual a ordenada, isto é, x = y. Bissetriz dos quadrantes pares: a abscissa é igual a ao oposto da ordenada, isto é, x = -y. * * 1 x y 0 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 T(2, 2) . . . U(-3, -3) V(1, -1) R(-4, 4) . * * Distância entre dois pontos i) O segmento AB é paralelo ao eixo Ox. x y 0 . . A B xA xB yA = yB * * Distância entre dois pontos ii) O segmento CD é paralelo ao eixo Oy. x y 0 . . C D yC yD xC = xD * * Distância entre dois pontos iii) O segmento EF não é paralelo a nenhum eixo. x y 0 . . E F yE yF xE xF G . . * * E F . . . . G * * Exemplos Determine a distância entre os pontos A(8, 3) e B(-4, 8). * * Exemplos 2) Determine o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1, 5), B(-2, 1) e C(4, 1). x y 0 1 2 3 5 . 4 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 B . A . C * * 3) Sabendo que o ponto P pertence ao eixo das abscissas (Ox) e está equidistante dos pontos A(4, 2) e B(8, -2), determinar suas coordenadas. * * Ponto médio de um segmento x y 0 A M B . . . xA xM xB yA yM yB * * Abscissa xM do ponto médio M: * * Ordenada yM do ponto médio M: * * Exemplo: determine as coordenadas do ponto médio M do segmento AB de extremidades A(-2, -6) e B(8, 4). * * Mediana . . . . B C A M * * B C A M * * Baricentro de um triângulo É o ponto de intersecção das medianas. . . . . B C A M1 . . . G M2 M3 * * Abscissa xG do baricentro de um triângulo: Ordenada yG do baricentro de um triângulo: * * Exemplo: determine as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, considerando A(7, -4), B(-1, 8) e C(3, -10). * * Condição de alinhamento de três pontos Três pontos pertencem a mesma reta se, e somente se, o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos for nulo. x y 0 A B C . . . xA xB xC yA yB yC * * Exemplo: Verifique se os pontos A(3,1), B(0, 3) e C(-3, 5) pertencem a mesma reta. * * Exercícios de Revisão 1) Determine o valor de n, de forma que os pontos dados por suas coordenadas pertençam à bissetriz dos quadrantes ímpares. (2n, 4) b) (3n, 0) c) (8, n + 2) d) (10, 2n – 4) Determine o valor de p, de forma que os pontos dados por suas coordenadas pertençam à bissetriz dos quadrantes pares. a) (4p + 2, 6) b) (8, 3 + p/2) 3) Determine a distância entre os seguintes pares de pontos: A(0, -2) e B(-6, -10) b) C(-3, -1) e D(9, 4) c) E(-3, 7) e F(5, 1) d) G(-2, 5) e H(4,-3) * * Exercícios de Revisão Obtenha o valor de m sabendo que a distância entres os pares de pontos seguintes é d. A(6, m), B(1, -2) e d = 13. b) C(1, -2), D(m, -2) e d = 5. 5) Calcule o perímetro do triângulo, cujos vértices são: A(6, 8), B(1, -4) e C(6, -4) b) D(0, 0), E(6, 8) e F(8,6) Determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence ao eixo das abscissas e é equidistante aos pontos A(2, 3) e B(-2, 0). Classifique quanto aos lados, o triângulo formado pelos vértices A(8, 2), B(4, 2) e C(8, -2). * * Exercícios de Revisão 8) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, conhecendo-se: A(-1, 2) e B(-2, 0) b) A(-3, 3) e B(4, 3) c) A(4, 2) e B (2, 4) 9) Conhecendo os vértices do triângulo ABC, determine a medida da mediana , nos casos: A(-1, 2), B( -2, 0) e C(-1, -3) b) A(8, 3), B(4, 7) e C(2, 1) 10) As coordenadas do ponto médio de um segmento AB são (3, 3). Sabendo-se que as coordenadas do ponto A são (3, 6), calcule as coordenadas de B. * * Exercícios de Revisão 11) Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo, cujos vértices são: A(2, 4), B(6,3) e C(7, -13) b) A(1, -3), B(-4,7) e C(-6, 8) 12) Conhecendo os pontos A, B e C, verifique, em cada item, se pertencem à mesma reta. A(3, -2), B(0,1) e C(-3,4) b) A(-3,-1), B(0, 5) e C(1, -2) 13) Determine, em cada item, a abscissa xB do ponto B, de tal forma que A, B e C pertençam à mesma reta. a) A(3, 7), B(xB, 3) e C(5, -1) b) A(3, 5), B(xB, 1) e C(1, -3) * * Exercícios de Revisão 14) Conhecendo-se os pontos A(2, 0) e B(0, -3), determine o ponto P em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 15) Sabendo-se que o ponto A pertence ao eixo das abscissas e à mesma reta que os pontos B(6, -2) e C(-4, 3), determine as coordenadas do ponto A.