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Em seguida devemos ordenar u e n, podemos fazer isso de 2!= 2 maneiras diferentes, para finalizar devemos multiplicar os resultados para obter: !2!6 ⋅ As letras g e h serão deixadas para você resolver. 1 6 5 4 3 2 1 1ª casa: temos que garantir a letra n. Assim teremos 1 opção. Nas demais casas podemos inserir qualquer letra menos n, utilizada na primeira casa. Por isso começamos com 6 opções. nu dispor 6 letras hipoteticamente ordenar as letras u e n Prof. Gerson Henrique 19 2) De quantas maneiras podemos dispor 12 moças e 12 rapazes em uma escada com 12 degraus de modo que se forme um casal em cada degrau? Resolução: Primeiro vamos desenhar uma figura ilustrativa Devemos, em seguida, dispor as doze moças, uma em cada degrau. Podemos fazer isso de 12! maneiras, observe Agora devemos acomodar os rapazes, podemos acomodá-los de 12! maneiras. Acompanhe: Para terminar devemos observar que tanto a moça ou rapaz que se encontram em cada degrau podem ocupar o lado direito da escada. Isto é, numa situação a moça pode estar do lado direito da escada o rapaz do lado esquerdo, ou vice e versa. Desse modo podemos ordenar cada casal de 2 maneiras em cada degrau, como temos 5 casais,a resposta final fica assim: 12! x 12! x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Podemos resumir essa resposta assim: 212 )!12(2222222222222!12!12 ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ modos diferentes de dispor 12 casais em 12 degraus de uma escada. Para você resolver 23) Considere a palavra VESTIBULAR A) Quantas Permutacões podemos formar? B) Quantos anagramas começam por VES? C) Em quantos anagramas as letras V, E e S estão juntas e nesta ordem? D) Em quantos anagramas as letras V, E e S estão juntas? E) Quantos anagramas começam e terminam por vogal? F) Quantos anagramas começam por consoante e terminam por vogal? G) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante? H) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante? 24) De quantas maneiras podemos formar uma fila com: a) 5 pessoas? b) 10 pessoas? escada escada 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 moças 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 escada moças rapazes número de maneiras de dispor as moças na escada número de maneiras de dispor os rapazes na escada número de maneiras de dispor cada casal em um degrau Prof. Gerson Henrique 20 c) 15 pessoas com um casal sempre juntos? d) 15 pessoas com um casal sempre juntos e a esposa antes do marido? e)10 pessoas com 2 casais e cada casal sempre juntos? f)10 pessoas com 2 casais e cada casal sempre juntos e as esposas na frente dos maridos? g) 70 bonecos diferentes? h) 70 bonecos diferentes com os 10 que vestem vermelho sempre na frente dos bonecos vestidos as demais cores? i) 70 bonecos diferentes com os 10 que vestem vermelho sempre juntos? 25) Num varal de roupas linear com um só fio, deseja-se dispor 25 peças de roupas diferentes para secar. Dessa forma responda: a) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição? b) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição, de modo que as 10 calças fiquem sempre juntas? c) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição, de modo que nenhuma das 5 camisas fiquem nas extremidades do varal? 26) (U.F. STA. CATARINA) O número de anagramas da palavra ALUNO, em que as consoantes ficam na ordem LN e as vogais na ordem AUO ê: a)20 b)120 c)10 d)60 e)40 27) (FEl) Obter o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições. 28) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a) 24 b) 48 c) 96 d)120 e)144 29) (UNIV. FED. BAHIA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número de arrumações possíveis dos 4 jogadores, durante toda a viagem, é: A) 4 B) 8 C) 12 D) 24 E) 162 30) (S.J. CAMPOS) De quantos modos diferentes podemos dispor as letras da palavra VESTIBULAR, de modo que as vogais e as consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem? 31) (VIÇOSA) Seis pessoas em fila gastam 10 segundos para mudarem de ordem. O tempo necessário para todas as mudanças possíveis é: A) 4h B) 2h C) 3h D) 5h E) 6h 32) Um garçon anotou as encomendas de 4 frequeses. Cada um pediu uma sopa, um prato principal, uma bebida e uma sobremesa. O garçon não anotou quais clientes pediram quais encomendas, lembrando-se apenas que cada um pediu uma sopa diferente, um prato principal diferente, uma bebida diferente e uma sobremesa diferente. De quantas maneiras diferentes ele poderá distribuir os pedidos entre os 4 clientes? a) 4)!4( b) 4 x 4! c) 4! x 4! d) 416 e) !4!4 !16 ⋅ Prof. Gerson Henrique 21 33) (MACK) Um trem de passageiros é constituido de única locomotiva e seis vagões distintos, sendo um deles restaurante, Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagâo restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é: A) 120 B) 320 C) 500 D)600 E) 720 34) (UNIV. CAT. PELOTAS) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Se apenas uma pessoa dirige, o número de modos que podem se acomodar no carro para uma viagem é: A) 6 B)120 C) 36 D) 24 E) n.d.a. 35) (SÃO CARLOS) Quatro rapazes e uma moça formam uma fila. De quantas maneiras esta fila pode ser formada de modo que a moça fique sempre em 1º lugar? A)24 B)12 C)18 D) 4 E) 6 36) (ENO. DE ALIMENTOS_BARRETOS) Tem-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de Matemática 4 de Física e 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los sobre urna prateleira devendo os livros de cada assunto permanecer juntos? A)103 680 B)17 280 C) 150 D)12 E) 6 37) (IME-adaptada) 5 rapazes e 5 moças devem posar para fotografia, ocupando uma escada com 5 degraus de forma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar esse grupo? A) 70 400 B) 128 000 C) 460 800 D) 332 000 E) 625 38) (FESP) Qual é a soma dos números que se pode formar com as permutações dos algarismos 0, 1, 2 e 3? A) 36 996 B) 38 996 C) 34 996 D) 34 992 E) 39 996 3.2 - Permutação com repetição (Assunto opcional - somente segunda etapa vestibular UFMG) Essa nova ferramenta, como o nome indica diferentemente das permutações simples, lida com elementos que se repetem. Isto é, busca formar filas ou seqüências com elementos repedidos. Vale a ressalva: todos os elementos em questão devem ser utilizados. Tomemos como exemplo os possíveis anagramas com a palavra ANA. Vamos, a titulo de ilustração diferenciar os A,s que aparecem na palavra ANA. O primeiro será colocado em negrito. Então fica: ANA. Desse modo os dois A,s se tornaram diferentes. Assim não temos mais uma palavra com elementos repetidos. Podemos, com essa nova palavra, formar 3 x 2 x1 = 3! = 6 anagramas diferentes, são eles: Se is an ag ra m as co m o s do is A , s di to s di fe re n te s ANA AAN ANA NAA NAA AAN Prof. Gerson Henrique 22 Mas, na verdade, a diferenciação dos A,s é artificial. Ela não existe. Por exemplo, nos anagramas AAN e AAN são dois, mas sem a diferenciação dos A,s tornam-se idênticos. Observe: AAN e AAN. O mesmo acontece com ANA e